電路學 第十章 雙埠網路

雙埠網路 在電路分析裡，所謂埠是指在電路裡取兩條引線至一對端點所產生的結構。電路依其對外的端點對來分可分為單埠、雙埠，多埠等形式。在單埠電路裡，其輸入與輸出是在一對端點上；但對雙埠電路而言，輸入與輸出是存在於不同的端點上，亦即存在於不同的埠。在單埠電路裡只有兩個變數，它們就是存在於該對端點的電壓及電流。而在雙埠電路裡，它有四個變數，其中兩個是某一端點對的電壓及電流，而另兩個就是另一端點對的電壓及電流。

雙埠網路 圖10-1所示為雙埠網路的基本架構，由圖上可知它有兩個電流I1及I2，和兩個電壓V1及V2。一般而言，圖左邊的1埠通常設為輸入埠，也就是指V1為輸入電壓及I1為輸入電流；而右邊的2埠通常設為輸出埠，也就是指V2為輸出電壓及I2為輸出電流。若將這四個變數的其中兩個視為已知來求解另外兩個，則可得到六種不同的形式，它們分別為： V1＝F1(I1，I2)及V2＝F1(I1，I2) I1＝F1(V1，V2)及I2＝F1(V1，V2) V1＝F1(I1，V2)及I2＝F1(I1，V2) I1＝F1(V1，I2)及V2＝F1(V1，I2) V1＝F1(V1，I2)及I2＝F1(V1，I2) V2＝F1(V1，I1)及I2＝F1(V1，I1) 這六種不同的形式，將形成不同的網路特性參數。

雙埠網路 圖10-1 雙埠網路的基本架構

阻抗參數 V1＝F1(I1，I2)及V2＝F1(I1，I2) 在此一形式裡是以電流I1及I2作為自變數來求電壓V1及V2。因V1及V2均受I1及I2的影響，因此由重叠原理可知： 若以矩陣形式來表示，則：

阻抗參數 矩陣內的參數稱為z參數，它們的定義分別為： 四個z參數都是在I1＝0或I2＝0，亦即其中一個埠是開路的情況之下來決定，同時它們都是電壓與電流的比值，也就是阻抗值，因此這些z參數稱為開路阻抗參數。 z11稱為開路輸入阻抗，表示由輸入端看入電路所得到的等效阻抗。z22稱為開路輸出阻抗，表示由輸出端看入電路所得到的等效阻抗。z21稱為開路順向轉移阻抗。而z12稱為開路反向轉移阻抗。 圖1-2所示為對應於阻抗參數的等效電路。

阻抗參數 圖1-2 z參數的等效電路

例10-1 試求圖10-3電路的z參數。若在輸入埠加入一個120oV的電壓源，並在輸出端接上一個4的負載電阻時，試求流過此一電阻負載的電流。 圖10-3 例10-1的電路

例10-1(續) [解]：電路的z參數為： 由此可得網路方程式為：

例10-1(續) 加入電源及負載後，電路如圖10-4所示，由電路結構可知： V1＝120o－(1)I1 V2＝－4I2 將之代回網路方程式可得： 120o＝(3－j4)I1－j4I2 0＝－j4I1＋(4－j2)I2 可得流過4電阻負載的電流I2為：

例10-1(續) 圖10-4 加入電源及負載後電路的結構

阻抗參數 例10-1的電路基本上是所謂的T型電路(圖10-5)。當電路寫出其z參數後，可以將它轉變成對照於z參數的T型電路。而z參數與T型電路的關係可以表示為： 也就是Za＝z11－z12 ， Zb＝z22－z12， Zc＝z12＝z21 若以z參數來表示T型電路，可得如圖10-6所示的結果。

阻抗參數 圖10-5 基本T型電路 圖10-6 以z參數來表示T型電路

導納參數 I1＝F1(V1，V2)及I2＝F1(V1，V2) 在此一形式裡是以電壓V1及V2作為自變數來求電流I1及I2。因I1及I2均受V1及V2的影響，因此由重叠原點可知： 若以矩陣形式來表示，則：

導納參數 矩陣內的參數稱為y參數，它們的定義分別為： 四個y參數都是在V1＝0或V2＝0，亦即其中一個埠是短路的情況之下來決定，同時它們都是電流與電壓的比值，也就是導納值，因此這些y參數稱為短路導納參數。 y11稱為短路輸入導納，表示由輸入端看入電路所得到的等效導納。y22稱為短路輸出導納，表示由輸出端看入電路所得到的等效導納。y21稱為短路順向轉移導納，y12稱為短路反向轉移阻抗。 導納參數所對應的等效電路如圖10-7所示。

