The Normal Distribution and Other Continuous Distributions 第 七 講 常態分配及其他連續分配 The Normal Distribution and Other Continuous Distributions

學習目標 1. 定義連續型隨機變數 2. 均等(uniform)、常態(normal)以及指數 (exponential)分配的介紹 1. 定義連續型隨機變數 2. 均等(uniform)、常態(normal)以及指數 (exponential)分配的介紹 3. 連續型隨機變數機率的計算 4. 以常態分配機率近似二項分配機率 As a result of this class, you will be able to ...

資料的獲得 實驗(experiment) 調查(survey) 例如 1 : 丟擲一個骰子 2 : 長度的測量(公分，英吋 等) 例如 1 : 丟擲一個骰子 2 : 長度的測量(公分，英吋 等) 調查(survey) 例如 1 : 某公司新推出的產品在市場上的反應情形 2 : 對某年齡學童身高的測量 ( 150cm, 130cm, 145cm, …)

資 料 類 型 Data Types 資 料 屬 質 屬 量 連續 離散

Continuous Random Variables 連續型隨機變數 9

連續型隨機變數 Continuous Random Variables 1. 隨機變數 (Random variable, r.v.) 將隨機實驗的結果(outcomes)以實數值來表達 例如：學生體重 (65.5公斤、51公斤等等) 2. 連續型隨機變數(Continuous r.v.) 對應實數的數值 經由量測得來(obtained by measuring) 對應於某區間必定為無限多數值 (Infinitive number of values in an interval) 無法一一計數列出 (uncountable)

連續型隨機變數範例 Continuous Random Variable Examples

例題: 連續型隨機變數 實 驗 隨機變數 可能數值

例題: 連續型隨機變數 實 驗 隨機變數 可能數值 實驗 100個人的體重 重量 45.1, 78, ...

例題: 連續型隨機變數 實 驗 隨機變數 可能數值 重量 45.1, 78, ... 壽命的測量 小時 900, 875.9, ... 實 驗 隨機變數 可能數值 100個人的體重 重量 45.1, 78, ... 壽命的測量 小時 900, 875.9, ...

例題: 連續型隨機變數 實 驗 隨機變數 可能數值 重量 45.1, 78, ... 壽命的測量 小時 900, 875.9, ... 實 驗 隨機變數 可能數值 100個人的體重 重量 45.1, 78, ... 壽命的測量 小時 900, 875.9, ... 詢問每次食物的花費 金錢花費 54.12, 42, ...

例題: 連續型隨機變數 實 驗 隨機變數 可能數值 重量 45.1, 78, ... 小時 900, 875.9, ... 壽命的測量 實 驗 隨機變數 可能數值 100個人的體重 重量 45.1, 78, ... 小時 900, 875.9, ... 壽命的測量 詢問每次食物的花費 金錢花費 54.12, 42, ... 間隔時間 0, 1.3, 2.78, ... 到達時間

連續型隨機變數 x 值 (小時) 例如:燈泡壽命的時間測量

連續型隨機變數之密度函數(density function) 連續型隨機變數之數值(x)變化，為整個實驗之結果，具有不可數且無限多的實數，可以用一條曲線來表示整個實驗結果的分布情形。以座標橫軸表示ｘ值，則該曲線定會在橫軸(x)的上方，且該曲線和其 x 值之間所圍繞的區域面積為1。此時以一個數學函數 f(x) 來表示該曲線與ｘ值之間的關係，則該函數 f 即為此隨機變數之密度函數。

連續型隨機變數之機率與 機率密度函數 f(x) c d x 在任一給定的 x 數值區間，與其對應於密度函數 f(x) 的面積即為機率。此時又稱該密度函數為機率密度函數(probability density function) 。 f(x) 本身僅代表於 x 值上的一個密度曲線高度，並非機率 (probability) 。　　 f(x) c d x

機率密度函數 f(x) x a b 1. 數學模式。 2. 該函數可清楚的表達出連續型隨機變數(X)之所有實驗結果的機率分配。 f(x)並非機率probability 密度函數 (x, f(x)) 密度曲線 f(x) x a b x 數值

機率密度函數 基本性質 1. f (x)  0 2. 曲線下總面積為1, f(x) x a b 密度函數值 (x, f(x)) (圖形下Area under curve面積為1) x 數值

