推理幾何 崙背國中 廖偟郎 94.5.1

前言 推理證明是獲得很多新知識的重要方法。 以前我們曾探討過有關幾何圖形的形狀,大小和其畫法, 並且知道一些有關於幾何圖形的性質： 1.三角形的全等性質有: SSS,SAS,ASA,AAS,RHS。 觀察與實驗可獲得最基本的知識(基礎)，再利用推理證明獲得較複雜的知識(不易由觀察與實驗中獲得的性質)。 2.兩平行線被一直線所截， 則其同位角 ；內錯角 ；同側內角 。 相等 相等 互補 3.兩直線被一直線所截,若一雙 　　 相等或一雙 　　 相等 　或一雙 　　 　 互補，則這兩條直線會 　 。 同位角 內錯角 推理證明是獲得很多新知識的重要方法。 同側內角 互相平行 4.過直線外一點只能作 條直線與此直線平行。 一 5.三角形的三大定理： (1)外角和定理：一組外角和等於360° (觀察或實驗) (2)內角和定理：三內角和等於180° (實驗或推理) (3)外角定理：三角形中任一外角等於其兩個內對角的和 (實驗或推理)

推理證明的基本知識 通常用虛線表示 (一)起步： (1)定義： (2)性質： (3)符號： ∵ (因為) ∴ (所以) (二)在證明幾何問題時,要使證明很清晰而且有條理的 步驟： (1)作一簡單的圖形(標出適當的記號) (2)已知:? (3)求證:? (4)證明:? 通常用虛線表示 (三)在幾何證明過程中,為了證明需要,我們常常要連接某一線段 或直線,這種線段或直線就稱為 線 輔助

例題(1) 題目：試證四邊形的內角和等於360° A B C D 輔助線 根據三角形內角和定理 以上的證明方式較為粗略

例題(2) 題目：試證四邊形的內角和等於360° A B C D 1 輔助線 2 4 3 根據三角形內角和定理

例題(3) 題目：試證同角的餘角相等 證明過程中,除了已經講過的定義或性質可以利用外,沒講過的一概不能引用。 證明： 3 2 1

正N邊形 定義： 各邊等長，內角都相等的N邊形 或

練習題(1) 題目：如圖,∠1和∠2是對頂角,試證∠1＝∠2。 證明： 1 2 3

練習題(2) 證明： (AAS) 1 2

練習題(3) 證明： 根據三角形內角和定理 1 根據三角形內角和定理

練習題(4) 題目：試證同角的補角相等 證明： 1 3 2

練習題(5) 題目：如圖,∠2＝∠3,試證∠1＝∠3。 證明： (對頂角)

練習題(6) 題目：如圖,直線OC是∠AOB的角平分線,∠AOD＝∠BOE 試證∠1＝∠2。 證明：

練習題(7) 證明：

練習題(8) 證明： 3

練習題(9) 證明： A B C 1 2

練習題(10) 證明： (同位角) 1 (同側內角)

練習題(11) 證明： (同位角) 1

練習題(12) 根據三角形外角定理 根據三角形內角和定理 題目：如圖,五星形ABCDE, 試證∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180° 證明：

練習題(13) A B C 三角形內角和定理 三角形內角和定理 P 1 2

練習題(14) 證明： (同側內角) 1 2 根據三角形內角和定理

全等三角形 定義： 兩個三角形，若經過適當的搬動後，可以頂點對頂點、邊對邊 、角對角處處疊合在一起，則稱此兩個三角形全等。 若兩三角形全等， 則：(1)對應邊相等 (2)對應角相等 A B C 對應點： 對應邊： Ｄ Ｅ Ｆ 對應角： 記作： 讀作： 三角形ABC 全等於三角形DEF

三角形的全等性質(SSS) 性質： 在兩個三角形中，若有三個邊分別對應相等，則此兩個三角形全等。 A B C Ｄ Ｅ Ｆ (SSS)

三角形的全等性質(SAS) 性質： (SAS) 在兩個三角形中，若有二個邊及它們的夾角分別對應相等，則此兩個三角形全等。 A B C Ｄ Ｅ Ｆ (SAS)

三角形的全等性質(ASA) 性質： (ASA) 在兩個三角形中，若有二個角及它們的夾邊分別對應相等，則此兩個三角形全等。 A B C Ｄ Ｅ Ｆ (ASA)

三角形的全等性質(AAS) 性質： (AAS) 在兩個三角形中，若有二個角及其中一角的對邊分別對應相等，則此兩個三角形全等。 A B C Ｄ Ｅ Ｆ (AAS)

三角形的全等性質(RHS) 性質： (RHS) 在兩個直角三角形中，若斜邊及其中一股分別對應相等，則此兩個三角形全等。 A D B C E F (RHS)

例題(1) 證明： (對頂角) (SAS) 1 2

例題(2) 證明： (ASA)

例題(3) 證明： (ASA)

例題(4)等腰三角形的性質一 證明： 1 2 (AAS)

例題(4)等腰三角形的性質二 證明： (SAS)

例題(4)等腰三角形的性質三 1 2 證明： (SAS) 3 4

例題(4)等腰三角形的性質四 證明： 1 2 (SAS) D

例題(5)等腰三角形的判別性質-1 證明： 1 2 (AAS)

例題(5)等腰三角形的判別性質-2 在兩個定理中，它們的前提與結論剛好倒過來，在這種情況下，我們常稱其中的一個定理為另一個定理的 。 逆定理 1 2 證明： 在兩個定理中，它們的前提與結論剛好倒過來，在這種情況下，我們常稱其中的一個定理為另一個定理的 。 D (AAS) 逆定理 逆性質

例題(6)平行四邊形的性質-1 性質： 平行四邊形的任一對角線將它分成兩個 全等的三角形。 Ａ Ｄ (內錯角) 對角線 Ｃ Ｂ (ASA) 3 4 1 2 對角線 (ASA)

例題(6)平行四邊形的性質-2 性質： 平行四邊形的兩雙對邊分別相等。 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ

例題(6)平行四邊形的性質-3 性質： 平行四邊形的兩雙對角分別相等。 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ

例題(6)平行四邊形的性質-4 性質： 平行四邊形的兩對角線互相平分。 (內錯角) Ａ Ｂ Ｃ Ｄ O 3 4 1 2 (ASA)

例題(7) 題目：試證若兩鄰角互補,則這兩角的平分線互相垂直 證明： 1 ２

例題(8) 證明： (SAS)

例題(9) 證明： (SAS)

例題(10) 證明： (SSS) 1 2 (SAS)

例題(11) 證明： (SAS) 1 2 (AAS)

練習(1) 證明：

練習(2) 證明： 1 2 (內錯角) (AAS)

練習(3) 證明：

練習(4) 證明： 1 (SAS) 2

練習(5) 證明： (SAS)

練習(6) 證明： (ASA) 共用邊

練習(7) 證明： (SSS) (SAS)

練習(8) 證明： 對頂角 (SAS) 1 2 對頂角 (ASA)

練習(9) 證明： 1 2 (SAS) 共用邊 對頂角 (AAS)

練習(10) 證明： 1 2 3 (SAS) 根據三角形內角和定理 4 5 6 I J 根據三角形內角和定理 對頂角

練習(11) 解： F G 5 5 7

練習(12) 解： H 15 12 (平方公分) D 9 (公分)

練習(13) 證明： 3 4 1 2 根據三角形內角和定理 3 4 5 5 (AAS) 解：