導納參數 圖10-7 y參數的等效電路

導納參數 由z及y參數的定義可知，z參數矩陣與y參數矩陣互為反矩陣，即 。若已知 矩陣的參數則可經由 的關係來求知 矩陣，其中z＝z11z22－z12z21。 相反的，若已知 矩陣的參數則可經由 的關係來求知 矩陣，其中y＝y11y22－y12y21。 雖然 與互為 反矩陣，但並非所有雙埠網路的開路阻抗參數與短路導納參數均同時存在。若z＝0，則 並不存在。同理若y＝0，則可知 也不存在。

例10-2 試求圖10-8電路的y參數。若在輸入埠加入一個2A的電流源，並在輸出端接上一個4的負載電阻時，則流過此一電阻負載的電流為多少？ 圖10-8 例10-2的電路

例10-2(續) [解]：首先將輸出埠短路，使V2＝0，則電路如圖10-9所示。 圖10-9 V2＝0時的電路 可得 也就是 同時 所以

例10-2(續) 將輸入埠短路，使V1＝0，則電路如圖10-10所示。 圖10-10 V1＝0時的電路 可得 所以 及 也就是

例10-2(續) 圖10-11 接上電源及負載後的電路

導納參數 例10-2的電路是所謂的形電路(圖10-12)，當電路寫出其y參數後，可以將它轉變成對照於y參數的型電路。而y參數與型電路的關係可以表示為： 也就是 Ya＝y11－y12 ，Yb＝y22－y12 ，Yc＝－y12＝－y21 若以y參數來表示型電路，可得如圖10-13所示的結果。

導納參數 圖10-12 基本型電路 圖10-13 以y參數來表示型電路

例10-3 試求圖10-14電路的參數。 圖10-14 例10-3的電路 [解]：相對於圖10-14電路的節點方程式為：

例10-3(續) 以矩陣形式來表示，即為： 求反矩陣 或

例10-3(續) 其中Y＝YaYb＋YbYc＋YcYa 因此電路的z參數為

例10-4 試求圖10-15電路的開路阻抗參數及短路導納參數。 圖10-15 例10-4的電路 圖10-15 例10-4的電路 [解]：考慮圖10-15(a)的電路，此一電路的網路方程式為：

例10-4(續) 因此 其短路導納參數矩陣為： 但因Y＝(Y)(Y)－(－Y)(－Y)＝0，因此 不存在。 對圖10-15(b)的電路而言，其網路方程式為：

例10-4(續) 因此 其開路阻抗參數矩陣為： 但因Z＝(Z)(Z)－(Z)(Z)＝0，因此 不存在。

混合參數 在阻抗參數裡是以輸入端及輸出端的電流作為自變數，求輸入端及輸出端的電壓。而在導納參數裡則相反，是以輸入端及輸出端的電壓作為自變數，求輸入端及輸出端的電流。若取輸入端的電壓V1及輸出端的電流I2作為自變數，來求輸入端的電流I1及輸出端的電壓V2，則會得到所謂的混合參數，混合參數主要是用在半導體元件的模型分析。 若採用混合參數，則雙埠網路的方程式及矩陣形式可以分別表示為：

混合參數 h11稱為短路輸入阻抗 h12稱為開路反向電壓增益 h21稱為短路順向電流增益 h22稱為開路輸出導納 圖10-16為對應的等效電路。

混合參數 圖10-16 h參數的等效電路

例10-5 試求圖10-17電路的h參數。 圖10-17 例10-5的電路 [解]：對abcda迴路而言，其KVL方程式為： 圖10-17 例10-5的電路 [解]：對abcda迴路而言，其KVL方程式為： 4I＋2(I＋I2)＋4(I＋I2－I1)＝2(I1－I)或12I＝6I1－6I2 因此

例10-5(續) 對abca迴路而言，其KVL方程式為： V1＝4I＋2(I＋I2)＝3I1－3I2＋2I2＝3I1－I2 對badb迴路而言，其KVL方程式為： V2＝－4I＋2I1－2I2＝3I2－3I1＋2I1＝－I1＋3I2 因此 將I2的關係式代入V1的關係式可得：

