导数与微分 第三章 导数思想最早由法国 数学家 Fermat 在研究 极值问题中提出. 微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz 导数 描述函数变化快慢---变化率---切线斜率---相对误差 微分学 微分 描述函数变化程度---函数值的增量 ---绝对误差 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第3节 隐函数、参变量函数的导数 和高阶导数 一、隐函数的导数 二、参变量函数的导数 三、高阶导数
一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此 函数为隐函数 . 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 的方程)
应用. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , 则 两边对 t 求导 已知 h = 500m 时,
二、参变量函数的导数 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 则 关系, 可导, 且 时, 有 时, 有 (此时看成 x 是 y 的函数 )
三、高阶导数 定义. 若函数 的导数 可导, 则称 的导数为 的二阶导数 , 记作 或 即 或 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 , 分别记作 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或
若前述参数方程中 且 二阶可导, 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得
内容小结 1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘、 连除表示的函数 3. 参数方程求导法 转化 3. 参数方程求导法 极坐标方程求导 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
书面作业 P111-112 1 (2)(4), 2 (2), 3, 4(2), 8 (2), 9(2), 10(2), 12 (2)