第3章 测量误差基本知识

3.1 测量误差概述 一、测量误差 1. 测量误差（Observation Magement Error） 观测量的观测值与其真值之差，包括观测误差和模型误差。 观测误差：观测值发生的偏差。如： 对同一量进行多次观测，其结果通常略有差异。 模型误差：数学模型不恰当而导致待求量发生 的偏差。如：

二、观测误差产生的原因 1. 仪器的原因（Instrumental Errors） 2. 观测者的原因（Personal Errors） 每一种测量仪器具有一定的精确度，使测量结果受到一定的影响。另外，仪器结构的不完善，也会引起观测误差。 2. 观测者的原因（Personal Errors） 由于观测者的感觉器官的辨别能力存在局限性，在仪器对中、整平、瞄准、读数等操作时都会产生误差。

3. 外界环境的影响（Natural Errors） 测量作业环境的温度、气压、湿度、风力、日光照射、大气折光、烟雾等客观情况时刻在变化，使测量结果产生误 差。例如，温度变化使钢尺产生伸缩， 风吹和日光照射使仪器的安置不稳定， 大气折光使望远镜的瞄准产生偏差等。

三、测量误差的分类与处理原则 1. 系统误差（Systematic Error） 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。如：测距仪的固定误差和比例误差等。 系统误差对观测结果的影响具有累积性，因而对成果质量的影响也特别显著。但由于它具有规律性，可采用下列方法消除或削弱其影响：

计算改正数。 采用一定的观测方法。 2. 偶然误差（Accident Error，& Random Error） 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差在大小、符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，其大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。

3. 粗差（Blunder, & Gross Error） 如读数误差、照准误差等。 偶然误差是不可避免的，且具有统计规律性，可应用数理统计的方法加以处理。 3. 粗差（Blunder, & Gross Error） 观测数据中存在的错误，称为粗差。是由于作业人员的粗心大意或各种因素的干扰造成的，如瞄错目标、读错大数，光电测距、GPS测量中对载波信号的干扰等。 粗差必须剔除，而且也是可以剔除的。

4. 误差处理原则 在进行观测数据处理时，按照现代测量误差理论和测量数据处理方法，可以消除或减弱系统误差的影响；探测粗差的存在并剔除之；对偶然误差进行适当处理，来求得被观测量的最可靠值。

四、偶然误差的特性 设某一量的真值为X，在相同的观测条件下对此量进行n次观测，得到的观测值为l1， l2，…， ln ，在每次观测中产生的误差（又称“真误差”）为Δ1，Δ2， …Δn，则定义

实例 在某一测区，在相同的观测条件下共观测了358个三角形的全部内角，由于每个三角形内角之和的真值（180°）为已知，因此，可以上式计算每个三角形内角之和的真误差Δi，将它们分为负误差和正误差，按误差绝对值由小到大排列次序。以误差区间dΔ=3″进行误差个数k的统计，并计算其相对个数k／n（n＝358）， k／n称为误差出现的频率。

误差区间 dΔ " 负误差 正误差 误差绝对值 K K/n 0～3 45 0.126 46 0.128 91 0.254 3～6 40 0.112 41 0.115 81 0.226 6～9 33 0.092 66 0.184 9～12 23 0.064 21 0.059 44 0.123 12～15 17 0.047 16 0.045 15～18 13 0.036 26 0.073 18～21 6 0.017 5 0.014 11 0.031 21～24 4 0.011 2 0.006 24以上 Σ 181 0．505 177 0．495 358 1.000

由此，可以归纳出偶然误差的特性如下： 界限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值 。 聚中性：绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小。 对称性：绝对值相等的正、负误差具有大致相等的出现频率 。 抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零，即：

由上图可以看出：偶然误差的出现符合正态分布，其分布曲线的方程式为： X=Δ -24 -21 -18 -15 -12 -9 -6 -3 +3 +6 +9 +12 +15 +18 +21 +24 由上图可以看出：偶然误差的出现符合正态分布，其分布曲线的方程式为：