連續型隨機變數的機率 機率為密度曲線下的面積 ! f(x) c d X

分配函數 Distribution function 機率 分配函數

分配函數性質 1. 0  F(x)  1 2. F(- )=0 ， F( )= 1 3. F(x)  F(y) ， 若 x  y 4. F(x) =P( X ≤ x )= 1 – P( X > x ) 5. P( x < X  y ) = F(y) - F(x) ，若 x < y

連續型隨機變數 變數值 、 密度曲線 機率密度函數 、 函數分配 例如:燈泡壽命的時間測量 x 值 (小時)

一些常見連續型機率分配

一些常見連續型機率分配 連續型 機率分配 均勻分配 欲在某經常發生事故路段，設置緊急救護中心。若發生事故的地段距離為100公里，試問中心設在離路口20公里，50公里，或80公里處，何者較為適合?

一些常見連續型機率分配 連續型 機率分配 均勻分配 常態分配 身高

一些常見連續型機率分配 連續型 機率分配 均勻分配 常態分配 指數分配 等車時間

一些常見連續型機率分配 連續型 機率分配 均勻分配 常態分配 指數分配 其他分配 抽菸者在不同年齡染患肺癌的風險 f(x)=0.03+0.0003(x-35)2 , x  35

一些常見連續型機率分配 連續型 機率分配 均勻分配 常態分配 指數分配 其他分配

均 勻 分 配 Uniform Distribution 某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的產品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。產品重量落在該區間內任一段區間的頻率或可能性均相同。

均 勻 分 配 f(x) c d x 所有實驗結果發生的頻率或可能性均相同

均 勻 分 配 f(x) c d x 所有實驗結果發生的頻率或可能性均相同 機率密度函數

均 勻 分 配 1. 所有實驗結果發生的頻率或可能性均相同。 2. 機率密度函數為 f(x) x c d x 3. 分配函數

均 勻 分 配 4. 平均數 (μ) 及 標準差 (σ)

均 勻 分 配 f(x) x c d 平均數及中位數相同

均 勻 分 配 範 例 某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的產品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。若公司收到的訂單要求該產品重量必須在24至28公克間，試問該公司有多少產品符合此要求。

範 例 解 某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的產品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。 f(x) x

範 例 解 某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的產品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。 1 10 某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的產品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。 f(x) x 20 30

範 例 解 f(x) 某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的產品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。若公司收到的訂單要求該產品重量必須在24至28公克間，試問該公司有多少產品符合此要求。 x 20 24 28 30

範 例 解 f(x) 1/10 x 20 24 28 30 P(24  X  28) = (底 Base) (高 Height) 24 28 30 P(24  X  28) = (底 Base) (高 Height) = (28 - 24) (1/10) = 0.40

均 勻 分 配 範 例 某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的產品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。若公司收到的訂單要求該產品重量必須在24至28公克間，試問該公司有多少產品符合此要求。 解 : P(24 X  28)= 24 f(x) d x = 24 10 d x = 10 24 = 1 0 = 0.4 28 28 1 28 2 8 – 2 4 x

均 勻 分 配 範 例 某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的產品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。試問該產品的平均重量與標準差。 解 : E(X)= = = 25  =  2.89 c+d 20+30 2 2 30-20 121/2

範 例 二 當您是銘傳飲料公司的生產經理時， 您知道公司將飲料充填量設定為 450克，但實際飲料充填量為一均勻分配於430至470克之間。 試問某罐飲料充填量在440克以下的機率為何? Ming Chuan

範 例 二 解 當您是銘傳飲料公司的生產經理時， 您知道公司將飲料充填量設定為 450克，但實際飲料充填量為一均勻分配於430至470克之間。 試問某罐飲料充填量在440克以下的機率為何? f(x) x 430 470

範 例 二 解 當您是銘傳飲料公司的生產經理時， 您知道公司將飲料充填量設定為 450克，但實際飲料充填量為一均勻分配於430至470克之間。 試問某罐飲料充填量在440克以下的機率為何? f(x) x 430 440 470

範 例 二 解 f(x) x 430 440 470 P(430  X  440) = (底Base)(高Height) 1/40 1 470-430 x 430 440 470 P(430  X  440) = (底Base)(高Height) = (440- 430)(0.025) = 0.25

