多項式，紐結和不變量 數學天地講座系列 吳忠濤 香港中文大學 16/04/2016

紐結理論/Knot Theory 紐結/Knot 鏈環/Link

生活中無處不在的紐結 鞋帶，水手結，辮子……

紐結的應用 DNA雙螺旋 化學分子 拓撲/topology （龐加萊猜想/Poincare conjecture）

紐結的定義和理論要點 = ? 紐結是一個圈；鏈環是若干個圈。 紐結理論試圖判定給定紐結是否平凡/trivial，或更一般的兩個給定紐結是否相同/isotopic。 = ?

紐結理論的研究工具 紐結不變量/knot invariant 太複雜，理論意義大於實際應用。 需要更實用易算的不變量… 紐結補空間/knot complement 太複雜，理論意義大於實際應用。 需要更實用易算的不變量… 三色性/Tricolorability 亞歷山大多項式/Alexander polynomial

其他定義 紐結連通和 /connected sum 素紐結/Prime knot：不能分解的非平凡紐結 定理：任何紐結都可以唯一的分解成素紐結的連通和。 紐結投影圖/knot diagram；交點/crossing 左圖是平凡紐結的不平凡紐結圖， 共五個交點。

紐結表/Knot Table

前瞻 一個簡單有趣的紐結不變量：三色性 一個重要的紐結不變量：亞歷山大多項式 ∆ 𝐾 (𝑡) 交錯結/alternating knot 應用：區分三葉結/trefoil knot和平凡結/unknot。 一個重要的紐結不變量：亞歷山大多項式 ∆ 𝐾 (𝑡) 應用：區分所有不多於8個交點的紐結。 交錯結/alternating knot 環面結/torus knot、衛星結/satellite knot、 纜結/cable knot

I. Reidemeister變換/Reidemeister moves

紐結投影圖 定理：一個紐結的不同投影圖可由上述三種基本變換(Reidemeister moves)合成得到。 例：三葉結投影圖之變換

紐結投影圖三染色 若一個紐結投影圖的線段可用三種顏色染色並滿足 則稱此投影圖滿足三色性。 右圖兩個平凡紐結的投影圖 都不滿足三色性。 每個交點處包含1種或3種顏色， 投影圖包含所有3種顏色， 則稱此投影圖滿足三色性。 右圖兩個平凡紐結的投影圖 都不滿足三色性。

三色性是紐結不變量 一個紐結的不同投影圖或同時滿足三色性，或同時不滿足三色性。 證明： 故三色性是紐結不變量。

平凡結、三葉結和八字結 平凡結/unknot 三葉結/trefoil knot 八字結/figure-eight knot 結論：平凡結和三葉結不同，三葉結和八字結不同。 無法判定平凡結是否和八字結相同。

II. 拆接關係式/Skein relation Conway 𝒑𝒐𝒍𝒚𝒏𝒐𝒎𝒊𝒂𝒍 𝐶(𝑧)由以下遞歸關係給出 𝐶 𝑂 =1 , 𝑂代表平凡紐結投影圖。 拆接關係式 𝐶( 𝐿 + )=𝐶 𝐿 − +𝑧𝐶 𝐿 0

平凡鏈環、Hopf鏈環和三葉結 𝐶 =𝐶 +𝑧𝐶( ) 故平凡鏈環的Conway polynomial是0。 𝐶 =𝐶 +𝑧𝐶 =0+𝑧=𝑧 𝐶 =𝐶 +𝑧𝐶( ) 故平凡鏈環的Conway polynomial是0。 𝐶 =𝐶 +𝑧𝐶 =0+𝑧=𝑧 故Hopf鏈環的Conway polynomial是z。 𝐶 =𝐶 +𝑧𝐶 =1+ 𝑧 2 故三葉結的Conway polynomial是1+ 𝑧 2 。

性質 可以證明Conway多項式滿足以下性質： Conway多項式是紐結（鏈環）不變量： 歸納定義不依賴於交點的選取。 同一紐結（鏈環）的不同投影圖之Conway多項式相同。 紐結之Conway多項式是 𝑧 2 的多項式，且不依賴於紐結的定向/orientation。

