现代控制理论 山东大学控制科学与工程学院

3.5 对偶性原理 从前面几节的讨论中可以看出控制系统的能控性和能观测性，无论从定义或其判据方面都是很相似的。这种相似关系决非偶然的巧合，而是有着内在的必然联系，这种必然的联系即为对偶性原理。 设系统1的状态空间表达式为 设系统2的状态空间表达式为 称系统1和系统2是互为对偶的，即2是1的对偶系统，反之，1是2的对偶系统。

∫ + ∫ + C B u1(t) x1(t) y1(t) A BT CT u2(t) x2(t) y2(t) AT 从结构图上看，系统1和其对偶系统2的输入端和输出端互换，信号传递方向相反，信号引出点和比较点互换，各矩阵转置。

Qc2 = [CT ATCT … (AT)n 1CT ] 对偶性原理 系统1状态完全能控（完全能观测）的充要条件与其对偶系统2状态完全能观测（完全能控）的充要条件相同。 证明 系统1的能控性和能观测性矩阵分别为 Qc1 = [ B AB A2B … An 1B ] 系统2的能控性和能观测性矩阵分别为 Qc2 = [CT ATCT … (AT)n 1CT ]

= [ B AB A2B … An 1B ] T ∴ rank Qc1 = rank Qo2 rank Qo1 = rank Qc2 根据这一原理，一个系统的状态完全能控性（能观测性）就可以借助其对偶系统的状态完全能观测性（能控性）来研究。

3.6 系统的能控性和能观测性与传递函数阵的关系 3.6 系统的能控性和能观测性与传递函数阵的关系 前已述及，系统的能控性和能观测性是现代控制理论中两个重要的基本概念。而传递函数矩阵概念，目前已被广泛用于控制工程中，那么它们之间是否存在内在联系呢？回答是肯定的。为了阐明它们之间的联系，首先应该对不完全能控，或者不完全能观测系统进行结构分解，即把系统中不能控或不能观测的部分同系统的能控与能观测部分区分开来，要做到这一点，一般可用线性变换来解决。

定理3-11 设有n维状态不完全能控线性定常系统(A，B，C)，rankQc=k<n，则必存在一个非奇异矩阵Tc，令 ，能将系统变为 3.6.1 系统的结构分解 1. 系统按能控性分解 定理3-11 设有n维状态不完全能控线性定常系统(A，B，C)，rankQc=k<n，则必存在一个非奇异矩阵Tc，令 ，能将系统变为 k维子系统是能控的。 n–k维子系统是不能控的。

其中，列向量q1 ，q2，…，qk 是能控性矩阵Qc中k个线性无关的列，另外n – k个列向量qk +1 ，…，qn是在确保Tc为非奇异的情况下任意选取的。

∫ + x2(t) A22 A12 y(t) B1 u(t) x1(t) A11 C1 C2 能控部分 不能控部分

例3-14 线性定常系统状态空间表达式为 试求系统的能控子系统。 解：（1）判断系统是否完全能控 rankQc = 2 例3-14 线性定常系统状态空间表达式为 试求系统的能控子系统。 解：（1）判断系统是否完全能控 rankQc = 2 ∴ 原系统是状态不完全能控的。

（2）结构分解 取 1 0 1 1 0 1 1 Tc =

（3）能控子系统

2. 系统按能观测性分解 定理3-12 设有n维状态不完全能控线性定常系统(A，B，C)，rankQo=l<n，则必存在一个非奇异矩阵To ，令 ，能将系统变为 l维子系统是能观测的。 n–l维子系统是不能观测的。

能观测部分 C1 B1 ∫ + u(t) x1(t) y(t) A11 B2 x2(t) A22 A21 不能观测部分

例3-15 把例3-14系统按能观测性分解。 解：（1）判断系统是否完全能观测 rankQo = 2 ∴ 原系统是状态不完全能观测的。 （2）结构分解

（3）能观测子系统

3．系统按能控性和能观测性分解 将上述两个定理结合起来，就可得到卡尔曼（Kalman）标准分解定理。 定理3-13 设有n维线性定常系统(A，B，C)，若系统既不完全能控，也不完全能观测，那么存在一个非奇异矩阵线性变换，可使系统变换为如下形式

co + u(t) y(t) cô ĉo ĉô

rankQc = 2 < n rankQo = 2 < n 例3-16 把例3-12系统按能性和能观测性结构分解。 解：（1）判断系统的能控性和能观测由例3-14和例3-15知 rankQc = 2 < n rankQo = 2 < n （2）将系统按能控性分解 根据例3-14， 取 系统分解后 （3）将不能控子系统按能观测性分解,可知它是能观的

（4）将能控子系统按能观测性分解 非奇异线性变换矩阵为

综合以上结果，系统按能控性和能观测性分解后

3.6.2 系统传递函数中零极点相消定理 定理3-14 一个单输入单输出线性定常系统Σ(A，B，C)，若其传递函数中没有零点和极点相消现象，那么系统一定是既能控又能观测的。若有零、极点相消现象，则系统视状态变量的选择不同，它将是不能控的，或者是不能观测的，或者是不能控不能观测的。 证明 Σ(A，B，C)的传递函数为 G(s) = C(sI − A)−1B （1）证充分性：如果传递函数C(sI − A)−1B中不出现零、极点对消，系统Σ(A，B，C)一定是能控能观测的。 假设G(s)的分子、分母无零极点对消，系统Σ(A，B，C)却不能控或不能观测，因而一定可对系统进行

能控性或能观测性结构分解。如设系统Σ(A，B，C)不完全能观测，则将其按能观测性分解后可得 系统传递函数应满足 由于 的维数低于A的维数，但又假设系统无零极点对消，故上式不可能成立，因此系统Σ(A，B，C)的传递函数无零极点对消，系统必是能观测的。同理，可证明系统也必能控。

（2）证必要性：如果系统Σ(A，B，C)能控且能观测，传递函数G(s)中没有零极点相消现象。 由于 的阶次比A低，于是多项式det(sI− )的阶次也一定比det(sI−A)的阶次低，但是欲使上式成立，必须是C(sI−A)−1B的分子分母之间出现零极点对消，于是反设不成立。 [证毕] 这时特别需要指出，上述定理对于多输入多输出系统只是充分条件，而不是必要条件。

例3-18 试判定系统 的传递函数中是否有零极点相消现象。 解： 系统的能控性矩阵和能观测性矩阵 系统不完全能控但完全能观测。所以系统传递函数中必有零极点相消现象。

系统矩阵A有两个特征值：λ1 = 1，λ2 = 4。从上式可看出，λ1 = 1的因子被约去了。

由上述状态表达式清楚地看到，对应于λ1 = 1的状态方程根本没有输入，自然不能控，也不会出现于系统的传递函数之中。 通过以上分析我们得知，系统的传递函数（传递函数阵）所表征的只能是既能控又能观测的子系统。除此之外，由于系统不能控或不能观测部分的运动无法用传递函数（或传递函数阵）反映出来。若没有反映出来的部分有不稳定的运动模式，那就会有“潜伏振荡”发生，这就是用传递函数来描述系统的局限性。

结 束