第七讲 点群(III)

复习： 周期性 晶体的对称性是由其周期性所决定的 第二讲 晶体中的点、线、面 晶体结构 = 基元 + 点阵 周期性 晶体的对称性是由其周期性所决定的 晶体结构 = 基元 + 点阵 结构成分分析中心 理化科学中心 晶体是这样构成的：具有周期性的格点形成点阵，格点由平移矢量 r = ua + vb + wc （u、v、w为任意整数）描述；在每一个格点上附加一个全同的基元，该基元由s个原子组成，其原子的位置由 rj = xja + yjb +zjc 决定，j = 1, 2, 3, ……., s; x, y, z 在0至1之间取值。 点阵，Lattice 对晶体结构最简单的描述，也是最基本的描述 基元，Basis

晶体结构 = 基元 + 点阵 a 小圆点为抽象的任意等同点 a 点阵，Lattice 基元，Basis

一维情况： a 点阵，Lattice p1 pm

(430) 方向指数 [uvw] 晶面指数 (hkl) 点阵，Lattice 基元Basis [-1-10] [410] b a (420) (210) 互质整数 晶面指数 (hkl) 晶体是这样构成的：具有周期性的格点形成点阵，格点由平移矢量 r = ua + vb + wc （u、v、w为任意整数）描述；在每一个格点上附加一个全同的基元，该基元由s个原子组成，其原子的位置由 rj = xja + yjb +zjc 决定，j = 1, 2, 3, ……., s; x, y, z 在0至1之间取值。

c 4 (hkl) = (463)    2 3 b a 截距 倒数 互质整数

a = b,  = 90o a ≠ b,  = 90o 晶带？ 轴向？ 晶面？ a b (100) [100] (010) [010] (110) [110] (120) [120] a = b,  = 90o 晶带？ 轴向？ 晶面？ a b (100) [100] (010) [010] (110) [110] (120) [120] a ≠ b,  = 90o

a = b,  ≠ 90o a’≠ b’,  = 90o a ≠ b,  ≠ 90o [010] [120] [110] (010) [100] a a’≠ b’,  = 90o (110) (120) (100) a b (100) [100] (010) [010] (110) [110] (120) [120] a ≠ b,  ≠ 90o

斜方 长方 有心长方 正方 六角 Oblique, a ≠ b  ≠ 90o Rectangular, a ≠ b  = 90o 更直接地反映对称性 正方 Square, a = b  = 90o 60o angle rhombus, Hexagonal, a = b  = 120o 六角 画一画六角晶胞中的方向指数和密勒指数？

{100},<100> {110},<110> a = b = c,  =  =  = 90o (010) (001) [001] [010] [100] (100) a = b = c,  =  =  = 90o a b c {100},<100> (011) (101) (110) {110},<110>

第四讲(I) 点对称操作 点对称操作(R)：在操作过程中保持空间有一不动点的对称操作。比较：平移操作(t)

对称操作：对分子或晶体，使其各个原子的位置发生变换的操作，但其结果是使分子或晶体的状态与操作前的状态正好相同。 对称操作、点对称操作、参考轴、对称算符 b a c 对称操作：对分子或晶体，使其各个原子的位置发生变换的操作，但其结果是使分子或晶体的状态与操作前的状态正好相同。 点对称操作：在操作过程中保持空间有一不动点的对称操作。 苯分子

1, 2, 3, 4, 5, 6, …  = 360o/n (n = 1,2,3,4,6) t’ A’ B’   A B 1, 2, 3, 4, 5, 6, … t’ A’ B’  = 360o/n (n = 1,2,3,4,6)   A B t’ = mt t n + t

点对称操作 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n 1 (E, L1) 1 (i, C) + , 2 (C2, L2) 2 (σ, P), m + _ , 3 (C3, L3) 3 (S65, Li3) 4 (C4, L4) 4 (S43, Li4) 6 (C6, L6) 6 (S35, Li6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n

c 参考轴： 对称算符 r’ = Rr a, b, c (无需正交) = r = xa + yb + zc x’ y’ z’ x y z a11 a21 a31 = r = xa + yb + zc r’ = x’a + y’b + z’c (x’,y’,z’) (x,y,z) r’ r   b  a  = 90o 直角坐标  = 120o 六角坐标 正交矩阵 恒等 1 镜面{m[001]}，反映 x’ y’ z’ x y z -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 = x’ y’ z’ x y z = -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1

