现代控制理论基础

第1章 控制系统的状态空间模型 1.1 状态空间表达式 1.2 建立状态空间表达式的直接方法 1.3 单变量系统线性微分方程转换为状态空间 1.4 单变量系统传函转换为状态空间表达式 1.5 结构图分解法建立状态空间表达式 1.6 状态方程的线性变换 1.7 多变量系统的传递函数阵

1.1 状态空间表达式 在现代理论当中，由于引入了状态变量，从而形成了一整套新的理论 。它的数学模型就是状态空间表达式。 一、状态、状态变量及状态空间 1.状态： 定义——能够完全描述系统时域行为的一个最小变量组，称为系统的状态，而上述这个最小变量组中的每个变量称为系统的状态变量。 完全描述：若给定 t = t0 时刻这组变量的值（初始状态），又已知t  t0 时系统的输入u(t)，则系统在 t  t0 时，任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。

最小变量组：即这组变量应是线性独立的。 例：RC网络如下图所示，试选择系统的状态变量。 u(t) R C2 C1 C3 i1 i2 i3 y(t) 在t = t0 时，若已知uc1(t0)，uc2(t0)，uc3(t0)和u(t)，则可求得输出y(t)（t  t0），故可选uc1(t)，uc2(t)，uc3(t)作为状态变量。

但因 uc1 = uc2 + uc3 ，显然他们是线性相关的，因此，最小变量组的个数应是二。 一般的： 状态变量个数 = 系统含有独立储能元件的个数 = 系统的阶数 状态变量是具有非唯一性的。如上例中，最小变量组是2个独立变量，可在 uc1，uc2，uc3中任选2个，选法不唯一。

2. 状态空间： 定义：由系统的n个状态变量x1(t)，x2(t)，…，xn(t)为坐标轴，构成的n维欧氏空间，称为n维状态空间。引入状态空间，即可把n个状态变量x1(t)，x2(t)，…，xn(t)看作是n维列向量x(t)的分量，则x(t) 称为状态向量。 又表示为：x(t) ∈R n [x(t) 属于n维状态空间 ]

对于系统的r个输入量，也可以用r维列向量u(t)表示，称为输入向量。对于 m个输出量，用 m维列向量y(t)表示，称为输出向量。

引入状态向量后，则状态向量的端点就表示了系统在某时刻的状态。 3.状态轨线： 定义：系统状态向量的端点在状态空间中所移动的路径，称为系统的状态轨线，代表了状态随时间变化的规律。 例如：三阶系统应是三维状态空间，初始状态是x10， x20，x30 。在u(t)作用下，系统的状态开始变化，运动规律如下：

t0 t1 t2 t3 x1 x2 x3 x30 x10 x20

二.状态空间表达式 1。状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程式。 2。输出方程 输出量与x(t)和u(t)之间的代数方程。 y(t) = g[ x(t), u(t), t ] 3。状态空间表达式 状态方程和输出方程组合起来，构成了对一个系统动态的完整描述。

4。建立方法： 例1-1 试建立机械位移系统的状态空间表达式。 y(t) u(t) k f 弹簧-质量-阻尼器系统 解：列基本方程：

选择状态变量：取： 故得： 将以上方程组写矩阵形式

即 系统的完整描述，必须具有两部分内容，前者刻画出系统运动的内部过程，后者则表达系统内部运动与外部的联系。 结论：列写系统的状态空间表达式的一般方法 1）首先根据基本规则列基本方程； 2）选择系统的状态变量；（按状态定义选） 3）列写系统的状态方程和输出方程，即得状态空间表达式。

例 考察下图所示的简单电路，电路各组成元件的参数为已知，输入变量取为电压源，输出变量取为电阻两端的电压 2019/4/21

（1）确定状态变量 (2) 根据电路定律列出电路的原始方程 2019/4/21

2019/4/21

2019/4/21

A B C D 2019/4/21

5。线性定常系统状态空间表达式的一般形式 对于一般的n阶线性定常系统（n个状态，r个输入，m个输出） 多输入多输出系统 对象 输出 元件 u1 u2 ur x1 x2 xn y1 y2 ym

状态空间描述为： 20

其中： A —系统矩阵 n × n 阶常数矩阵 B — 输入矩阵 n × r 阶常数矩阵 C — 输出矩阵 m × n 阶常数矩阵 D — 直联矩阵 m × r 阶常数矩阵

6。一般线性时变系统： 区别在于：上述矩阵是时间t的函数(变系数微分方程) 7。 非线性定常系统:

8。非线性时变系统： 9。线性系统状态空间表达式的简便写法： 对任意阶次的线性系统，其状态空间表达式的基本形式是一样的，区别在于四个矩阵不同，故可用四联矩阵来简单表示: ∑ (A, B, C, D) ——定常 ∑ (A(t), B(t), C(t), D(t)) ——时变

三 .线性系统状态空间表达式的结构图 根据线性系统的状态空间表达式的一般形式 ： 按单变量系统的结构图绘制原则，一般线性系统可用这种图形象的表达出来。

结构图： y(t) u(t) D(t) x C(t) B(t) ∫ A(t)

[系统框图]： 常用符号： 积分器 比例器 加法器 注:负反馈时为－ 注：有几个状态变量，就建几个积分器

在采用模拟计算机对系统模拟时，必须根据实际的状态空间表达式，画出各分量间的结构图. 例：单输入－单输出系统 由下图可见，无论系统阶次多高，按图都完全可用模拟计算机模拟。所以下图又称计算机模拟图。

a11 c1 b1 b2 a22 a21 a12 c2 ∫ + x1 x2 y u

总结：模拟图绘制步骤： ⑴画出所有积分器； ⑵根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器； ⑶用箭头将这些元件连接起来。 积分器的个数等于状态变量数，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量。 ⑵根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器； ⑶用箭头将这些元件连接起来。 例如：课本p11例1-2

例： 试建立电枢控制的直流电动机的状态空间表达式，并画出其结构图。 下面举例说明： 例： 试建立电枢控制的直流电动机的状态空间表达式，并画出其结构图。 M Ra ua La ia  Uf=const Ea J:电动机轴上的转动惯量 f:负载的阻尼摩擦性质

解：由基本规律列写原始方程： 选状态变量:

故得状态方程：

而输出方程为： 最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图

1 + u(t) x1 x2 x3 Y(t)

小结：状态空间表达式以状态变量为基本出发点，阐明了状态变量对系统的影响，比简单的输入—输出描述更近了一步。 1.把输入到输出的控制过程分成了两阶段： 状态方程 输出方程 y = Cx+Du u(t) x(t) y(t)

2.状态变量的个数等于系统的阶数，但状态变量的选取不是唯一的。则描述系统的状态方程也不唯一。 3.由于状态变量的个数与系统独立储能元件的个数相对立，一般取储能元件的变量作为状态变量。状态初值与储能元件的初始状态相对应。 4.状态空间表达式的数学模型形式不随变量的增加变复杂 ，其形式是一致的。

结 束