例10-5(續) 因此 故

反混合參數 混合參數是以輸入端的電壓V1及輸出端的電流I2作為自變數，來求輸入端的電流I1及輸出端的電壓V2。若將此一自變數與應變數的關係倒反，亦即是以輸入端的電流I1及輸出端的電壓V2作為自變數，來求輸入端的電壓V1及輸出端的電流I2，則可得到所謂的反混合參數。 對應於反混合參數的雙埠網路的方程式可以表示為： 若以矩陣形式來表示，則：

反混合參數 矩陣內的參數稱為g參數，它們的定義分別為： g11稱為開路輸入導納 g12稱為短路反向電流增益 g21稱為開路順向電壓增益 圖10-18為對應的等效電路。

反混合參數 圖10-18 g參數的等效電路

例10-6 試求圖10-19電路的g參數。 圖10-19 例10-6的電路 圖10-19 例10-6的電路 [解]：假設有一電壓源V1加入於輸入端，並使輸出端開路，也就是I2＝0，此時 及

例10-6(續) 在輸出端加入一電流源I2，並使輸入端短路，亦即V1＝0，此時 及 因此

例10-6(續) 由此可知圖10-19電路的網路方程式矩陣為： 故 為：

反混合參數 開路阻抗參數與短路導納參數兩者互為反矩陣關係。相似的混合參數與反混合參數也具有相同的關係。它們兩者間的關係為： 其中g=g11g22－g12g21及h=h11h22－h12h21 如同阻抗參數與導納參數一樣，並非所有雙埠網路的混合參數及反混合參數均同時存在。若g＝0則 不可能存在，若h＝0則 不可能存在。

傳輸參數 混合參數與反混合參數對電子元件的分析十分有用。而在電力系統傳輸網路的分析裡所使用的參數是所謂的傳輸參數與反傳輸參數。 傳輸參數又稱串接參數，它是以輸出端的電壓V2及電流I2作為自變數，來求輸入端的電壓V1及電流I1。但有一點必須注意的是，輸出電流的基準方向與前述其他參數所用的方向相反；在討論前面幾個參數時是以流入網路的電流方向為正，但在傳統電力系統裡習慣將從網路流出的電流視為正，而將流入網路的電流視為負。

傳輸參數 對應於傳輸參數的網路方程式可以表示為： 若以矩陣形式來表示，則 此一矩陣稱為 矩陣，其各參數的定義分別為： 此一矩陣稱為 矩陣，其各參數的定義分別為： A稱為開路電壓比， B稱為負值短路反向轉移阻抗 C稱為開路反向轉移導納，D稱為負值短路電流比

例10-7 試求圖10-20電路的g參數。 圖10-20 例10-7的電路 [解]：由電路的架構可知，當I2＝0，即輸出端為開路時 因此

例10-7(續) 同時 因此 若V2＝0，即輸出端為短路時 因此

例10-7(續) 同時 因此

反傳輸參數 反傳輸參數恰巧與傳輸參數相反，它是以輸入端的電壓V1及電流I1作為自變數來求輸出端的電壓V2及電流I2。所對應的網路方程式及矩陣形式可以表示為： 此一矩陣稱為 矩陣，其各參數的定義分別為： A’稱為開路電壓增益 B’稱為短路順向轉移阻抗 C’稱為負值開路順向轉移導納 D’稱為負值短路電流增益

反傳輸參數 傳輸參數與反傳輸參數兩者也互為反矩陣關係。它們兩者間的關係為： 及 其中T=AD－BC及T’=A’D’－B’C’ 如同阻抗參數與導納參數及混合參數與反混合參數一樣，並非所有雙埠網路的傳輸參數及反傳輸參數均同時存在。若T’＝0則 不可能存在，若T＝0則 不可能存在。

混合參數與開路阻抗參數間的轉換關係

混合參數與短路導納參數間的轉換關係

混合參數與傳輸參數間的轉換關係

混合參數與反傳輸參數間的轉換關係

反混合參數與開路阻抗參數間的轉換關係

反混合參數與短路導納參數間的轉換關係

反混合參數與傳輸參數間的轉換關係

反混合參數與反傳輸參數間的轉換關係

傳輸參數與開路阻抗參數間的轉換關係

傳輸參數與短路導納參數間的轉換關係

反傳輸參數與開路阻抗參數間的轉換關係

傳輸參數與短路導納參數間的轉換關係

例10-8 試求圖10-21常用於電力輸配系統的單一串聯阻抗元件的雙埠網路之傳輸參數與反傳輸參數。 圖10-21 例10-8的電路 圖10-21 例10-8的電路 [解]：V1＝I1Z＋V2，I1＝－I2，因此V1＝V2－I2Z，故

