第四章 相对论基础 §4-1 狭义相对论基本原理 洛伦兹变换 §4-2 相对论速度变换 §4-3 狭义相对论的时空观 第四章 相对论基础 §4-1 狭义相对论基本原理 洛伦兹变换 §4-2 相对论速度变换 §4-3 狭义相对论的时空观 §4-4 狭义相对论动力学基础 §4-5 广义相对论简介

§4-1 狭义相对论基本原理 洛伦兹变换 一、狭义相对论基本原理 在经典力学范围内， 伽利略变换是正确的，但当进入电磁学和光学领域中时， 就碰到了困难。 绝对静止参考系(光速为 c)是否存在? 迈克耳孙-莫雷实验： 零结果 否定了绝对参考系——以太（ether）的存在，也否定了绝对时空观。 指出了伽利略变换的局限性和光速不变原理。

狭义相对论（special relativity）的基本原理： 1. 相对性原理（relativity principle）： 一切物理规律在任何惯性系中形式相同。 2. 光速不变原理（principle of constancy of light velocity）： 在所有惯性系中， 真空中的光速相同为c，与光源和观测者的运动无关。 说明 狭义相对性原理是伽利略相对性原理的推广。 光速不变与伽利略变换相矛盾，与实验结果相符，指出了伽利略变换的局限性，必须用新的变换来代替——洛伦兹变换。 两个基本假设最终否定了牛顿的绝对时空观，而必须代之以新的时空观——相对时空观。

二、洛伦兹变换（Lorentz transformation） 惯性系[K] : P(x, y, z; t)惯性系[K´]: P(x´, y´, z´; t´) 正变换 （设t = t´时，O与O´重合）

正变换 逆变换 讨论 1. 空间坐标与时间坐标相互关联。 2. 要求 v<c， 指出了极限速度——真空中的光速c。 3. v<<c时，即 v/c0 时，变为伽利略变换。

例4-1 甲乙两人所乘飞行器沿Ox轴做相对运动。甲测得两个事件的时空坐标为x1=6104 m ， y1=z1=0，t1=210-4 s ； x2=12104 m， y2=z2=0， t2=110-4 s，如果乙测得这两个事件同时发生于t' 时刻，问：（1）乙对于甲的运动速度是多少？（2）乙所测得的两个事件的空间间隔是多少？ 解： （1）设乙对甲的运动速度为v ，由洛伦兹变换 可知乙所测得的这两个事件的时间间隔为

按题意， 乙对甲的速度为 （2）由洛伦兹变换 可知乙所测得的两个事件的空间间隔为

例4-2 在惯性系K中，有两事件同时发生在xx'轴上相距1. 0103 m处，从K'系观察到这两事件相距2 例4-2 在惯性系K中，有两事件同时发生在xx'轴上相距1.0103 m处，从K'系观察到这两事件相距2.0103 m。试问由K'系测得此两事件的时间间隔为多少？ 解： 设两事件

§4-2 相对论速度变换 速度的定义： 由洛伦兹变换：

v<<c，即 v/c0 时，上式变为伽利略速度变换式。 令 vx= c , 可得 = c , 反之,令 = c , 可也得 vx= c . 符合光速不变原理。

例4-2 在地面上测到有两个飞船A、B分别以 +0.9c和-0.9c的速度沿相反的方向飞行。求飞船A相对于飞船B的速度有多大。 设K系被固定在飞船B上，地面为K´系，K´对K以v=0.9c的速度运动。则飞船a 相对于K´系的速度为 =0.9c 。 解： 飞船A对K系的速度，亦即相对于飞船B的速度：

§4-3 狭义相对论的时空观 狭义相对论利用洛伦兹变换对旧的绝对时空观进行了根本性的变革， 认为时间、 空间都与物质的运动有关，它们具有相对的意义——时空的相对性。 一、 “同时”的相对性（relativity of simultaneity）

设两事件同时发生在K系中的不同地点x1和x2 , P1 (x1,, t) P2 (x2 , t)。 在K系同时异地发生的两事件，在K´系中并不同时。在K´系同时异地发生的两事件，在K系中也不同时。

“同时”的相对性——异地同时性的破坏 同步钟 同步钟

二、时间延缓（time dilation） 假定一物理过程在K系中一固定地点x 处发生, K系中测量该过程开始于t1，终止于t2，经历的时间间隔： 是与事件发生的地点相对静止的参考系中测得的时间间隔，称为固有时（proper time）， 常用 0 表示。 而在K´系测量, 该过程开始于(x1´, t1´), 终止于(x2´, t2´) 由洛伦兹变换： 所经历的时间间隔为

运动时： 在K´系的观测者看来，运动的钟变慢了，称为动钟变慢，又称时间延缓或时间膨胀。 说明 动钟变慢是相对论的时空效应，与钟的具体结构和其他外界因素无关。 现代物理实验为相对论的时间延缓提供了有力的证据。

三、长度收缩（length contraction） 一根棒相对K系静止，K系中测得其长度为 称为固有长度(proper length)。 K´系测量棒的长度： 同时记录棒的两端坐标 x1´， x2´ 。 则棒长为 由洛伦兹变换：

即 长度收缩公式 长度测量与被测物体相对于观察者的运动有关，物体在运动方向长度缩短了， 而在垂直于运动方向上，长度不会收缩。 说明 在宏观领域，长度缩短可以忽略！ 如：第二宇宙速度 v =11.2103 m/s ， v/c  10-4 测量效应与视觉效应不同。 长度收缩与动钟延缓效应是相关的、一致的。

