平面几何动点问题的教学设计 下关一中初中部葛佳剑
在初中几何中最精彩的内容当属动点问题,由于要在点动的过程中找到其不变规律或其所遵循的轨迹,从而提出解决问题的方法。而探究其不变规律或探究其所遵循的轨迹，过去往往都是通过几何作图，再加以想象来实现探究的。由于几何作图的不连续性、局限性，因而阻碍了思维的发现。用《几何画板》探究动点问题，以动画的形式将这些规律直观的展现在人们的面前，几何的动点问题从过去纯粹逻辑推理和对图形抽象证明的思维模式，发展成对图形中的动点进行拖动实验，追踪动点的轨迹、对可能出现的结果进行：观察、推理、抽象和证明的思维模式。古老的几何动点问题，由于应用了现代计算机技术手段而精彩纷呈，下面就以下的几个例子来加以说明。
例1 如图所示，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于F． （1）求证：OE=OF； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ 解:分析：用几何画板作图如右图，点O是动点， 拖动点O可以看到：四边形AECF中∠ECF是直角始终不变， 当点O移动到AC的中点时，可知四边形AECF为矩形。 证明：(1)∵射线CE平分∠ACB，交直线MN于点 E ∴∠BCE=∠OCE= ∵射线CF平分∠ACD，交直线MN于点F ∴∠OCF=∠DCF= ∠OCE+∠OCF= ∴∠ECF=900 ∵MN∥BC∴∠OEC=∠ECB=∠OCE; OE=OC; ∠OFC=∠FCD=∠OCF; OF=OC ∴OE= OF; （2）当动点O移动到线段AC的中点O时,OA=OC，四边形AECF中对角线AC、EF互相平分，四边形AECF为平行四边形，又因为∠ECF是直角，所以四边形AECF为矩形.
例2、2017年云南省的中考题23题也是与动点相关的题目：已知AB是⊙O的直径,PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC ∥OP。M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上距离的最小值为f。 （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）设 求∠CPO的正弦值； （3）设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围。 证明（1）连接OC, ∵AC∥OP, ∴ ∠ACO= ∠COP; ∠ OAC=∠BOP ∵OA=OC=OB, ∴ ∠ OAC= ∠ACO; ∠COP= ∠BOP 在△BOP 与 △BOP中 ∵OC=OB, ∠COP= ∠BOP,OP=OP ∴ △BOP ≌ △BOP (SAS) ,∠OCP= ∠OBP ∵ PB是⊙O的切线∴ ∠OBP=900 ∴ ∠OCP=900 ，PC是⊙O的切线 切点为点C。 （2）解法1：如图2分别延长线段PC,BO交于点D, ∵AC∥OP， ∴ △DAC ∽ △DOP DA=2r ∴OD=3r在直角△DOC中 9r2-r2=DC2 在直角△OCP中
（3）过点A作AN⊥CM交线段CM于点N,并延长交圆O于点Q。过点B作BP⊥CM点P为垂足，连接QB，∵⊙O直径AB, ∴∠AQB为直角，四边形BQNP为矩形，PB=NQ=f,AN=d，AQ=AN+NQ=d+f,当动点M向点A（如图3）运动时线段AQ越长，越来越靠近直径AB，当动点M向点B运动时,线段越短，越来越靠近线段AC. AC<AQ<AB, AC<d+f<AB, , AC=9,AB=15，d+f的取值范围为：9<d+f<15。 解题之后，看看（2）题还有没有另外的解法？（如图4 ) 过点O作OD⊥AC交线段AC于点D, AD=CD,∵ AC ∥OP ∴∠DCO= ∠COP, ∠CDO= ∠OCP为直角, ∴ △ODC ∽ △PCO, ∴∠DOC= ∠CPO 设AC=2k,则CD=k,OP=3k,OC=r, 解题之后，可以进行变式练习，将原题中的 变为 其余条件不变，利用相同的方法，实施解题，试试看你准行。
当交点E在x轴的上方时，y>0,当交点E在x轴的下方时，y<0, 解：(1)点C的坐标为(－2，0)． (2)△AGF≌△A′EF，△B′GC≌△OEC，△A′GC≌△AEC． (3)分绕点C旋转的三角形BCA的动边AC交直线OA的交点E在x轴上方和下方两种情况讨论：如图(3）设经过点C(-2,0)的动直线的方程为：y=k(x+2) 经过点A、O的直线方程为：y=mx 求两直线的交点E 当交点E在x轴的上方时，y>0,当交点E在x轴的下方时，y<0,
解题之后，可以进行变式练习，将原题中三角形COE的面积变为： 其余条件不变，求直线CE的方程.