式中，参数σ为观测误差的标准差。 从中可以看出正态分布具有偶然误差的特性。即 f(△)是偶函数，即绝对值相等的正、负误差求得的f(△)相等，故曲线对称于纵轴。 △越小， f(△)越大；△越大， f(△)越小。 当△= 0时， f(△)最大，其值为 当

方差为偶然误差平方的理论平均值： 标准差为 由上式可知，标准差的大小决定于在一定条件下偶然误差出现的绝对值的大小。由于在计算标准差时取各个偶然误差的平方和，因此，当出现有较大绝对值的偶然误差时，在标准差的数值大小中会得到明显的反映。

3.2 衡量精度的标准 一、精度（Precision） 测量值与其真值的接近程度 准确度（Accuracy）：表示测量结果与其真值接近程度的量。反映系统误差的大小。 精密度（ Precision ）：表示测量结果的离散程度。反映偶然误差的大小量。

1. 中误差（root mean square error） 二、衡量精度的指标 1. 中误差（root mean square error） 根据偶然误差概率分布规律，以标准差σ为标准衡量在一定观测条件下观测结果的精度是比较合适的。 在测量中定义：按有限次观测的偶然误差求得的标准差为中误差，用m表示，即

m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成果的精度 次序 第一组观测 第二组观测 观测值 真误差Δ" Δ２ １ 180°00ˊ03" -3 9 180°00ˊ00" ２ 180°00ˊ02" -2 4 179°59ˊ59" +1 1 ３ 179°59ˊ58" +2 180°00ˊ07" -7 49 ４ 179°59ˊ56" +4 16 ５ 180°00ˊ01" -1 ６ ７ 180°00ˊ04" -4 179°59ˊ52" +8 64 ８ 179°59ˊ57" +3 ９ １０ 180°00ˊ03 Σ|　| 24 72 130 中误差 Y -m2 -m1 +m1 +m2 X 不同中误差的正态分布曲线 两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成果的精度

2. 相对误差（relative error） 观测值的中误差与观测值之比 ，一般用分子为1的分式表示。 例如：用钢卷尺丈量200m和40m两段距离，量距的中误差都是±2cm ，可见其精度相同，但 前者的相对中误差为0.02／200 ＝1／10000，而后者则为0.02／40＝l／2000，显然前者的量距精度高于后者。

3. 极限误差（limit error） 根据正态分布曲线，可以表示出偶然误差出现在微小区间dΔ中的概率： 根据上式的积分，可得到偶然误差在任意大小区间中出现的概率。设以k倍中误差作为区间，则在此区间中误差出现的概率为：

分别以k＝1，2，3代入上式，可得到偶然误差的绝对值不大于中误差、2倍中误差和3倍中误差的概率： 由此可见，偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差总数的5%，而大于3倍中误差的仅占误差总数的0.3%。一般进行的测量次数有限，2倍中误差应该很少遇到，因此，以2倍中误差作为允许的误差极限，称为允许误差，简称“限差”，即 Δ允＝2m 现行测量规范中通常取2倍中误差作为限差。

3.3 误差传播定律 一、误差传播定律 二、线性函数的中误差传播定律 观测值的误差对观测值函数的影响。用观测值的中误差去表征待求量中误差的数学模型，则为中误差传播定律。 二、线性函数的中误差传播定律 设Xi（i=1,2, …,n）是一组独立观测量，而Y是Xi的函数，即：

式中，系数ai已知，且假定无误差。设xij是第i个观测量的第j次观测值，则按上式求出待定量的计算值yj为： 将（1）式减去（2）式得：

当对Xi各观测k次时，上式将共有k个，分别将各式两边平方，并对k个式求其和，再除以观测次数k，考虑到偶然误差的抵偿性，可得： 顾及中误差的定义公式，并设Xi的中误差为mi，则可得：

