第二章 动态系统的描述 2-1 SISO线性连续系统的动态模型 时域模型：微分方程 权函数和卷积 阶跃响应 状态方程 频域模型：传递函数G(S) 频率特性G(jω) 连续系统的离散化

第二章 动态系统的描述 2-2 线性离散系统的动态模型 2-3 随机动态系统的数学模型 线性差分方程 权序列与卷积和 状态方程 随机噪声的数学模型 随机型差分方程 预报误差模型

2-1 线性连续系统的动态模型 时域模型：微分方程 线性系统输入u(t)，输出y(t)，u(t)的n阶导数与y(t)的n阶导数分别用u(n)(t)与y(n)(t)表示，用微分方程描述n阶线性定常系统的动态特性： 线性连续系统 u(t) y(t) (2-1-1)

2-1 线性连续系统的动态模型 时域模型：权函数和卷积 系统输入为单位脉冲δ(t)，输出g(t)为脉冲响应： 系统在任意输入u(t)作用下，有： (2-1-2)

2-1 线性连续系统的动态模型 时域模型：权函数和卷积 考虑到т<0时，u(т)=0，g(т)=0，那么： 或者等价的有： 称为u(t)与g(t)的卷积，g(t)为权函数（加权函数）。已知g(t) 可求出任意u(t)作用下的y(t) (2-1-3) (2-1-3)

2-1 线性连续系统的动态模型 时域模型：阶跃响应函数 输入为单位阶跃函数： 输出为单位阶跃响应函数： 若令t -т=λ，则有： (2-1-4) (2-1-5) (2-1-6)

2-1 线性连续系统的动态模型 单位阶跃相应函数k(t)与g(t)之间的关系： 已知k(t)可求出任意u(t)作用下的y(t)：

2-1 线性连续系统的动态模型 时域模型：状态方程 把高阶微分方程改写成一阶微分方程组可以得到状态方程： 其中x(t)为k维列向量，A为k×k维矩阵，B为k维列向量，C为k维行向量，d为标量。与(2-1-1)式输入输出关系等价的状态方程(2-1-7)式不是唯一的 (2-1-7)

2-1 线性连续系统的动态模型 频域模型：传递函数G(s) 由微分方程(2-1-1)式的拉氏变换可以得到： 由状态方程(2-1-7)式的拉氏变换可以得到：

2-1 线性连续系统的动态模型 频域模型：频率特性G(jω) 令G(s)中的s=j ω，得到： 幅频特性： 相频特性： 对数幅频特性、对数相频特性：Bode图 幅相频率特性：Nyquist图 (2-1-12)

2-1 线性连续系统的动态模型 连续系统的离散化：从解微分方程的角度 近似认为在一个采样周期中u(t)保持不变；求解x(t)和y(t)而得到离散化后的方程，即经过采样后系统的状态方程： 离散化后方程（k=t0，k+1=t）： (2-1-26)

2-1 线性连续系统的动态模型 连续系统的离散化：从解微分方程的角度 因为在一个采样周期T中u(t)将保持不变：

2-1 线性连续系统的动态模型 连续系统的离散化：从拉氏变换到Z变换的角度 对象G0(s) 离散后的Z传递函数G0(z)是： 其中零阶保持器的传递函数为： 从以上两个角度得到的结果完全等价

2-2 线性离散系统的动态模型 SISO系统的线性定常差分方程 其中k即kT，aj,bj是常系数，移位算子q-1y(k) =y(k-1) u(k) y(k) (2-2-1) (2-2-2)

2-2 线性离散系统的动态模型 与Z传递函数的关系 对于SISO系统，可以找出差分方程与Z传递函数之间的关系。零初始条件下对(2-2-1)式进行Z变换： 其中z=e-Ts，按Z传递函数定义，有：

2-2 线性离散系统的动态模型 … MIMO系统的差分方程 式(2-2-1)的SISO系统差分方程表达方法可以推广到MIMO系统。设系统具有m个输入和r个输出，可以定义： 线性多输入多 输出离散系统 u1(k) u2(k) um(k) … y1(k) y2(k) yr(k)