亞歷山大多項式(Alexander Polynomial) 給定紐結K，其亞歷山大多項式 ∆ 𝐾 𝑡 可如下從Conway 多項式得到： 將𝐶 𝑧 中的 𝑧 2 替換成𝑡−2+ 𝑡 −1 乘上唯一恰當的± 𝑡 𝑘 ，得到常數項大於零的多項式。 例：從三葉結的Conway多項式𝐶 𝑧 =1+ 𝑧 2 作替換， 得到1+ 𝑡−2+ 𝑡 −1 =𝑡−1+ 𝑡 −1 。 乘上𝑡, 得亞歷山大多項式 ∆ 𝐾 𝑡 = 𝑡 2 −𝑡+1。 亞歷山大多項式是對稱多項式: ∆ 𝐾 (t)= ∆ 𝐾 (1/𝑡) 𝑡 deg ( ∆ 𝐾 ) 練習：驗證八字結的亞歷山大多項式等於 𝑡 2 −3𝑡+1。

紐結表和亞歷山大多項式 紐結表中交點數≤8的紐結之亞歷山大多項式兩兩不同，所以亞歷山大多項式可完全區分它們。 存在無窮多個非平凡紐結亞歷山大多項式等於1，如 11𝑛 34

III. 交錯結/Alternating Knot 交叉數小於8的紐結全都是交錯結。 交叉數等於8的紐結中有3個非交錯結。 非交錯結遠多於交錯結。 8 17 8 19 8 20 8 21

交錯結的亞歷山大多項式 定理：交錯結的亞歷山大多項式必然是嚴格交錯多項式。 ——多項式係數正負交錯出現 另一方面，非交錯結的亞歷山大多項式可能是也可能不是嚴格交錯多項式。 例： ∆ 8 17 𝑡 = 𝑡 6 −4 𝑡 5 +8 𝑡 4 −11 𝑡 3 +8 𝑡 2 −4𝑡+1 交錯結， ∆ 8 17 𝑡 是嚴格交錯多項式 ∆ 8 19 𝑡 = 𝑡 6 − 𝑡 5 + 𝑡 3 −𝑡+1 非交錯結， ∆ 8 19 𝑡 不是嚴格交錯多項式 ∆ 8 20 𝑡 = 𝑡 4 −2 𝑡 3 +3 𝑡 2 −2𝑡+1 非交錯結， ∆ 8 20 𝑡 嚴格交錯多項式

IV. 環面結/Torus Knot

環面結 T 𝑚,𝑛 : 換面上並列m條平行線，向右錯位一條線共n次。 T 𝑚,𝑛 是紐結當且僅當 gcd m,n =1 T 𝑚,𝑛 與 T 𝑛,𝑚 相同, 故只需考慮 m<n。

環面結是否交錯？ T 2,𝑛 交錯結 當 𝑚>2, T 𝑚,𝑛 非交錯結？ T 𝑚,𝑛 的亞歷山大多項式： = 𝑡 8 − 𝑡 7 + 𝑡 5 − 𝑡 4 + 𝑡 3 −𝑡+1

衛星結/Satellite Knot 和纜結/Cable Knot 給定兩個紐結K和P，定義衛星結K∗P： K：主星結/companion P：模子/pattern 特別地，當模子P是環面結時， 得到的衛星結叫做纜結。 K2,11

纜結的亞歷山大多項式 定理：纜結 K 𝑚,𝑛 的亞歷山大多項式 ∆ K 𝑚,𝑛 𝑡 = ∆ 𝐾 𝑡 𝑚 ∙ ∆ 𝑇 𝑚,𝑛 𝑡 = ∆ 𝐾 𝑡 𝑚 ∙ (𝑡 𝑚𝑛 −1)(𝑡−1) ( 𝑡 𝑚 −1)( 𝑡 𝑛 −1)

纜結的交錯性 給定一個非平凡交錯結K，纜結 𝐾 𝑚,𝑛 是不是交錯結？ 例：右圖紐結的亞歷山大多項式 = ∆ 三葉結 𝑡 2 ∙ 𝑡 22 −1 𝑡−1 𝑡 11 −1 𝑡 2 −1 =( 𝑡 4 − 𝑡 2 +1)∙( 𝑡 10 − 𝑡 9 + 𝑡 8 −…−𝑡+1) = 𝑡 14 − 𝑡 13 + 𝑡 10 −… 不是嚴格交錯多項式。 故“交錯性”在纜結構造下不保持。

紐結理論小結 交錯結，環面結，衛星結，纜結 紐結不變量，三色性，亞歷山大多項式 交錯結的亞歷山大多項式是嚴格交錯多項式 ∆ T 𝑚,𝑛 𝑡 = (𝑡 𝑚𝑛 −1)(𝑡−1) ( 𝑡 𝑚 −1)( 𝑡 𝑛 −1) ∆ K 𝑚,𝑛 𝑡 = ∆ 𝐾 𝑡 𝑚 ∙ ∆ 𝑇 𝑚,𝑛 𝑡