三、非线性函数的中误差传播定律 设有非线性函数Y = f（X1，X2，…，Xn），Xi（i =1,2, …,n）为独立观测量，并设Xi的中误差为mi，为此，可先将非线性函数线性化，然后再按线性函数处理。

四、误差传播定律的应用 1. 步骤： 列出正确的函数模型 注意：模型符合测量事实；观测量各自独立 非线性函数线性化 运用误差传播定律

2. 应用举例 例1：用尺长为l的钢尺丈量距离S，共丈量4个尺段，设丈量一个尺段的中误差为m，试求S的中误差。 解一： 应用误差传播定律得：

解二： 应用误差传播定律得： 由两种解算方法的结果可以看出：距离S的中误差不相等，显然，解二的数学模型是错误的。

例2：设有函数 。若 X、Y为独立观测量，其观测值中误差为mx、my ，试求U的中误差。 解一：由线性中误差传播定律，显然有： 则有：

解二：由于 应用线性函数中误差传播定律，得： 即： 显然，这两种解法中至少有一种解法是错误的。解法一中由于未考虑观测量的独立性，显然是错误的。

例3：设有函数 若观测值d=180.23m，中误差md=±0.05m；δ=61°22′10″，其中误差为mδ=±20″，试求y的中误差。 解： 故有：

思考题 1、设自已知点A向待定点B进行水准测量，共观测n站。设每站的观测精度相同，其中误差为m站，试求A、B两点间高差的中误差。 2、设等精度观测n个三角形的三个内角，获得n个三角形内角和的闭和差，试求测角中误差。

例4：水平角观测限差的制定 水平角观测的精度与其误差的综合影响有关，对于J6光学经纬仪来说，设计时考虑了有关误差的影响，保证室外一测回的方向中误差为±6″。实际上，顾及到仪器使用期间轴系的磨损及其它不利因素的影响，设计精度一般小于±6″，新出厂的仪器，其野外一测回的方向中误差小于±6″，在精度上有所富裕。

对于水平角观测的精度，通常以某级经纬仪的标称精度作为基础，应用误差传播定律进行分析，求得必要的数据，再结合由大量实测资料经统计分析求得的数据，考虑系统误差的影响来确定。下面仅以标称精度为基础进行分析。

3.3 误差传播定律 设J6经纬仪室外一测回的方向中误差为： （1）一测回角值的中误差 （2）半测回方向值的中误差 （3）归零差的限差 （4）同一方向值各测回较差的限差

3.4 等精度观测值平差 一、等精度观测与非等精度观测 在相同的观测条件下所进行的观测。由等精度观测而获得的观测值称为等精度观测值。 在不同的观测条件下所进行的观测。由非等精度观测而获得的观测值称为非等精度观测值。

二、测量平差 由于观测结果不可避免地存在偶然误差的影响，因此，在实际工作中，为提高成果质量，同时也为了检查和及时发现观测值中的粗差，通常进行多余观测。（例如：一个平面三角形，只要观测其中的两个内角，即可确定其形状，但通常是观测三个内角）。

由于偶然误差的存在，通过多余观测必然会发现观测结果不一致。因此，必须对带有偶然误差的观测值进行处理，使得消除不符值后的结果，可认为是观测值的最可靠结果。由此可知，测量平差的任务是： （1）对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求出未知量的最可靠值。 （2）评定测量成果的精度

测量平差方法 严密平差：所依据的准则是建立在严密的理论基础之上。如：间接平差法等（见《测量平差基础》） 近似平差：所依据的准则是建立在近似的理论基础之上，亦称简易平差。 根据某一待求量的一系列观测值，求出其最佳估值（或最或是值）称为直接观测平差，分为等精度直接观测平差和不等精度直接观测平差。

