1.2 映 射 一、映射的概念及例 定义1 设A，B 是两个非空的集合，A到B 的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中的每一个元素 x，有集合B中一个唯一确定的元素 y 与它对应. 用字母f，g，…表示映射. 用记号 表示f 是A到B的一个映射. 如果通过映射f，与A中元素x对应的B中元素是y，那么就写作 这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 .

注意: ① A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集合 ② 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定的元素与它对应. ③ 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的象. ④ A中不相同的元素的象可能相同.

二、映射的相等及像 设 ， 都是A到B的映射，如果对于每一 x，都有 ，那么就说映射f与g是相等的. 记作 例 令 , 那么 . 设 是一个映射. 对于 ，x的象 . 一切这样的象作成B的一个子集，用 表示： ， 叫做A在f 之下的象，或者叫做映射f 的象.

对于一切 ,f 与g 的合成可以用下面的图示意： 三、 映射的合成 设 是A到B 的一个映射， 是B 到C 的一个映射. 那么对于每一个 ， 是C中的一个元素. 因此，对于每一 ，就有C 中唯一的确定的元素 与它对应，这样就得到A到C 的一个映射，这映射是由 和 所决定的，称为 f 与g 的合成（乘积），记作 . 于是有 对于一切 ,f 与g 的合成可以用下面的图示意： A C f g B

设给映射 ， ， ，有 . 但是，一般情况下 设A是非空集合, ， 称为A上的 恒等映射。 设A，B是两个非空集合，用 和 表示A和B的恒等映射. 设 是A到B的一个映射. 显然有： ， .

四 单射、满射、双射 定义2 设f 是A到B的一个映射，如果 ,那么说称f 是A到B上的一个映射，这时也称f 是一个满映射，简称满射. 是满射必要且只要对于B中的每一元素y ，都有A中元素x 使得 . 关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一个唯一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可以有相同的象. 定义3 设 是一个映射，如果对于A中任意两个元素 和 ，只要 ，就有 ，那么就称f 是A到B 的一个单映射，简称单射.

定义3：如果f 既是满射，又是单射，即如果f 满足下面两个条件: ① 对于一切 ，那么就称f 是A 到B 的一个双射或一一映射。 ② 一个有限集合A到自身的双射叫做A的一个置换. 定理1.2.1 令 是集合A 到B 的一个映射. 那么以下两个条件是等价的： ① f 是一个双射； ② 存在B到A的一个映射g ，使得 ， 再者，当条件②成立时，映射g是由f 唯一确 定的.

1.3 数学归纳法 内容分布 最小数原理 数学归纳法的依据 教学目的 掌握最小数原理，并能熟练应用数学归纳法。 重点、难点 最小数原理的理解，数学归纳法原理的证明。

一、 最小数原理 数学归纳法的理论依据——最小数原理（正整数的一个最基本的性质）. 注意 最小数原理 正整数集 的任意一个非空子集S必含有一个最小数，也就是这样一个数 ，对任意 都有 . 其中 表示全体正整数 的集合. 1． 最小数原理并不是对于任意数集都成立的 2． 设c是任意一个整数，令 那么其代替正整数集 ，最小数原理对于 仍然成立. 也就是说， 的任意 一个非空子集必含有一个最小数，特别，N 的任意一个非空了集必含有一个最小数.

二、数学归纳法原理 定理1.3.1（数学归纳法原理）设有一个与正整数n 有关的命题. 如果 ①当n=1 时. 命题成立； ②假设当n=k 时命题成立，当n=k+1 时命题也成立；那么这个命题对于一切正整数n 都成立. 证 设命题不对一切正整数都成立. 令S 表示使命题不成立的正整数所成的集合. 那么 . 于是，由最小数原理，S 中有最小数h .因为命题对于n=1 成立，所以 从而h-1 是一个正整数. 因为h是S中最小的数，所以 . 这就是说当n=h-1 时，命题成立. 于是由②，当n=h时命题也成立. 因此 . 这就导致矛盾.

定理1.3.2（第二数学归纳法） 设有一个与正整数n有关的命题. 如果 ② 假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则命题对于k也成立； 那么命题对于一切自然数n来说都成立.

