变换与裁剪

内容 二维变换 三维变换 裁剪

内容 二维变换 齐次坐标表示 基本变换 其它变换 三维变换 裁剪

二维变换 通过二维变换和裁剪，将定义在二维世界坐标系中的物体变换到以像素为单位的屏幕坐标系中，实现二维物体的光栅显示 二维图形中常见的变换 矢量图形、卡通动画 二维图形中常见的变换 齐次坐标表示： 基本变换：平移、旋转、放缩 其它变换：剪切、对称、复合

关于齐次坐标 用一个n+1维向量表示一个n维向量 齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系 齐次坐标表示点的优势 x=X/ y=Y/ 二维点(x,y)，用(X,Y,)表示: (2,3)的齐次坐标表示可以是(4,6,2)、(3,4.5,1.5) H可以任意选取 齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系 x=X/ y=Y/ 齐次坐标表示点的优势 防止浮点数溢出 矩阵变换的统一表示 X Y  P =1 平面

二维平移 二维点P(x,y)移动(tx,ty)后，得到点P'(x', y') Y (x',y') 采用齐次坐标: (x, y)  (x, y, 1) (x,y) O X

二维旋转 将点P(x,y)绕坐标原点按逆时针旋转角 Y (x',y')  X (x,y)

二维放缩 对于进行放缩的变换公式 其中sx和sy分别为x和y分量的放缩比例 Y (x',y') (x,y) O X

剪切变换(Shear) 沿X-轴方向的剪切变换 Y (x,y) (x',y')  X 平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴，平行于Y轴的线段变换后错切成与Y轴成固定角的直线

对称变换 X O Y (x,y) (-x,y) (-x,-y) (x,-y) 关于X轴的对称变换 关于坐标原点的对称变换 关于Y轴的对称变换

对称变换 Y Y (x,y) y=x (x,y) O X O X (-y,-x) y=-x (y,x) 关于直线y=-x的对称变换

复合二维变换 平移、旋转和放缩矩阵通常记为T、R和S 二维变换具有结合性：(AB)C=A(BC) 二维变换不具有交换性 先旋转，再(非等比例)放缩 先(非等比例)放缩，再旋转

复合二维变换 二维变换不具有交换性 先平移，再旋转 先旋转，再平移

复合二维变换 上述变换的组合可以得到特殊的二维变换 刚体变换 仿射变换 可以分解为：平移和旋转的组合 物体的形状没有变化，位置和方位有变化 可以分解为：平移、旋转和放缩的组合 保持点的共线性、长度的比例＝>平行线 仿射变换 刚体变换

内容 二维变换 三维变换 场景坐标系和造型变换 视点坐标系和取景变换 投影坐标系和投影变换 屏幕坐标系和设备变换 裁剪

三维变换的基本概念 三维变换可以看作照相过程模拟，即如何将场景中的三维几何物体变换到二维屏幕上 真实的照相机 计算机中的虚拟照相机

三维变换的基本概念 场景造型： 放置虚拟照相机 场景坐标系：世界坐标系、局部坐标系 变换：造型变换 坐标系：视点坐标系(虚拟照相机的位置、朝向以及向上的方向) 变换：取景变换 (在视域四棱锥进行裁剪和背面剔除 )

三维变换的基本概念 投影(照相、摄影)： 二维显示 坐标系：投影坐标系和窗口坐标系 变换：投影变换 坐标系：窗口坐标系、规格化设备坐标系与屏幕的物理坐标系 变换：设备变换、视窗变换

三维变换流程图 局部坐标系 世界坐标系 视点坐标系 图像坐标系 规格化设备 坐标系 屏幕坐标系 造型变换 投影变换 取景变换 设备变换 视窗变换

三维变换中的各种坐标系

场景坐标系和模型变换 几何场景建立于世界坐标系中 场景中的具体物体与局部坐标系相联系 造型变换： 局部坐标系可以简化物体的定义 物体=｛标准体素，变换｝ 造型变换： 物体从局部坐标系到世界坐标系的变换 三维线性和非线性变换

三维模型变换：平移 三维平移T：三维点P(x,y,z)移动(tx,ty,tz)后，得到点P'(x',y',z')

三维模型变换：放缩 三维放缩S：三维点P(x,y,z)放缩(sx,sy,sz)后，得到点P' (x',y',z')

三维造型变换：旋转 绕x轴逆时针旋转角的旋转变换Rx 绕y轴逆时针旋转角的旋转变换Ry 绕z轴逆时针旋转角的旋转变换Rz

三维造型变换 非线性三维模型变换：变换矩阵是空间位置(x, y, z)或者旋转角度 (x, y, z)的函数。

视点坐标系和取景变换 视点坐标系 视点坐标系定义于世界坐标系中； 其过程类似于拍照片： 照相机镜头的朝向：视线方向 照相机的位置 UP方向

视点坐标系的交互建立 坐标原点C=(Cx,Cy,Cz)：相机的位置 单位向量N=(Nx,Ny,Nz)：镜头的朝向 与N不平行的向量UP： 得到两个向量 U=(Ux,Uy,Uz) 和V=(Vx,Vy,Vz)，然后单位化。

视点坐标系的交互建立 四个矢量C、U、V、N组成了视点坐标系 由世界坐标系到视点坐标系的取景变换： (x, y, z, 1)为世界坐标系中的点 (u, v, n, 1)为视点坐标系中的点

投影坐标系和投影变换 投影变换：三维二维 投影变换是在视点坐标系CUVN中进行的 透视投影：符合人类的视觉特点，产生的投影效果更为真实 平行投影：物体的相对度量保持不变(例如两个等长线段的投影结果仍然是等长的)，适用于建筑和机械设计