一些常見連續型機率分配 連續型 機率分配 均勻分配 常態分配 指數分配 其他分配

常態分配 Normal Distribution 9

常態分配的重要性 1. 常態分配數學式為「常態機率密度函數」 2. 可用來描述許多隨機程序或連續現象 3. 離散或連續分配計算機率值時可用它求近似值 例如 : 二項分配 (Binomial distribution)，經驗法則 (Empirical Rule) 4. 傳統的統計推論基礎

常態分配的一些性質 1. 鐘型 (bell-shaped)，且圖形對稱 。

常態分配的一些性質 1. 鐘型 (bell-shaped) ，且圖形對稱 。 Mean Median Mode

常態分配的一些性質 1. 鐘型 (bell-shaped) 2. 對稱函數﹔平均數( mean), 中位數 (median),眾數 (mode) 均相同 3. X 值定義在(-, )﹔且雙尾漸近水平軸 4. 代入不同的 x 值對應到的 f(x) 高低不同; 且曲線下總面積=1 平均數中位數 眾數

常態機率密度函數 x = 隨機變數值 (- < x < ) f (x) = x 的機率密度函數  , = 平均數， 標準差(standard deviation)  = 3.14159 ﹔ e = 2.71828 在 ( ,) 值己知下， (x, f(x))可畫出該鐘形曲線

不同 ( & ) 參數值之曲線

不同 ( & ) 參數值之曲線 f(X) X

不同 ( & ) 參數值之曲線 f(X) A X

不同 ( & ) 參數值之曲線 f(X) 不同σ B A X μ

不同 ( ; ) 參數值之曲線 A為常態( 1 ;  1) B為常態( 1 ;  2) C為常態( 2 ;  1)

常態分配的機率

常態分配的機率 機率為曲線下對應到(c,d) 的「面積」

常態分配的機率 機率為曲線下對應到(c,d) 的面積

求常態分配機率的方法 直接積分、 查表 或 使用電腦求解 機率為曲線下的面積 (總面積=1)

如何使用常態分配表？ 給定不同的平均數與標準差，即有各式不同的常態分配。因此根據平均數與標準差，可以分辨不同的常態分配。

標準常態分配表 Z 表 平均數為 0 變異數為 1 z .00 .01 .02 .03 .04 .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2580 .2611 .2642 .2673 .2703 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995

如何查表獲悉機率? P( 0< Z < 0.21)=? .00 .01 .02 .03 .04 .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2580 .2611 .2642 .2673 .2703 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 0.21

如何查表獲悉機率? P( -∞< Z < 0.21)=? 0.21 z .00 .01 .02 .03 .04 .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2580 .2611 .2642 .2673 .2703 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 P( -∞< Z < 0.21) =P(-∞< Z < 0)+ P(0≤ Z < 0.21) =0.5+0.0832 =0.5832

如何查表獲悉機率? P( Z > 0.21)=? 0.21 P( Z > 0.21) .00 .01 .02 .03 .04 .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2580 .2611 .2642 .2673 .2703 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 0.21 P( Z > 0.21) =0.5– P(0≤ Z < 0.21) =0.5 – 0.0832 =0.4168

如何查表獲悉機率? P( -0.21< Z < 0.21)=? 0.21 -0.21 z .00 .01 .02 .03 .04 .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2580 .2611 .2642 .2673 .2703 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 P( -0.21< Z < 0.21) =2 P(0≤ Z < 0.21) =2 × 0.0832 =0.1664

用常態分配表求機率 不同常態分配各有不同的平均數及標準差；若使用表的方法求機率，則每一常態分配將要有個別的表。 是否需要無限多的表？

一般常態分配與標準常態分配 一般常態分配 標準常態分配 標準化

將常態分配標準化 常態分配 標準化

常態分配標準化 一般常態分配

一般常態分配標準化 一般常態分配 標準常態分配 如此只需要一張表 One table!