例10-8(續) 其傳輸參數為 A＝1，B＝Z，C＝0，D＝1 由轉換關係可知

例10-9 有一雙埠網路的混合參數矩陣為 而其傳輸參數矩陣為 試求D？ [解]：由混合參數矩陣可知： 因此I1可以表示為：

例10-9(續) 將此一關係代回V1表示式，可得： 因此 上述兩式為傳輸參數表示式，因此

y12＝y21，h12＝－h21，g12＝－g21，T＝1，T’＝1 互易性與對稱性 當一雙埠網路存在有互易性時，其z參數矩陣副對角線的兩個參數是相等的，亦即 z12＝z21 同時 y12＝y21，h12＝－h21，g12＝－g21，T＝1，T’＝1 互易性主要在說明被動網路中激勵與響應之間的關係。若一電路具有互易性，則它稱為互易電路。在這裡所謂的激勵是指電路中某一個獨立電源的輸出，而響應則是該電路中某兩個節點間的電壓或流過某分支的電流。當電路存在有互易性時，若在某兩點間加入一個獨立電壓源作為激勵輸入，而以電路某個分支的電流作為響應輸出，但若將輸入的電壓源與輸出的電流互換，則其結果不變。相似的，若在某兩個端點間加入一個獨立電流源作為電路的輸入，而以另外某兩端點間的電壓作為輸出，但若將輸入的電流源與輸出的電壓互換，則其結果不變。

互易性與對稱性 一個不含任何電源，亦即被動網路N，當存在有互易性時，它有三個性質： 1.加入電壓源求知短路電流，如圖10-22所示，若V1=V2’，則I1’=I2。 圖10-22 加入電壓源求短路電流

互易性與對稱性 2.加入電流源求知開路電壓，如圖10-23所示，若I1=I2’，則 V1’=V2。 圖10-23 加入電流源求開路電壓

互易性與對稱性 3.加入電壓(流)源求電流(壓)源，如圖10-24所示，若V1=I2’，則I1’=V2。 圖10-24 加入電壓(流)源求電流(壓)源

互易性與對稱性 除了互易性以外，雙埠網路可能會存在有對稱性。所謂對稱性是指由輸入端看入電路的架構與由輸出端看入電路的架構是相似的。當一雙埠網路存在有對稱性時， z11＝z22，y11＝y22，h＝1，g＝1，A＝D，A’＝D’ 也就是指當一雙埠網路存在有對稱性時，其開路阻抗參數矩陣與短路導納參數矩陣的主對角線上兩個參數必定相等。而混合參數矩陣及反混合參數矩陣的行列式值會等於1。

例10-10 圖10-25(a)及(b)所示為具互易性的被動雙埠網路N的測量結果，由這些結果來求圖10-25(c)網路的電壓V1及V2。 圖10-25 例10-10的電路

例10-10(續) [解]：由圖10-25(a)可知 及 由圖10-25(b)可知 因它具有互易性，所以z12=z21=3 對圖10-25(c)寫出z參數方程式為： V1＝z11I1＋z12I2＝(2)(5A)＋(3)(7A)＝31V V2＝z21I1＋z22I2＝(3)(5A)＋(4)(7A)＝43V

雙埠網路的連接 在實際應用裡常將各個不同的雙埠網路連接在一起，以得到更廣泛的應用。或者在遇到較為龐大而複雜的雙埠網路時，可先將它分解成為各個小單元，求出各個小單元的參數後，再以適當的連接方式來求整體網路的參數。一般雙埠網路的連接方式有 1.串聯連接 2.並聯連接 3.串並聯連接 4.並串聯連接 5.串級連接 等五種基本類型。

雙埠網路的連接 圖10-26所示為兩個雙埠網路Na及Nb的串聯連接以合成一個大的雙埠網路N。 圖10-26 雙埠網路Na及Nb的串聯連接

雙埠網路的連接 雙埠網路Na及Nb的z參數矩陣可分別表示為： 及 由串聯關係可知 因此 亦即 當兩個雙埠網路串聯連接時，整體網路的z參數是個別雙埠網路z參數之和。必要條件是兩個雙埠網路Na與Nb的端點特性不會因串聯連接而改變。

