专题二： 利用向量解决 平行与垂直问题
用向量运算证明平行关系 一、直线与直线平行 ——理论依据及解题步骤 利用以上结论，可以较容易地处理立体几何中的线线平行的问题．
二、直线与平面平行
A D C B E F N M
向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是 存在实数对x,y使p=xa+yb. 利用共面向量定理可以证明线面平行问题。 D C B E F N M 评注： 向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是 存在实数对x,y使p=xa+yb. 利用共面向量定理可以证明线面平行问题。 本题用的就是向量法。
如何用向量方法解决立体几何问题？
Z Y X
在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系， 方能减少运算量。本题选用了坐标法。 Z 评注： 由于三种平行关系可以相互转化， 所以本题可用逻辑推理来证明。 用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化， 在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系， 方能减少运算量。本题选用了坐标法。 Y X
Z 三.用向量处理垂直问题 D A C B E Y F X
Z D A C B E Y F X
D A C B 评注： 本题若用一般法证明， 容易证A’F垂直于BD， 而证A’F垂直于DE， 或证A’F垂直于EF则较难， Z D A C B E 评注： 本题若用一般法证明， 容易证A’F垂直于BD， 而证A’F垂直于DE， 或证A’F垂直于EF则较难， 用建立空间坐标系的方法 能使问题化难为易。 Y F X
线线垂直
Z A B C D M Y X
Z A B C D M Y X
所以向量 (-x, x, 0)，又平面AC的法向量为 (0, 0, 1)，∴ ∴ z 证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz D B C A A1 Q P N M D1 C1 B1 设正方形边长为2，又设A1P=BQ=2x 则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0) 故N(2-x, 1+x, 1),而M(2, 1, 1) o y x 所以向量 (-x, x, 0)，又平面AC的法向量为 (0, 0, 1)，∴ ∴ 又M不在平面AC 内，所以MN∥平面AC