透视投影和平行投影

透视投影

透视投影 投影点：通常取视点坐标系中(0,0,0)点 投影平面：取作与视线方向(N方向)垂直的平面n = d。假设在视点坐标系中的点为(u,v,n)，那么在投影面上的对应点坐标(up,vp)为

透视投影齐次坐标表示 记投影后的齐次坐标为(U,V,N,W)，则透视投影齐次坐标表示为：

关于透视投影 一点透视投影 两点透视投影 三点透视投影

平行投影 沿N轴、投影平面在n=0的平行投影 正投影 斜投影

视域四棱锥裁剪 透视投影中视域四棱锥是指位于“前面”和“后面”之间的部分四棱锥 在进行透视投影变换时，只有位于视域四棱锥内部的几何物体才会被投影在投影平面上，而位于外部的物体将会被剔除。如果物体部分位于视域四棱锥的内部，那么物体将要基于四棱锥进行裁剪 平行投影的视域四棱锥是类似的，不过它的形状一般为长方体

视域四棱锥裁剪

规格化设备坐标和设备变换 在投影平面上，有一个矩形区域称为视窗 设备变换 上图坐标系中vovxvy的矩形和“视域四棱锥” 图中的矩形 物体投影后：二维齐次坐标表示 设备变换 投影后二维齐次坐标除以最后一个坐标分量，便得到了规格化设备坐标

屏幕坐标系和视窗变换 屏幕坐标系：通常以像素为单位 视窗变换 二维变换：将定义在视窗中的规格化设备坐标转换到以像素为单位的屏幕坐标 扫描转换：将连续的几何物体转换为离散的光栅表示

内容 二维变换 三维变换 裁剪 二维线裁剪 二维多边形裁剪 文本裁剪 三维裁剪 关于三维变换与裁剪

三维变换流程图 局部坐标系 世界坐标系 视点坐标系 图像坐标系 规格化设备 坐标系 屏幕坐标系 造型变换 投影变换 取景变换 设备变换 视窗变换 三维裁剪？ 二维裁剪？

裁剪(Clipping) 裁剪是确定场景或画面中位于给定区域(2D或3D裁剪窗口)之内的部分 裁剪还可用于图形反走样、隐藏线、隐藏面、阴影、纹理等算法中 裁剪推广应用： 多面体对多面体的裁剪，实体造型系统中执行布尔运算 在窗口系统中复制、移动或删除画面中某一部分(Cut-Copy-Paste)

裁剪 裁剪算法分类： 裁剪窗口的维数：二维、三维 裁剪窗口：规则(矩形、六面体)和不规则的(任意多边形和多面体) 对象维数：点、线、多边形、多面体 实现方式：软件和硬件实现

二维线裁剪 图形裁剪就是决定画面中哪些点、线段或部分线段位于裁剪窗口之内。 位于窗口内的点、线段或部分线段被保留用于显示，而其它的则被抛弃。 在一个典型的场景之中，需要对大量的点、线段进行裁剪，因此裁剪算法的效率十分重要(如何快速拒绝和接受)

二维线裁剪实例

二维线裁剪主要方法 Sutherland-Cohen 裁剪：编码 中点分割裁剪：除以2，移位运算 参数化裁剪与梁友栋-Barsky 裁剪：高效率的裁剪 Nicholl-Lee-Nicholl裁剪：更为精细的判断 ……

二维多边形裁剪 简单的处理方法：对多边形的每条线段采用线裁剪算法 正确的处理方法：裁剪后的多边形仍为封闭的多边形 适用于线框图显示 不适用于多边形的着色显示 正确的处理方法：裁剪后的多边形仍为封闭的多边形 可能会并入一部分窗口作为多边形边界 也可能是多个不相连的多边形

二维多边形裁剪实例 多边形裁剪后的输出应该是定义裁剪后的多边形边界的顶点序列 如何保证裁剪后区域的封闭性 如何确定裁剪后区域的边界 矩形窗口多边形裁剪实例

文本裁剪 矢量文本裁剪：采用前面的多边形裁剪算法实现文本的裁剪 点阵文本裁剪： 如果点阵是由软件生成的，点阵式文本的裁剪可以归结为点的裁剪问题； 如果点阵式文本是由硬件生成的，裁剪就会变得比较复杂，一个简单的处理方法是：如果字符完全位于裁剪窗口内才会显示

文本裁剪 文本裁剪

三维裁剪 三维裁剪 Sutherland-Cohen、梁友栋-Basky裁剪等算法都可以推广到三维情形 裁剪对象：线裁剪、面裁剪 裁剪窗口：规范的立方体、视域四棱锥 Sutherland-Cohen、梁友栋-Basky裁剪等算法都可以推广到三维情形

关于三维变换与裁剪 何时裁剪? 投影之前裁剪——三维裁剪 投影之后裁剪——二维裁剪 优点：只对可见的物体进行投影，提高消隐效率 缺点：三维裁剪相对复杂 投影之后裁剪——二维裁剪 优点：二维裁剪相对容易 缺点：需要对所有的物体进行投影变换

三维裁剪实例

三维裁剪窗口的规范化 为什么引入规范视域体 简化投影 简化裁剪 规范化变换 将任意视域体变换成规范视域体的变换

三维裁剪窗口的规范化 平行投影：[0,1][0,1][-1,0] or [-1,1][-1,1][-1,0] 透视投影：[z,-z][z,-z][-1,zmin] y x -z 平行投影 y x -z 透视投影 两种规范化的视域体

总结 二维变换 三维变换 裁剪 齐次坐标表示 基本变换 其它变换 场景坐标系和造型变换 视点坐标系和取景变换 投影坐标系和投影变换 屏幕坐标系和设备变换 裁剪 二维线裁剪 二维多边形裁剪 文本裁剪 三维裁剪 关于三维变换与裁剪