標準化例題 X~N(5,100) , P( 5< X < 6.2)=? 常態分配 X m = 5 s = 10 6.2

標準化例題: P(5 < X < 6.2) =P( 0< Z < .12) 常態分配

標準化例題 P( 0< Z < .12) 標準常態分配 常態分配 s = 10 m = 5 6.2 X

查 Z 表 P(5 < X < 6.2) = P( 0 < Z < .12) = .0478 標準常態分配表 (部份) .02 .0478 0.1 .0478 代表機率 陰影面積誇大顯示

例一：P(3.8  X  5) 常態分配 X~N(μ,σ2) μ= 5, σ= 10

例一：P(3.8  X  5) 常態分配

例一 : P(3.8  X  5) Z m = 0 s = 1 標準常態分配表 (部份) .02 0.1 .0478 標準化後 P(–.12 ≤ Z ≤ 0) .02 Z m = 0 s = 1 –.12 0.1 .0478

例一：P(3.8  X  5) .0478 陰影面積有誇大 Shaded area exaggerated

例二：P(2.9  X  7.1) 常態分配 X~N( 5, 102)

例二：P(2.9  X  7.1) 標準化 常態分配 5 s = 10 2.9 7.1 X 陰影面積有誇大 Shaded area exaggerated

例二：P(2.9  X  7.1) 標準常態分配(部分) z .00 .01 .02 .03 .04 .0 .1 .2 .3 .4 .5 .00 .01 .02 .03 .04 .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2580 .2611 .2642 .2673 .2703 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995

例二：P(2.9  X  7.1) .1664 .0832 .0832 陰影面積有誇大Shaded area exaggerated

例三：P(X  8) 常態分配 標準化後

例三：P(X  8) z .00 .01 .02 .03 .04 .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2580 .2611 .2642 .2673 .2703 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 常態分配 Z m = 0 s = 1 0.3

例三：P(X  8) 常態分配 標準化後 .5000 .3821 .1179 陰影面積有誇大Shaded area exaggerated

例四：P(7.1  X  8) 常態分配 標準化

例四：P(7.1  X  8) z .00 .01 .02 .03 .04 .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2580 .2611 .2642 .2673 .2703 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 常態分配 m =0 s = 1 .30 .21 Z

例四：P(7.1  X  8) .1179 .0347 .0832 陰影面積有誇大 Shaded area exaggerated

例題五：燈泡壽命 你是銘傳電器公司品管人員，已知燈泡的壽命為常態分配，且平均壽命 = 2000小時，標準差 = 200小時。 試問隨機抽出一枚燈泡，其壽命可維持 a. 在 2000 至 2400 小時之機率為何? b. 低於 1470 小時之機率為何? Allow students about 10-15 minutes to solve this.

例題五解 1. X ~N(μ,σ2 ), μ=2000, σ=200 2. a. 求 P(2000 ≤ X ≤ 2400)=? 3. b. 求 P( X ≤ 1470)=? 標準化、查Z 表 Z 表 (部分) z .00 .01 .02 .03 .04 .05 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970

例題五解 標準化 查 Z 表 .4772

例題五解 .5000 .0040 .4960

給定機率、求Z值 P ( 0 < Z < Zo ) = .1217 Zo為何值? .1217 陰影面積有誇大 Shaded area exaggerated

給定機率、求Z值 P ( 0 < Z < Zo ) = .1217 Zo為何值? .1217 .1217 .01 0.3 查標準常態分配表 (部分) .01 .1217 陰影面積有誇大 Shaded area exaggerated 0.3 .1217

給定機率、求Z值 .01 0.3 P ( 0 < Z < Zo ) = .1217 Zo為何值? Zo = 0.31 .1217 查標準常態分配表 (部分) .01 .1217 陰影面積有誇大 Shaded area exaggerated 0.3 .1217

給定機率、求出X值 某隨機變數 X~ N ( 5, 100 ) .1217 陰影面積有誇大 Shaded areas exaggerated

給定機率、求出X值 標準化後 .1217 陰影面積有誇大

給定機率、求出x值 .1217 .1217 標準化 陰影面積有誇大

常態分配 對任一符合常態分配之隨機變數 給定 x 值、求出機率 給定機率、求出 x 值 標準化 查表

例題六：垃圾袋強度 假設你和台北市政府簽約生產垃圾袋。 一般塑膠袋可承受垃圾之強度呈常態分配。 若契約上規定某一尺寸垃圾袋之承受力的平均數為 20斤，且標準差 7斤。 試問從市面銷售貨架上， 隨機抽出一個袋子測其強度可承受 a. 25斤以上之機率為何? b. 介於13斤和25斤之機率為何? c. 有 1%的垃圾袋少於某承受力，欲知其承受力有多少? Allow students about 10-15 minutes to solve this.