镜面 对称心(i)，反演 m[001] = = m[010] = m[100] = m[110] = m[110] = x’ y’ z’ -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 = x’ y’ z’ x y z = -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 m[010] x’ y’ z’ x y z = -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 m[100] x’ y’ z’ x y z = -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 m[110] x’ y’ z’ x y z = -0 -1 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 m[110] x’ y’ z’ x y z = -0 -1 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1

m[001] ( = 90o) = m[001] ( = 120o) = m[100] ( = 120o) x’ y’ z’ x y z = -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 m[001] ( = 120o) x’ y’ z’ x y z = -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 m[100] ( = 120o) m[100] ( = 90o) x’ y’ z’ x y z = -1 -0 -0 -1 -1 -0 -0 -0 -1 x’ y’ z’ x y z = -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 对称心(i)，反演 x’ y’ z’ x y z -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 =

b a b a 直角坐标 六角坐标

1 (E, L1)  = 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 包含恒等

 = 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 2 (C2, L2)

 = 360o/n 3 (C3, L3); 33; 333 (n = 1,2,3,4,6) 3 (C3, L3) = x’ y’ z’ x y z = -0 -1 -0 -1 -1 -0 -0 -0 -1  = 90o 直角坐标 [111] ?  = 120o 六角坐标

 = 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 4 (C4, L4) 4 (C4, L4); 42 = 2; 43; 44 = 1

6 (C6, L6) 6 (C6, L6); 62 = 3; 63 = 2; 64; 65; 66 = 1

1 (i, C) + _ , + _ , + _ , 手性的变化 对形关系、对形操作

2 (σ, P), m _ , + + _ , 手性的变化 对形关系、对形操作 + _ ,

n = 1n (iCn), Sn = σCn 4 (S43, Li4)

3 (S65, Li3) 3 (S65, Li3) = 3+C

6 (S35, Li6) 6 (S35, Li6) = 3+P

点对称操作 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n 1 (E, L1) 1 (i, C) + , 2 (C2, L2) 2 (σ, P), m + _ , 3 (C3, L3) 3 (S65, Li3) 4 (C4, L4) 4 (S43, Li4) 6 (C6, L6) 6 (S35, Li6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n

3 (S65, Li3) 6 (S35, Li6) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, 33, 32, 31, 36 S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, 63, 62, 6, 66

对称操作元素 4 (C4, L4) 4 (S43, Li4) 4 (C4, L4); 42 = 2; 43; 44 = 1 4 (S43, Li4); 42 (S42) = 2; 43 (S4); 44 = 1

四方双锥晶类 y x 4 (L4); 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4(Li4); 43 4/m (L4PC) 4 (L4); 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4(Li4); 43 C41; C42 = C2; C43; C44 = E; ; i; S43; S4

点对称操作 n = 1n (iCn), Sn = σCn 1 (E, L1) 1 (i, C) 2 (C2, L2) 2 (σ, P), m (σh, σv, σd) 3 (C3, L3) 3 (S65, Li3) (C31, C32, C33) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, 33, 32, 31, 36 4 (C4, L4) 4 (S43, Li4) (C41, C42, C43, C44 ) S4(43), S42(42), S43(4), S44(E) 6 (C6, L6) 6 (S35, Li6) (C61, C62, C63, C64 , C65, C66 ) S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, 63, 62, 6, 66

!!! n = 1n (iCn), Sn = σCn 点对称操作 1 (E) 1 (i) 2 (C2) 2 (σ), m 3 (S65) (σh, σv, σd) (C21, C22) 3 (S65) 3 (C3) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, 33, 32, 31, 36 (C31, C32, C33) 4 (S43) 4 (C4) (C41, C42, C43, C44 ) S4(43), S42(42), S43(4), S44(E) 6 (C6) 6 (S35) (C61, C62, C63, C64 , C65, C66 ) S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, 63, 62, 6, 66

复习： 第五讲 点群（I）

n = 1n (iCn), Sn = σCn 旋转轴(真旋转)， n 旋转反演轴(非真旋转) ， n 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 1 (E, L1) 2 (C2, L2) 3 (C3, L3) 4 (C4, L4) 6 (C6, L6) 1 (i, C) 2 (σ, P), m 3 (S65, Li3) 4 (S43, Li4) 6 (S35, Li6) + , _ 旋转轴(真旋转)， n 旋转反演轴(非真旋转) ， n n = 1n (iCn), Sn = σCn 图示符号 国际方案 熊夫利斯方案 (S21) (S11)