前面的宇宙线中高能 子衰变实验也可用长度收缩来解释。 从固定在高能 子上的惯性系来看，子产生处的高度为 在固有寿命0 内，地球走过的距离为 v0 > l´。

四、相对性与绝对性 相对性：在相对论时空中，运动的描述、时空的量度都是相对的。 绝对性：事件的因果关系有绝对意义。

因果律与物质运动的最大速度 原因 结果 任何物质的运动速度都不能大于真空中的光速

§4-4 狭义相对论动力学基础 一、相对论力学的基本方程 动量的定义： 经典力学中m被认为是常量，与参考系无关 持续作用 持续增加 但 的上限是 随速率增大而增大 要求 理论和实验证实：

相对论性质量： 质速关系反映了物质与运动的不可分割性。 由于空间的各向同性，m(v)与速度方向无关！ v=0 时， m=m0 为物体的静止质量 v<<c 时， 与牛顿力学一致 宏观物体，v 一般不太大，质量变化也很小， 如：火箭 v =11 km/s时，m= 1.000 000 000 9m0 对微观粒子，由加速器加速后，

对光子， ， 其静质量为 , 否则 。 显然，相对论的动量为

相对论力学基本方程： 与牛顿力学方程形式不同。 牛顿力学方程

二、质量与能量的关系 1. 相对论动能 设质点在变力作用下，由静止开始沿x轴做一维运动，由动能定理和动量定理：

代入动能式： 相对论动能：

讨论 得到牛顿力学的动能公式。

2. 相对论总能量 相对论动能： 相对论总能量： （质能关系） 相对论静能：

1. 表明相对论质量是能量的量度。 讨论 2. 对复合粒子系统： Ek指系统随质心平动的动能， 一般， 称质量亏损。 质量亏损以辐射形式释放能量， 称结合能。 核能的利用： 重核裂变或轻核聚变， 恒星的能量来源

三、动量与能量的关系

相对论动量和能量关系式： 光子： 光子能量： 光子动量： 又

例4-3 计算核聚变中释放出的能量： 质子 + 中子 氘核 氘核质量： 质子质量： 中子质量： 解： 结合成1个氘核：

结合成1 mol氘核： 2 g氘核（1 mol）： 6.0221023个氘核 释放能量：

例4-4 太阳由于热核反应而辐射能量 → 质量亏损 年亏损的质量比例

例4-5 两全同粒子以相同的速率v 相向运动，碰后复合，求：复合粒子的速度和质量。 解： 设复合粒子质量为m'， 速度为v' 碰撞过程，动量守恒： 即 能量守恒： 损失的动能转换成静能

例4-6 一个中性介子相对于观察者以速度v = kc 运动，以后衰变为两个光子，两光子的运动轨迹与介子原来的方向成相等的角度  。 试证明:（1）两光子有相等的能量;（2）cos  = k 。 1 2 证明： 动量守恒: 竖直方向： 水平方向：

能量守恒：

例4-7 静止的 介子衰变为 子和中微子，三者的静止质量分别为m 、 m 和 0。求μ+子和中微子 的动能。  +  +  解： 动量守恒： 能量守恒： μ+子： 中微子：

§4-5 广义相对论简介 狭义相对论认为：在所有惯性坐标系中，物理学定律都具有相同的表达式。 在非惯性系中，物理规律又将如何呢？ 爱因斯坦从非惯性系入手，研究与认识了等效原理，进而建立了研究引力本质和时空理论的广义相对论。

广义相对论的等效原理 一观测者在火箭舱里做自由落体实验。 在左图中火箭静止在地面惯性系上，他将看到质点因引力作用而自由下落； 在右图中火箭孤立，不受引力作用，质点静止，但当火箭突然获得一定的向上加速度时（非惯性系），观测者将观测到质点做与左图中完全相同的自由落体运动。

因为惯性质量与引力质量等价。 如果不知舱外情况，观测者无法判断自己究竟是在自由空间相对于恒星做加速运动还是静止在引力场中！ 等效原理（equivalence principle）：在处于均匀的恒定引力场影响下的惯性系中，所发生的一切物理现象，可以和一个不受引力影响，但以恒定加速度运动的非惯性系内的物理现象完全相同。

爱因斯坦据此把相对性原理推广到非惯性系，得到广义相对论的相对性原理： 物理定律在非惯性系中，可以和局部惯性系中完全相同，但在局部惯性系中要有引力存在，或者说，所有非惯性系和所有引力场存在的惯性系对于描述物理现象都是等价的。 在非均匀引力场中，其中一点所在的自由下落火箭舱只代表那一点上的惯性系，叫局部惯性系。 对每一个局部惯性系，可应用狭义相对论的结论。

广义相对论考虑了引力场的作用，因而认识物质、时间、空间的关系比经典物理更为复杂。 广义相对论证明：引力场越强的地方，时钟走得越慢。从此预测了光谱线的红移——引力红移。 光线经过质量较大的物体，受其引力场影响，应向该物体方向偏转。光线经过太阳附近，偏转1.75 " 。

广义相对论的验证——水星在近日点的进动 水星的轨道不是严格闭合的。 从牛顿力学可得到解释，但计算值比观测值每世纪 5600.73" 的进动少43.11" 。 从广义相对论出发，考虑时空弯曲，就能得到43. 03" 的附加值。