例題六：垃圾袋強度 垃圾袋承受強度呈常態分配 X ~ N ( m = 20, s 2= 49 ) a. 25斤以上之機率為何? P(X>25) = ? P(Z>(25-20)/7)=P(Z>0.7143)  P(Z > 0.71) = 0.5 - 0.2611 = 0.2389 z .00 .01 .02 .03 .04 .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2580 .2611 .2642 .2673 .2703 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 Allow students about 10-15 minutes to solve this.

例題六：垃圾袋強度 垃圾袋承受強度呈常態分配 X ~ N ( m = 20, s 2= 49 ) b. 介於13斤和25斤之機率為何? z .00 .01 .02 .03 .04 .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2580 .2611 .2642 .2673 .2703 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 垃圾袋承受強度呈常態分配 X ~ N ( m = 20, s 2= 49 ) b. 介於13斤和25斤之機率為何? P(13<X<25) = ? P((13-20)/7 <Z < (25-20)/7) = P(-1 < Z < 0.71) = 0.3413 + 0.2611 = 0.6024 Allow students about 10-15 minutes to solve this.

例題六：垃圾袋強度 X m = 20 s = 7 X=? 垃圾袋承受強度呈常態分配 X ~ N ( m = 20, s 2= 49 ) c. 機率為.01之承受強度? P(X<x) =.01 x=? Allow students about 10-15 minutes to solve this. X m = 20 s = 7 X=? .01

例題六：垃圾袋強度 Z X s = 1 m = 20 s = 7 X=? Z=? m = 0 垃圾袋承受強度呈常態分配 X ~ N ( m = 20, s 2= 49 ) c. 機率為 .01 之承受強度? P(X<x) =.01 x=? Allow students about 10-15 minutes to solve this. s = 1 X m = 20 s = 7 X=? 0.5 Z=? .01 0.49 m = 0 Z

例題六：垃圾袋強度 X ~ N ( m = 20, s 2= 49 ) P(X<x) =.01 x=? P(Z < (μ-20)/7) =0.01 = 0.5-P(z < Z < 0) P(z < Z < 0)=.49, z  -2.33, x = 20+(-2.33)7 =20-16.31=3.69(斤) z .00 .01 .02 .03 .04 .05 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 Allow students about 10-15 minutes to solve this.

例題七：通訊費用 在某地區通訊業者，由以往資料獲悉每月客戶通訊費用符合常態分配，且具有平均費用400元，標準差80元。試問 a. 有多少用戶的通訊費用，介於360至480元 之間? 若該地區該業者的用戶共有一萬戶。 b. 欲知70.54%的客戶之每月通訊費用是在多少 元以下? Allow students about 10-15 minutes to solve this.

例題七：通訊費用 客戶通訊費用呈常態分配 X ~ N (m = 400, s 2=6400 ) a. 介於360至480為何? z .00 .01 .02 .03 .04 .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2580 .2611 .2642 .2673 .2703 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 客戶通訊費用呈常態分配 X ~ N (m = 400, s 2=6400 ) a. 介於360至480為何? P(360<X<480) = ? P((360-400)/80<Z<(480-400)/80) =P(-0.5<Z<1) =0.1915+0.3413=0.5328 10000 × 0.5328 = 5328 (戶) Allow students about 10-15 minutes to solve this.

例題七：通訊費用 客戶通訊費用呈常態分配 X ~ N (m = 400, s 2=6400 ) b. 求70.54%的用戶費用 P(X<x) =.7054, x=? Allow students about 10-15 minutes to solve this. X μ x =? Z ? 標準化

例題七：通訊費用 客戶通訊費用呈常態分配 X ~ N (m = 400, s 2 =6400 ) b. 求70.54%的用戶費用 z .00 .01 .02 .03 .04 .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2580 .2611 .2642 .2673 .2703 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 客戶通訊費用呈常態分配 X ~ N (m = 400, s 2 =6400 ) b. 求70.54%的用戶費用 P(X<x) =.7054, x=? P(Z<(x-400)/80)=0.7054 =0.5+P(0<Z<z) P(0<Z<z)=0.2054 查表 z = .54 標準化 x = 400+.5480= 443.2 (元) Allow students about 10-15 minutes to solve this.