对称操作元素 4 (C4, L4) 4 (S43, Li4) 4 (C4, L4); 42 = 2; 43; 44 = 1 4 (S43, Li4); 42 (S42) = 2; 43 (S4); 44 = 1

3 (S65, Li3) 6 (S35, Li6) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, 33, 32, 31, 36 6 (S35, Li6) S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, 63, 62, 6, 66

四方双锥晶类 y x 4; 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4; 43 4/m (L4PC) 4; 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4; 43 C41; C42 = C2; C43; C44 = E; ; i; S43; S4

!!! n = 1n (iCn), Sn = σCn 点对称操作 1 (E) 1 (i) 2 (C2) 2 (σ), m 3 (S65) (σh, σv, σd) (C21, C22) 3 (S65) 3 (C3) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, 33, 32, 31, 36 (C31, C32, C33) 4 (S43) 4 (C4) (C41, C42, C43, C44 ) S4(43), S42(42), S43(4), S44(E) 6 (C6) 6 (S35) (C61, C62, C63, C64 , C65, C66 ) S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, 63, 62, 6, 66

晶系 晶系是由晶体的对称性来划分的。 各种不同的真旋转和非真旋转操作应用于单胞的各个轴或点阵平移矢量，对单胞的几何形状(晶胞参数)产生限制，导致七种晶系，即晶系是对称性要求的结果。

对称条件 晶系 特点 全对称点群 1 2/m mmm 4/mmm 6/mmm m3m 3m 四个三次轴 三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方 立 方 1(E)或1(i) 2(C2)或2(m) 两个2(C2)或2(m) 4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S65) 6(C6)或6(S35) a≠ b≠ c, ≠≠ a≠b≠c,  =  = 90o≠ a≠b≠c,  =  =  = 90o a = b≠c,  =  =  = 90o a = b≠c,  =  = 90o,  = 120o a = b = c,  =  =  = 90o a = b = c,  =  =  菱形 全对称点群 1 2/m mmm 4/mmm 6/mmm m3m 3m

斜方 长方 有心长方 正方 六角 Oblique, a ≠ b  ≠ 90o Rectangular, a ≠ b  = 90o Square, a = b  = 90o 60o angle rhombus, Hexagonal, a = b  = 120o 六角

结晶学点群：32种 结晶学点群是指一些点对称操作的集合。32种点群可用来完全描述三维晶体的宏观对称性。 对称操作的一个集合，满足以下四条件，就构成一个群： 1、封闭性 （任意两个操作的积还是集合内的一个操作） 2、有恒等操作 3、每一个操作都有逆操作 4、操作的乘法满足结合律 A(BC) = (AB)C

1(L1) m(P) 1(C) 42m (Li42L22P) 2(L2) 2/m (L2PC) 222(3L2) mm2 (L22P) mmm (3L23PC) 4 (Li4) 422 (L44L2) 4/mmm(L44L25PC) 4mm (L44P) 4/m (L4PC) 4(L4) 62m (Li63L23P) 6 (Li6) 622 (L66L2) 6/mmm (L66L27PC) 6mm (L66P) 6/m (L6PC) 6(L6) 23(3L24L3) m3 (3L24L33PC) 432 (3L44L36L2) m3m (3L44L36L29PC) 3m (Li33L23P) 3(L3) 3m (L33P) 32(L33L2) 43m (3Li44L36P) 3(Li3) 32种点群及其点对称操作

1(C1) 2(C2) 222(D2) 4(C4) 6(C6) 3(C3) 23(T) 1(Ci) m (C1h) mm2 (C2v) m3 (Th) 2/m (C2h) mmm (D2h) 4mm (C4v) 6mm (C6v) 32(D3) 43m (Td) 4/mmm(D4h) 6/mmm (D6h) 3(S6) 432 (O) 32种点群符号 422 (D4) 622 (D6) 3m(D3d) m3m (Oh) 4 (S4) 6 (C3h) 42m (D2d) 62 (D3h)

