第一章 晶体结构 第二章 晶体的结合 第三章 晶格的热振动 第四章 金属电子论 第五章 电子的能带论 第六章 半导体电子论 第七章 固体磁性 第八章 固体超导 1 电子的费米统计 2 电子输运

电子是量子的么？ 常温常压下是的，确切来说，~106K以下都是 像声子那样，有经典模型对应么？ 有！ 就是经典自由电子气体，不幸的是我们是在常温常压下检验它，所以它表现得很糟

交代一下内容逻辑顺序 金属中的电子是怎样存在着的？ 原子呢？晶格结构呢？ 矩形盒子：金属电子论 下一章。。。电子的能带论 经典理想电子气体：Drude model 量子理想电子气体：Pauli exclusion principle 原子呢？晶格结构呢？ 下一章。。。电子的能带论

金属电子论 自由电子模型 —— 不考虑电子与电子、电子与离子之间的相互作用 特鲁特(Drude) — 洛伦兹金属电子论 （在2电子输运中介绍） —— 平衡态下电子具有确定平均速度和平均自由程 —— 电子气体服从麦克斯韦 — 玻尔兹曼统计分布规律，对电子进行统计计算, 得到金属的直流电导、金属电子的弛豫时间、平均自由程和热容

经典电子论的成就 解释金属的特征 —— 电导、热导、温差电、电磁输运等 经典电子论的困难 按照经典能量均分定理，N个电子的能量 对热容量的贡献 大多数金属 量子力学对金属中电子的处理 —— 索末菲在自由电子模型基础上，提出电子在离子产生的平均势场中运动，电子气体服从费密 — 狄拉克分布 —— 计算了电子的热容，解决了经典理论的困难

原子中的电子能级 → Pauli不相容原理 → Fermi-Dirac分布 那么，金属中的自由电子气呢？ → 费米面！ 教材page 61，（2. 2. 1）中19/125怎么来的？

把《统计物理》放旁边 量子统计物理学好没有？ 费米子。。。

1 电子的费米统计和比热容 出发点是什么？ 中间推导过程 … … 结论有多可靠？ 经典理想电子气体Drude模型的问题：比热容不符合实验 1 电子的费米统计和比热容 出发点是什么？ 经典理想电子气体Drude模型的问题：比热容不符合实验 泡利不相容原理：从原子级别到固体级别 量子理想电子气体Sommerfeld模型：费米-狄拉克分布 中间推导过程 … … 态密度复习 粒子数密度条件 计算费米能： EF 是温度的函数？ （化学势） 能量，比热的低温行为 结论有多可靠？ 晶格周期性的影响：能带纳入考虑 紧束缚模型观点的能带：s, p, d, f 电子 有的教材不引入有限温的费米能量，而是叫做化学势，则费米能量=零温化学势。

这是一个什么问题？ 这是一个统计物理问题（3d，1d，2d？） 这是一个量子力学问题 这是一个量子统计（量子多体）问题

凝练的理论问题 出发点（自由） 主要讨论方法和技巧（分 T = 0 和 T > 0 ） 主要结论 什么系综？

细节 。。。

§费密统计和电子热容量 —— 能带理论是一种单电子近似，每一个电子的运动近似看 作是独立的，具有一系列确定的本征态 —— 一般金属只涉及导带中的电子，所有电子占据的状态都 在一个能带内 1. 费密分布函数 电子气体服从泡利不相容原理和费米 — 狄拉克统计 —— 热平衡下时，能量为E的本征态被电子占据的几率

—— 费米分布函数 物理意义：能量为E的本征态上电子的数目 —— 平均占有数 （费米能量？或）化学势 μ —— 体积不变时，系统增加一个电子所需的自由能 电子的总数 —— 对所有的本征态求和

两本书的差别 黄昆： —— 温度升高 费密能(=化学势)下降 胡安： —— 化学势 费密能 = 0温化学势

费米分布函数 电子填充能量 几率

费米分布函数 3) 在较低温度时，分布函数在 处发生很大变化

k空间的费米面 的费米面内所有状态均被电子占有 一部分电子被激发到费密面外附近

以下推导，我们在做一件什么事情？ 约束： 积分方程！ 求解积分方程： 分两步走: (1) T=0; (2) T>0

2. 的确定 回忆态密度 之间状态数 之间的电子数 金属中总的电子数 —— 取决于费密统计分 布函数和电子的能 态密度函数

费米能级 金属中总的电子数 自由电子的能态密度 自由电子的费密能级

电子的平均能量 —— 平均动能 结论：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量 —— 电子满足泡利不相容原理，每个能量状态上只能容许两 个自旋相反的电子 —— 所有的电子不可能都填充在最低能量状态

电子的费密能量 总的电子数 引入函数 —— 能量E以下的量子态总数 能态密度 应用分部积分

因为

分布函数 —— 的偶函数 —— 只在 附近有显著的值，具有函数特点

—— 将 在 附近按泰勒级数展开 —— 保留到二次项

第一项 第二项 是 的偶函数

引入积分变数

令 对于一般温度 将 按泰勒级数在 附近展开，只保留到第二项

将Q’’(EF)按泰勒级数展开，只保留

因为 对于近自由电子 —— 温度升高 费密能级(化学势)下降

—— 温度升高 费密能级下降

3. 电子热容量 金属中电子总能量 引入函数 —— E以下的量子态被电子填满时的总能量 应用分布积分

金属中电子总能量 与 比较 应用费密能量的结果

因为 —— T＝0K 时电子总能量

—— 热激发能 —— 热激发电子的数目 —— 每个电子获得的能量 总的激发能 电子热容量

近自由电子模型下电子热容量 能态密度函数 从 得到 的能态密度 热容量

问题的实质在于： 近自由电子模型下电子热容量 —— 金属中大多数电子的能量远远低于费密能量，由于受 —— 金属中大多数电子的能量远远低于费密能量，由于受 到泡利原理的限制不能参与热激发 (自由度被冻结) —— 只有在费密能附近约 ~ kBT 范围内电子参与热激发， 对金属的热容量有贡献

—— 一般温度下，晶格振动的热容量比电子的热容量大得多 —— 在温度较高下，晶格振动的热容量是主要的 —— 热容量基本是一个常数 低温范围下 —— 不能忽略电子的热容量

把能带考虑进来是必须的！ 研究金属热容量的意义 —— 许多金属的基本性质取决于能量在 EF 附近的电子，电子的热容量与 成正比 —— 从电子的热容量可获得费米面附近能态密度的信息 把能带考虑进来是必须的！

过渡元素 —— Mn、Fe、Co和Ni具有较高的电子热容量 — 附近有较大的能态密度 —— d壳层电子填充不满 d态(5重简并)形成晶 体时相互重叠较小 —— 产生较窄能带，5个能 带发生一定的重叠 —— d能带具有特别大的 能态密度

—— 电子比热系数越大，相应的电子的有效质量越大 重费密子系统 之谜？—— 瞎子摸象 1975年发现化合物CeAl3低温下电子比热系数 按照近自由电子近似模型 跟高温超导，CMR等一样难以解决的问题 —— 电子比热系数越大，相应的电子的有效质量越大

—— 材料称为重费密子系统 目前发现的八种材料中均含有 f 态电子，具有 f 态电子的材料，其原子间距 —— 可能有一个电子相互之间的作用很小，与之对应的能带 较窄，因而具有较大的能态密度