二項分配機率以常態近似求解 Normal Approximation of Binomial Distribution 9

二項分配機率 考慮Y是二項隨機變數; p(y)=P(Y=y) .3 .2 .1 .0 y 2 4 6 8 10 As the number of vertical bars (n) increases, the errors due to approximating with the normal decrease. .1 .0 y 2 4 6 8 10

二項分配機率表 1. 課本附錄之二項分配機率表並不完備 通常只給實驗次數 (n) 小於20或25以下的機率 且表示出的實驗成功機率 p 值有限，大多為 0.1, 0.2, … , 0.9

二項分配近似常態分配 1. 課本附錄之二項分配機率表並不完備 2. 一些二項分配常近似常態分配曲線 例如: 實驗成功機率為 0.5 (p=0.5)的二項分配 或實驗數很大的一些二項分配 .0 .1 .2 .3 2 4 6 8 10 X P(X)

二項分配以常態分配近似 Y ~ B( n=10, p = 0.50) X ~ N ( , 2) 1. 課本附錄之二項分配機率表並不完備 當 p 未列在表上且 n 太大計算累計費時 2. 二項式分配以常態分配曲線近似 實驗成功機率為 0.5 (p=0.5)的二項分配 或實驗數很大的一些二項分配 3. 需使用「連續校正」，以使近似值更精準 Y ~ B( n=10, p = 0.50) X ~ N ( , 2) .0 .1 .2 .3 2 4 6 8 10 X P(X)

近似機率的觀念 應用連續型隨機變數的分配 近似不連續型隨機變數的分配 進而將欲找出之不連續型隨機變數的機率 以連續型隨機變數求出其近似的機率值 As the number of vertical bars (n) increases, the errors due to approximating with the normal decrease.

如何求得其近似機率? 2 4 6 8 10 y P(y) .3 .2 .1 .0 Y ~ B( n =10, p = 0.50) 2 4 6 8 10 y P(y) .3 .2 As the number of vertical bars (n) increases, the errors due to approximating with the normal decrease. .1 .0

如何求得其近似機率? P(y) .3 .2 As the number of vertical bars (n) increases, the errors due to approximating with the normal decrease. .1 .0 y 2 4 6 8 10

如何求得其近似機率? P(y) .3 .2 .1 .0 y 2 4 6 8 10 P(Y=4) =長方形的長度 As the number of vertical bars (n) increases, the errors due to approximating with the normal decrease. .1 .0 y 2 4 6 8 10 P(Y=4) =長方形的長度

如何求得其近似機率? P(x) .3 .2 As the number of vertical bars (n) increases, the errors due to approximating with the normal decrease. .1 .0 x 2 4 6 8 10 長方形面積  P( 3.5 < X < 4.5 )

如何求得其近似機率? P(x) .3 .2 .1 .0 x 2 4 6 8 10 常態機率為x從3.5至4.5間之面積 As the number of vertical bars (n) increases, the errors due to approximating with the normal decrease. .1 .0 x 2 4 6 8 10 常態機率為x從3.5至4.5間之面積

如何求得其近似機率? P(x) .3 .2 .1 .0 x 2 4 6 8 10 P( 3.5 < X < 4.5 ) As the number of vertical bars (n) increases, the errors due to approximating with the normal decrease. .1 .0 x 2 4 6 8 10 P( 3.5 < X < 4.5 )

如何求得其近似機率? P(x) .3 .2 .1 .0 x 2 4 6 8 10 常態分配曲線面積增加部份 As the number of vertical bars (n) increases, the errors due to approximating with the normal decrease. .1 .0 x 2 4 6 8 10

如何求得其近似機率? P(x) .3 .2 .1 .0 x 2 4 6 8 10 曲線下面積增加部份 曲線面積未計部份 As the number of vertical bars (n) increases, the errors due to approximating with the normal decrease. .1 .0 x 2 4 6 8 10

連續校正 Correction for Continuity 1. 欲計算 P( X = a )機率時，需以P(a-0.5 < X < a+0.5)來計算。 2. 當離散型分配機率以連續型機率分配近似求機率時，就須考慮在其端點做 ±0.5 的校正。 3. 可增加精確度。 4 3.5 (4 - .5) 4.5 (4 + .5)

二項隨機變數實驗 以常態近似的方法求其機率的 先決條件 在實驗數 (n) 很大，或當計算累計很費時之時，若其平均數 (np) 加減 3 倍標準差 ( )介於 0 到 n之間，就能以常態近似的方法求機率。