按晶系推导：保证晶系不变，加对称轴和（或）对称面，得到结晶学点群。 点群各符号的顺序 晶系 在 国 际 符 号 中 的 位 置 1 2 3 三斜 单斜 正交 四方 三方 六方 立方 只用一个符号 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴 2或2沿a 2或2沿b 2或2沿c 4或4沿c 2或2沿a和b 2或2沿a±b 3或3沿c 2或2沿a、b和a+b 6或6沿c 2或2a、b和a+b 3或3沿<111> 2或2沿<110> 4、4、2或2沿<100> 按晶系推导：保证晶系不变，加对称轴和（或）对称面，得到结晶学点群。

1 (L1) 三斜晶系 极射赤面（平）投影 一般形

1 (C) 三斜晶系

单斜晶系 (主轴 c) 2 (L2) 第一种定向：c是唯一轴 (unique axis)

单斜晶系 (主轴 c) m (P) 第一种定向：c是唯一轴 (unique axis)

单斜晶系 (主轴 c) 2/m (L2PC) {M[001]}{2[001]} = {1} = E; C2; i; h 第一种定向：c是唯一轴 (unique axis) {M[001]}{2[001]} = {1} = -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1

单斜晶系 (主轴 b) 2 (L2) 第二种定向：b是唯一轴 (unique axis)

单斜晶系 (主轴 b) m (P) 第二种定向：b是唯一轴 (unique axis)

单斜晶系 (主轴 b) 2/m (L2PC) 第二种定向：b是唯一轴 (unique axis)

222 (3L2) 正交晶系 y x {2[001]}{2[100]} = {2[010]} = E; C2; C2’ ; C2’ 1; 2; 2’; 2’ {2[001]}{2[100]} = {2[010]} = -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1

正交晶系 mm2 (mm;L22P) y x

正交晶系 mmm (3L23PC) y 2/m 2/m 2/m x E; C2; C2’ ; C2’; i; h; v; v

正交晶系 按晶系推到点群举例 222 (3L2) mm2 (L22P) mmm (3L23PC)

四方晶系 4 (L4) x y

4/m (L4PC) 四方晶系 y x {4[001]}{m[001]} = {43[001]} = -0 -1 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1

四方晶系 4mm (L44P) y x

4/mmm (L44L25PC) 四方晶系 y x 完全的国际符号：4/m 2/m 2/m E; 2C4; C2; 2C2’; 2C2” ; i; 2S4; h; 2v; 2d

422 (42, L44L2) 四方晶系 y x {4[001]}{2[010]} = {2[110]} = -0 -1 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1

四方晶系 4 (Li4) y x 4/m?

四方晶系 42m (Li42L22P) x y 4m2? 4/mmm?

四方晶系 4 (L4) 4/m (L4PC) 4mm (L44P) 4/mmm (L44L25PC) 422 (42, L44L2) 按晶系推到点群举例 4 (L4) 4/m (L4PC) 4mm (L44P) 4/mmm (L44L25PC) 422 (42, L44L2) 4 (Li4) 42m (Li42L22P)

1 (L1) m (P) 1 (C) 42m (Li42L22P) 2 (L2) 2/m (L2PC) 222 (3L2) mm2 (L22P) mmm (3L23PC) 4 (Li4) 422 (42, L44L2) 4/mmm (L44L25PC) 4mm (L44P) 4/m (L4PC) 4 (L4)

第六讲 点群(II)

1(L1) m(P) 1(C) 42m (Li42L22P) 2(L2) 2/m (L2PC) 222(3L2) mm2 (L22P) mmm (3L23PC) 4 (Li4) 422 (L44L2) 4/mmm(L44L25PC) 4mm (L44P) 4/m (L4PC) 4(L4) 62m (Li63L23P) 6 (Li6) 622 (L66L2) 6/mmm (L66L27PC) 6mm (L66P) 6/m (L6PC) 6(L6) 23(3L24L3) m3 (3L24L33PC) 432 (3L44L36L2) m3m (3L44L36L29PC) 3m (Li33L23P) 3(L3) 3m (L33P) 32(L33L2) 43m (3Li44L36P) 3(Li3) 32种点群及其点对称操作

六方晶系 6 (L6) x y

6/m (L6PC) 六方晶系 y x {6[001]}{m[001]} = {35[001]} = 改成六个面 -1 -1 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 -0 -1 -0