1.4 整数的一些整除性质 一、内容分布 整除与带余除法 最大公因数 互素 素数的简单性质 二、教学目的 1.理解和掌握整除及其性质。 2.掌握最大公因数性质、求法。 3.理解互素、素数的简单性质。 三、重点、难点 整除、最大公因数性质、互素有关的证明 。

一、整除与带余除法 设a，b是两个整数，如果存在一个整数d，使得b=ad，那么就说a整除b（或者说b被a整除）。用符号a|b表示a整除b。这时a 叫作b 的一个因数，而b叫做a的一个倍数。如果a不整除b，那么就记作 . ② ① ③ ④ ⑤ 每一个整数都可以被1和 - 1整除。 每一个整数a都可以被它自己和它的相反数 - a整除 ⑥ ⑦

定理1.4.1（带余除法） 设a，b 是整数且 ，那么存在一对整数q和r，使得 证 令 。因为 ，所以S 是N 的一个非空子集。根据最小数定理（对于N），S 含有一个最小数。也就是说，存在 ，使得 r=b-aq 是S 中最小数。于是b=aq+r，并且 。如果 ，那么 ，而

所以 。这是与r 是S 中最小数的事实矛盾。因此 . 假设还 ，使得 于是就有 。如果 那么 由此或者 ，或者 。不论是哪一种情形，都将导致矛盾。这样必须 ，从而 ，也就是说

设a，b是两个整数，满足下列条件的整数 d 叫作a与b的最大公因数： 二、 最大公因数 设a，b是两个整数，满足下列条件的整数 d 叫作a与b的最大公因数： ； ① 。 如果 ② 一般地，设 是n 个整数。满足下列条件的整数d 叫做 的一个最大公因数： ① ②

证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断是明显的。 定理1.4.2 任意 个整数 都有最大公因数。如果d是 的一个最大公因数，那么 - d 也是一个最大公因数； 的两个最大公因数至多只相差一个符号。 证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断是明显的。 现证，任意n个整数 有最大公因数。如果果 ，那么0显然就是 的最大公因数。 设 不全为零，考虑Z 的子集 I 显然不是空集，因为对于每一个i

又因为 不全为零，所以I 含有非零整数。因此 是正整数集的一个非空子集，于是由最小数原理， 有一个最小数d. 下证明，d 就是 的一个最大公因数。 首先，因为 ，所以d >0并且d 有形式 又由带余除法，有

如果某一 ，如 ，那么 而 。这与d是 中的最小数的事实矛盾。这样，必须所有 ，即 。 另一方面，如果 。那么 。这就证明了d 是 的一个最大公因数。 定理1.4.3 设d是 的一个最大公因数。那么存在整数 ，使得 。

设a, b是两个整数，如果（a, b）=1，那么就说a与 b互素。一般地， 是n个整数，如果 ，那么就说这n 个整数 互素。 三、 互素的定义及其性质 设a, b是两个整数，如果（a, b）=1，那么就说a与 b互素。一般地， 是n个整数，如果 ，那么就说这n 个整数 互素。 定理1.4.4 n 个整数 互素的充分且必要条件是存在整数 ，使得 （1） 证 如果 互素， 那么由定理1.4.2立即得到等式（1）成立。反过来，设等式（1）成立。令 那么c 能整除（1）式中的左端。所以c | 1，因此c =1,即 。

四、 素数的定义及其简单性质 定义 一个正整数p>1叫作一个素数，如果除±1和±p 外，没有其它因数。 定理1.4.5 一个素数如果整除两个整数a 与b的乘积，那么它至少整除a 与b中的一个。 证 设p是一个素数，如果p | ab，但 ，由上面所指出的素数的性质，必定有（p, a）=1。于是由定理1.4.4，存在整数s 和t 使得 sp + ta = 1 两边同乘以b ：spb + tab =b . 左边的第一项自然能被p整除；又因为p | ab，所以左边第二项也能被p整除。于是p整除左边两项的和，从而p | b.

1.5 数环和数域 一、数环和数域的定义 定义1：设S是复数集C 的一个非空子集，如果对于S中任意两个数a, b 来说，a +b, a – b, ab 都在S内，那么就称S是一个数环。 例1 取定一个整数a ，令 那么S是一个数环。 证明：S显然不是空集。 设 ，那么 所以S是一个数环。 如取a =2，那么S 就是全体偶数所组成的数环。

例2 令 . 证明S是数环 证明：S显然不是空集，设 ，那么 所以S是一个数环。 定义2 设F 是一个数环，如果 ① F 含有一个不等于零的数； ② 如果， 那么就称F 是一个数域。

例3 令 ，则F是一个数域。 证明：易知F是一个数环，并且 ，所以①成立。 现设 ， 否则当d =0 时， 那么 ， 当 的时， c = 0，这与 矛盾； 矛盾。因此 这就证明了F 是一个数域。

二、数环与数域的性质 1. 任何数环都含有数零； 2. 任何数域都含有数零和数1； 3. 两个数环的交还是数环； 4. 两个数域的交还是数域；

4. 定理1.5.1 任何数域都包含有理数域Q。 证 设F 是一个数域。那么由条件①，F 含有一个不等于0的数a ，再由条件②， 。用1 和它自己重复相加，可得全体正整数，因而全体正整数都属于F。另一方面， ， 所以F 也含有0与任一正整数的差，亦即全体负整数。因为F 含有全体整数。这样，F 也含有用意两个整数的商（分母不为0），因而，F 含有一切有理数。