二項隨機變數實驗 以常態近似的方法求其機率的 先決條件 或以 np5 ，且 n(1-p)  5 來判斷，亦能以常態近似的方法求機率。

常態近似的求解步驟 1. 判斷二項分配是否近似常態分配。 a. b. np5 ，且 n(1-p)  5 2. 將欲求之二項隨機變數的區域，改以常態隨機變 數表達。注意選擇適當的「連續校正」數值。 例: 3. 以一般常態分配方法，求出適當的近似機率值。 標準化 , 查表。

常態近似例題 假設隨機變數 Y 為符合 n = 10, p = 0.5 之二項分配。試求P(Y = 4)的常態近似解? P(x) .3 .2 .1 .0 x 2 4 6 8 10 3.5 4.5

常態近似例題解 1. 判斷是否近似常態分配? 落在 0 到 10 之間, 所以適用。 2. 二項隨機變數的區域，改以常態隨機變數表達。

常態近似例題解 3. 計算標準化Ζ值:

常態近似例題解  = 1 Z  = 0 4. 查Z表，並以標準常態分配圖適切表達: .1255 .3289 -.32 -.95 .1255 .3289 - .1255 .2034 .3289  = 0

常態近似例題解 5. 以原二項分配解 P(Y=4)=10!/(4!6!)×0.54×0.56 = 0.2000 ( 比較近似解 0.2034) 2 4 6 8 10 y P(y) .3 .2 .1 .0

一些常見連續型機率分配 連續型 機率分配 均勻分配 常態分配 指數分配 其他分配

指數分配 Exponential Distribution 9

指數分配 1. 描述事件彼此發生的間隔時間或距離 排隊等待時間 (queues) 例: 買票、搭車、看病候診… 汽車行駛哩程數

指數分配 1. 描述事件彼此發生的間隔時間或距離 2. 機率密度函數為 平均數為 1/，標準差為 1/。 排隊等待時間 (queues) 1. 描述事件彼此發生的間隔時間或距離 排隊等待時間 (queues) 例: 買票、搭車、看病候診… 汽車行駛哩程數 2. 機率密度函數為 平均數為 1/，標準差為 1/。

指數分配 以等待時間為例，其指數機率密度函數為 f (x)= e , x 0  為 單位 / 時間  = 2.0  為 單位 / 時間 - x  = 2.0 m=1/l是平均等待時間 時間/單位  = 0.5

指數分配機率

指數分配 例一 : 等車 某公車站平均每 15 分鐘來一班車，已知等車時間符合指數分配。試問前輛車開走後，下輛車等候少於30分鐘的機率為何？

例一解 : 等車 所以在三十分鐘內來車的機率為

若以卜瓦松分配求算，則 (1) 式所代表的意義為 已知平均十五分鐘來一輛車，所以三十分鐘來二輛車。 例一另解 : 等車 若以卜瓦松分配求算，則 (1) 式所代表的意義為 P (第 i 輛車等候時間超過 a 分鐘) =P (第 i 輛車與下輛車等候間隔時間超過 a 分鐘) =P ( a 分鐘內沒有車來) 已知平均十五分鐘來一輛車，所以三十分鐘來二輛車。

已知平均十分鐘來一輛車，所以三十分鐘來二輛車。 例一另解 : 等車 已知平均十分鐘來一輛車，所以三十分鐘來二輛車。 所以三十分鐘內沒車的機率為 在三十分鐘內來車的機率為 與指數分配比較

指數分配 例二 : 註冊 某大學的註冊櫃台僅有一位辦事員。學生前來辦理事務，平均服務一位學生的時間為 5 分鐘，已知服務時間是符合指數分配。試問學生接受服務的時間超過 15 分鐘的機率為何？

例二解: 註冊 註：平均五分鐘來一名，即 m= 5或  =1/ 5。 也可以得到15分鐘平均來3位。

總結 1. 定義連續型隨機變數 2. 均勻(uniform)、常態(normal)以及指數(exponential)分配的介紹 1. 定義連續型隨機變數 2. 均勻(uniform)、常態(normal)以及指數(exponential)分配的介紹 3. 相關連續型隨機變數機率的計算 4. 以常態分配機率近似二項分配機率 5. 指數分配與卜瓦松(poisson)分配 As a result of this class, you will be able to...

關於本講程... 請你靜下來想一想: 1. 你學到哪些 ? 2. 想想在您日常生活中，是否有某些事物或現象符合我們以上所提的各種分配 ? 您是否能找出其可能發生的機率。 3. 是否還有相關問題與疑問 ? As a result of this class, you will be able to... 70