六方晶系 6mm (L66P) 4mm (L44P) y y x x E; 2C6; 2C3; C2; 3v; 3d

六方晶系 6/mmm (L66L27PC) 4/mmm (L44L25PC) x y x y 改成12个面

六方晶系 622 (62, L66L2) 422 (42, L44L2) x y y x E; 2C6; 2C3; C2; 3C2’; 3C2”

六方晶系 6 (Li6) 4 (Li4) y x

62m (Li63L23P) 42m (Li42L22P) 4m2 (Li42L22P) 6m2 (Li63P3L2) 六方晶系 y y x

三方晶系 3 (L3) y x

三方晶系 3m (L33P) x y 3/m?

322? 312? 三方晶系 y x 32 (L33L2) {3[001]}{2[010]} = {2[100]} = -1 -0 -0 -1 -1 -0 -0 -0 -1 -0 -1 -0

三方晶系 3 (L3C) x y 3/m?

3/mmm? 三方晶系 y x y x 3m (L33L23PC) E; 2C3; 3C2; i; 2S6; 3v”

点对称操作 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n 1 (E, L1) 1 (i, C) + , 2 (C2, L2) 2 (σ, P), m + _ , 3 (C3, L3) 3 (S65, Li3) 4 (C4, L4) 4 (S43, Li4) 6 (C6, L6) 6 (S35, Li6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n

完全符号 简略符号 熊夫利斯符号 112 11m 112/m 2 m 2/m C2 C1h(Cs) C2h

分子的点群

意义：1、投影是研究晶体外形和结构的有用工具。2、极射赤面投影能清楚表达晶体点群中对称要素的空间分布。 复习： 第三讲 晶体投影 意义：1、投影是研究晶体外形和结构的有用工具。2、极射赤面投影能清楚表达晶体点群中对称要素的空间分布。

极射赤面投影   /2 Op = r tan(/2) N P A p O S 球面 基圆 r 基圆平面 极距角、方位角 球面坐标：极距角、方位角。纬线、经线、子午面。

B A S N O B A N B A N 可相对任意旋转！ B B N A N A

例：铜单晶体的极射赤面投影 (001) (100) (010) y x z (110) (101) (011) (111)

镜面？ Op = r tan(/2) r = 1,  = 45o (54.73o) 求Op = 0.414 (0.518) O N S

100 (001) (100) (010) 001 010 010 001 010 100 001 y x z 100 110 110 101 (110) (101) (011) 011 011 011 011 101 110 110

x y 111 010 100 001 110 011 101 (111) 001 100 010 Cu单晶体的极射赤面投影

45o 54o44’ ,109o28’ 35o16’ , 70o32’ 60o Cu单晶体的极射赤面投影

x y 极射赤面（平）投影 z 立方晶系中的3h，6d

立方晶系中的3h，6d y x z x y 45o 60o 90o 54o44’ ,109o28’ 35o16’ , 70o32’

010 100 001

立方晶系 23 (3L24L3) x y {3[111]}{3[111]} = {2[010]} 没有4次轴！

m3 (2/m3, 3L24L33PC) 立方晶系 y x 没有4次轴！ {3[111]}{m[001]} = {35[111]} = -0 -1 -0 -0 -0 -1 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1

立方晶系 43m (3Li44L36P) y x 没有4次真旋转轴！

立方晶系 432 (43, 3L44L36L2) x y 有4次轴！

立方晶系 m3m (3L44L36L29PC) x y 有4次轴！

m3m (3L44L36L29PC)

对称条件 晶系 特点 全对称点群 1 2/m mmm 4/mmm 3m 6/mmm m3m 三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方 1(E)或1(i) 三 斜 a≠ b≠ c, ≠≠ 1 2(C2)或2(m) 单 斜 a≠b≠c,  =  = 90o≠ 2/m mmm 两个2(C2)或2(m) 正 交 a≠b≠c,  =  =  = 90o 4(C4)或4(S43) 四 方 a = b≠c,  =  =  = 90o 4/mmm a = b≠c,  =  = 90o,  = 120o 3m 3(C3)或3(S65) 三 方 a = b = c,  =  =  菱形 6(C6)或6(S35) 六 方 a = b≠c,  =  = 90o,  = 120o 6/mmm 四个三次轴 立 方 a = b = c,  =  =  = 90o m3m

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