例10-11 試求圖10-27雙埠網路的z參數。 圖10-27 例10-11的電路

例10-11(續) [解]：由圖可知此一雙埠網路是由兩個雙埠網路Na與Nb串聯連接而成。若設上方的網路為Na，下方的網路為Nb。則可得到Na的z參數為： 而Nb的z參數為：z11a＝z12a＝z21a＝z22a＝1[] 因此整體的z參數為：

雙埠網路的連接 圖10-28所示為兩個雙埠網路Na及Nb的並聯連接以合成一個大的雙埠網路N。 圖10-28 雙埠網路Na及Nb的並聯連接

雙埠網路的連接 雙埠網路Na及Nb的y參數矩陣可分別表示為： 及 由並聯關係可知 因此 亦即 就是指當兩個雙埠網路並聯連接時，整體網路的y參數是個別雙埠網路y參數之和。

例10-12 試求圖10-29雙埠網路的y參數。 圖10-29 例10-12的電路 圖10-29 例10-12的電路 [解]：圖10-29的雙埠網路可視為兩個雙埠網路Na與Nb的串聯連接，但也可視為是並聯連接。如為串聯連接則其架構如同例10-11的圖10-27所示。如為並聯連接則其架構如圖10-30所示。

例10-12(續) 圖10-30 圖10-29的並聯連接 在圖10-30裡包含有兩個子網路，其中一個為電容性網路Na，另一個為電阻性網路Nb。對Na而言，其y參數為： 此一子網路具有互易性[y12a＝y21a] ，同時還具有對稱性[y11a＝y22a]

例10-12(續) 對Nb而言，其y參數為： 此一子網路只有互易性[y12b＝y21b]，但沒有對稱性[y11ay22a]。

雙埠網路的連接 所謂串並聯連接是指兩個雙埠網路其輸入端為串聯，而輸出端為並聯，如圖10-31所示。 圖10-31 雙埠網路的串並聯連接

雙埠網路的連接 因為輸入端是串聯，所以V1=V1a+V1b及I1=I1a=I1b 由混合參數的定義可知： 及 因此 亦即 就是指當兩個雙埠網路串並聯連接時，整體網路的h參數是個別雙埠網路h參數之和。

雙埠網路的連接 圖10-32所示為兩個雙埠網路的並串聯連接組合，由圖上可發現兩個雙埠網路其輸入端為並聯，而輸出端為串聯。 圖10-32 雙埠網路的並串聯連接

雙埠網路的連接 因為輸入端是並聯，所以V1=V1a=V1b及I1=I1a+I1b 由反混合參數的定義可知： 及 因此 亦即 就是指當兩個雙埠網路並串聯連接時，整體網路的g參數是個別雙埠網路g參數之和。

雙埠網路的連接 圖10-33所示為兩個雙埠網路的串級連接，在此一架構裡，前一個雙埠網路的輸出是直接接到後一個雙埠網路的輸入。 圖10-33 雙埠網路的串級連接

雙埠網路的連接 因前一個雙埠網路Na的輸出直接接到後一個雙埠網路Nb的輸入。所以在此一架構裡V1=V1a、V2a=V1b、V2b=V2及I1=I1a、－I2a=I1b、－I2b=I2。由傳輸參數的定義可知： 及 因此 由此可知 亦即當兩個雙埠網路串級連接時，整體網路的傳輸參數矩陣是等於個別雙埠網路傳輸參數矩陣的乘積。

例10-13 今有一如圖10-34所示的並聯導納網路，及一如圖10-35所示的串聯阻抗網路，若將它們串級連接如圖10-36所示，試求圖10-36的傳輸參數矩陣。 圖10-34 並聯導納網路 圖10-35 串聯阻抗網路

圖10-36 並聯導納網路與串聯阻抗網路的串級連接 例10-13(續) 圖10-36 並聯導納網路與串聯阻抗網路的串級連接 [解]：設並聯導納網路為Na，其傳輸參數矩陣為：

例10-13(續) 設串聯阻抗網路為Nb，其傳輸參數矩陣為： 因此串級連接後的傳輸參數矩陣為：