2-2 线性离散系统的动态模型 MIMO系统的差分方程 系统可以用向量的差分方程来表示 方程中Aj，Bj分别是r×r和r×m维常系数矩阵 用向后一步平移算子来表示： 其中I、A1等为r×r维矩阵，B0、B1等为 r×m维矩阵

2-2 线性离散系统的动态模型 SISO系统的权序列与卷积和 权序列定义：系统对于单位脉冲序列δ(k)的响应 SISO系统的权序列为{h(i), i=0, 1, 2, …} 系统的输入输出关系可以表示为离散卷积和: 在i<0时，u(i)=0，h(i)=0：

2-2 线性离散系统的动态模型 权序列与Z传递函数的关系 权序列与差分方程的关系 比较等式两边相同幂次z-i的系数，可得：

2-2 线性离散系统的动态模型 MIMO系统的权序列 考虑m输入r输出的多变量系统，权序列表达式变成权矩阵序列{H(i)}，其中第i个权矩阵为： 矩阵中元素hkl(k)表示第l个输入和第k个输出之间的权系数。相应的卷积和为：

2-2 线性离散系统的动态模型 SISO系统的状态方程 SISO线性定常系统有： 其中x(k)为n维列向量，Φ为n×n维矩阵，Г为n维列向量，G为n维行向量，d为标量 (2-2-12) q-1 G Φ Г + d u(k) x(k+1) x(k) y(k)

2-2 线性离散系统的动态模型 SISO系统的状态方程 假定系统(2-2-12)完全能控能观，则： 那么该系统的权序列与差分方程是唯一确定的 反之，对应某一差分方程或权序列，状态变量选择不同，获得状态方程参数不同 但特定的规范型是唯一的。一般形式的状态方程通过等秩变换，可以得到规范型

2-3 随机动态系统的数学模型 确定系统：无噪声干扰 随机系统：有噪声干扰 噪声：随机因素或难以确定描述的因素 加性噪声： 非加性噪声： 混合信号 有用信号 随机噪声 非加性函数

2-3 随机动态系统的数学模型 随机噪声过程的数学模型 考虑加性噪声、对复杂噪声的抽象的统计描述 随机过程x(t) 固定时刻为随机变量 过程的实现

2-3 随机动态系统的数学模型 随机噪声过程的数学模型 给定时刻的分布规律 不同时刻的相互关系 高维分布函数：不同时刻的统计特性

2-3 随机动态系统的数学模型 平稳随机过程 严平稳随机过程：概率特性不随时间改变 宽平稳随机过程：数字特征不随时间改变 均值： 均方值： 方差： 协方差： 自相关函数：

2-3 随机动态系统的数学模型 平稳过程的自相关函数与平均功率谱密度 确定性过程 其中x(t)与X(w)为傅立叶变换对 平均功率 功率谱密度

2-3 随机动态系统的数学模型 平稳过程的自相关函数与平均功率谱密度 随机过程 自相关函数Rxx(т)与平均功率谱密度Sx(w)是傅立叶变换对 平均功率 平均功率谱密度

2-3 随机动态系统的数学模型 典型的随机过程 白噪声过程w(t)或w(k)：理想化的平稳随机过程 有色噪声过程：经过线性环节滤波的白噪声 均值为零 能量均匀 彼此无关 彼此相关

2-3 随机动态系统的数学模型 随机型差分方程 确定型差分方程 白噪声 有色噪声 通常b0=0

2-3 随机动态系统的数学模型 随机型差分方程 受控自回归滑动平均模型（CARMA） 受控自回归模型（CAR） Auto Regression Controlled Moving Average

2-3 随机动态系统的数学模型 随机型差分方程 自回归滑动平均模型（ARMA） 自回归模型（AR） 滑动平均模型（MA）

2-3 随机动态系统的数学模型 预报误差模型（PEM: Predictive Error Model） 描述动态随机模型的一般数学表达式： 参数向量 预报值 预报值 预报值 输出序列 输入序列 新息序列 时间坐标

2-4 小结 目的：给出系统辨识所需的模型类 连续模型与离散模型 微分方程——差分方程 连续状态方程——离散状态方程 权函数与卷积——权序列与卷积和 S传递函数——Z传递函数 考虑实际过程中噪声的存在 确定型模型——随机型模型 预报误差模型