三、等精度直接观测值平差 1. 算术平均值原理 在相同的观测条件下，对某个未知量进行n次观测，其观测值分别为l1，l2, …，ln，将这些观测值取算术平均值，作为该量的最或是值，即：

现用偶然误差的特性来证明:设某一量的真值为X，各次观测值为l1，l2, …，ln ，其相应的真误差为Δ1，Δ2，…，Δn，则 等式两端取极限，则

2. 观测值的改正数及其性质 由偶然误差的抵偿性，有 故可得： 观测值的最或是值与观测值之差，即： 将上列等式相加，得 由偶然误差的抵偿性，有 故可得： 2. 观测值的改正数及其性质 观测值的最或是值与观测值之差，即： 将上列等式相加，得 即：一组观测值的改正值之和恒等于零。这一特性可以作为计算中的校核。

3. 等精度观测值的中误差 根据真误差计算等精度观测值中误差 由于真值的不可知，导致真误差的不可知。但是，有时可将理论值视为真值，例如：三角形内角和为180°等。 例4：设等精度观测n个三角形的三个内角，试根据三角形闭合差计算测角中误差。 解：三角形闭合差： 根据中误差的定义公式得三角形闭合差的中误差为：

而根据中误差传播定律，可得三角形闭合差的中误差为： 其中，m为测角中误差。将此式代入上式得： 此式即著名的菲列罗公式，通常用于计算三角测量的测角中误差。但当三角形的个数大于20时，由此公式算出的测角中误差才比较可靠。

设某量的n个等精度观测值为l1，l2, …，ln ，其真误差和改正数为： 根据观测值的改正数计算其中误差 设某量的n个等精度观测值为l1，l2, …，ln ，其真误差和改正数为： 于是有： 将上列n个等式两边分别平方，并求其和，再除以n，则有： 上式中， ，考虑到中误差的定义公式，可得：

设观测值的中误差为m，算术平均值的中误差为M，则应用误差传播定律于算术平均值的计算公式，则有： 4. 算术平均值的中误差 设观测值的中误差为m，算术平均值的中误差为M，则应用误差传播定律于算术平均值的计算公式，则有： 故算术平均值的中误差为：

例题 对某一距离，在相同的条件下进行6次观测，其观测值为：120.031m 120.025m 120.031m 119.983m 120.047m 120.040m 试求其最可靠值，并评定测量成果的精度。 解算见下表:

次序 观测值l （M） Δl （cm） 改正值v (cm) vv (mm) 计算x,m 1 120.031 +3.1 -1.4 1.96 2 120.025 +2.5 -0.8 0.64 3 119.983 -1.7 +3.4 11.56 4 120.047 +4.7 -3.0 9.00 5 120.040 +4.0 -2.3 5.29 6 119.976 -2.4 +4.1 16.81 Σ (l0=120.000) 10.2 0.0 45.26

思考题: 今有四个观测小组对同一个水平角进行观测，第一组观测2个测回，水平角值为l1，第二小组观测4个测回，水平角值为l2 ，第三小组观测6个测回，水平角值为l3 ，第四小组观测8个测回，水平角值为l4，试计算其最可靠值，并评定测量成果精度。

3.5 权倒数传播律 一、权的概念 衡量观测值（或估值）及其函数的相对可靠程度的一种指标。通常用P表示。 1. 权（weight） 权的定义公式为： 上式表明：在一组观测值中，某观测值的权与其中误差的平方成反比，而μ2为比例系数，可任意选取，但对于同一个观测问题，应在数据处理前确定，并在计算过程中保持不变。

数值等于1的权。此时，有 ，当二者单位相同时，称μ为单位权中误差。此时的观测值为单位权观测值。 2. 单位权（unit weight） 数值等于1的权。此时，有 ，当二者单位相同时，称μ为单位权中误差。此时的观测值为单位权观测值。 3. 权的特性 权只能反映观测值之间的相对精度，在反映观测值精度时，起作用的不是权本身的大小，而是权之间的比例关系。 权既可反映同一类量的若干个观测值之间的精度高低，也可反映不同类量的观测值之间的精度高低。

4. 权的确定 根据权的定义公式确定权 例1：已知一组角量观测值X1、X2、X3的中误差m1=±2″； m2=±4″； m3=±8″，试求各观测值之权。 解一：

解二： 由上例可以看出，系数μ改变，各观测值的权亦改变，但观测值之间的权之比并未改变。

距离测量中根据边长确定权 例2：按同等精度丈量三条边长，得S1，S2，S3，相应的长度为3km，4km，6km。试确定三条边边长观测值的权。 解：由于按同精度丈量，所以每千米的丈量中误差相同。设每千米丈量中误差为mkm，则边长Si的中误差为： 将其代入权的定义公式得：

本例中，取C为12km，则得S1，S2，S3的权分别为4，3，2。此时S为12km时的权为1。也就意味着，以12km的观测为单位权观测，相应的权为单位权，相应的中误差为单位权中误差。由此还可以看出，上式中C的含义就是单位权观测。

水准测量中根据水准路线长度或测站数定权 例3：设一个水准网由四条同一等级的水准路线所构成。设四条水准路线的路线长度为S1=4km， S2=2km ， S3=1km ， S4=3km ，相应的测站数为n1=50， n2=25 ， n3=10 ， n4=40 。试分别按路线长度和测站数来确定这四条水准路线观测高差的权。 解：由于这四条水准路线是按同一等级观测的，所以它们每千米观测高差中误差mkm和每测站观测高差中误差m站均是相同的，则第i条路线观测高差的中误差为：

将其代入权的定义公式得： 令 则，第i条水准路线观测高差的权为： 本例中，当按各水准按路线长度定权时，若取C为12km，则各水准路线观测高差的权分别为3，6，12，4；当按各水准路线的测站数定权时，若取C为100，则各水准路线观测高差的权分别为2，4，10，2.5。

三、权倒数传播律 设有非线性函数Y=f（X1，X2，…，Xn），Xi（i=1,2, …,n）为独立观测量，并设各观测值的中误差及其权为m1，m2，m3，…，mn和P1，P2，P3，…，Pn。由一般函数中误差传播定律可知。有：

按权的定义公式，则有： 即 上式即为权倒数传播律的数学表达式。 例4：已知观测值li（i=1,2, …,n）的权为Pi，试求 的权。 解：由权倒数传播律可值：

3.6 不等精度直接观测平差 一、加权平均值 设对某一量作不等精度观测n次，其观测值为：l1，l2，…，ln，相应的中误差分别为： m1，m2，…，mn，其权分别为P1，P2，…，Pn，则其最或是值为：

则有： 证明：根据改正数计算公式，可得各观测值的改正数为： 等式两端分别乘以 得： 上列n个式两边分别平方，并求其和，则有： 等式两端分别乘以 得： 上列n个式两边分别平方，并求其和，则有： 根据最小二乘准则，当 时，相应的 就是最或是值，由此令： 则有：

应用中误差传播定律于加权平均值计算公式，可得加权平均值的中误差为： 二、加权平均值的中误差 应用中误差传播定律于加权平均值计算公式，可得加权平均值的中误差为： 有权的定义公式可得： ，代入上式得：

三、单位权中误差的计算 对于不等精度观测，由于观测值精度互不相等，每个观测值的精度只能用各自的中误差来描述。由权的定义公式可知，只要知道单位权中误差，即可根据各观测值的权求出各观测值的中误差。由此，不等精度观测值中误差的计算可归结为单位权中误差的计算。其计算方法可根据其真误差计算；也可根据其改正数计算。 根据真误差计算： 根据改正数计算：

3.6 不等精度直接观测平差 三、加权平均值的权 应用权倒数传播律于加权平均值的计算公式，得： 即： 上式表明：加权平均值的权等于各观测值的权之和。