第三章 多维随机变量及其分布

实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量. 实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W ). 说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.

同样，从右边的图中，不难得到

讨论F (x, y)能否成为二维r.v.的分布函数？ 例1 例1 设 讨论F (x, y)能否成为二维r.v.的分布函数？ x y • (0,2) • (2,2) 解 • (0,0) • (2,0) x+ y = 1 故F(x, y)不能作为某二维 r.v.的分布函数.

注意 对于二维 r.v. (+,+) (a,+) x y c (a,c) (+,c) a

二、随机向量联合分布函数的性质 不难验证其具有如下性质

三、随机向量的边缘分布函数 定义2. 设

联合分布函数 边缘分布函数.

例2 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为 其中A , B , C 为常数. 确定A , B , C ； 求X 和Y 的边缘分布函数； 求P (X > 2)

解 (1) (2)

(3)

解 (X,Y)关于X的边缘分布函数

解 (X,Y)关于Y的边缘分布函数

§2 二维离散型随机变量

二维离散型随机向量(X,Y)的分布律表

例1. 一袋中装有2只白球和3只黑球,进行有放回取球 若进行不放回取球

例2.一袋中装有4只球,依次标有号码1,2,2,3,从袋中有放回取球两次,X,Y分别表示两次取得球上的号码,则(X,Y)的联合概率分布为

练习 将一枚均匀硬币投掷二次,以X 表示二次中正面的次数,以Y表示二次中正面次数与反面次数之差的绝对值，求(X ,Y )的联合分布律与边缘分布律

二、二维离散型随机向量的边缘概率分布 若(X,Y)为二维离散型随机向量 X的所有可能取值为 Y的所有可能取值为 联合概率函数为 则分别称

离散型随机变量的边缘分布列可以在联合分布列的基础上增加，即 也可以将X,Y分开后分别表示，即

例3 某校新选出的学生会 6 名女委员, 文、 理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机 指定 2 人为学生会主席候选人. 令X , Y 分 别为候选人中来自文、理科的人数. 求(X, Y) 的联合分布律和边缘分布律. 解 X 与Y 的可能取值分别为0 , 1与0 , 1 , 2. 由古典概型计算

类似有

故联合分布律与边缘分布律为 X Y 0 1 2 1 3/15 6/15 1/15 2/3 3/15 2/15 0 1/3 0 1 2 pi• 1 3/15 6/15 1/15 2/3 3/15 2/15 0 1/3 p• j 6/15 8/15 1/15 1

§3 二维连续型随机变量 定义. 二维随机变量的联合密度函数具有以下性质

从而

例4 解 由密度函数性质,有

例2 解

练习 随机向量(X,Y)联合密度函数 (1)求常数c.(2)P(X+Y<1)

§3.3 边缘密度函数 边缘密度函数完全由联合密度函数所决定.

设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)则

边缘密度函数为 例 求随机向量(X,Y)的边缘分布函数和边缘密度函数，已知其联合分布函数为 解 边缘分布函数分别为

解 （X，Y）的联合密度函数 则（X，Y）关于X的边缘密度函数 （X，Y）关于Y的边缘密度函数

例4 设 随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 其中k 为常数.求: 常数 k ; P ( X + Y  1) ； 边缘概率密度 .

解: 令 (1) y = x 1 x y D 37 2019年4月15日8时11分

y = x 1 x y (2) x+y=1 y = x 1 x y x+y=1 0.5 38 2019年4月15日8时11分

(3) y=x 1 x y 39 2019年4月15日8时11分

已知(X,Y)联合密度函数为 求(1)随机向量(X,Y)的X边缘密度函数 (2)P (X > 0.5)

求随机向量(X,Y)的X与Y边缘密度函数，已知其联合密度函数为

三、两个常用的分布 1.二维均匀分布 设G是平面上的有界区域, 其面积为μ(G).若二维随机变量(X, Y)具有概率密度 则称(X, Y)在G上服从均匀分布.

若G1是G 内面积为A1的子区域, 则 即: 此概率仅与G1的面积有关(成正比), 而与G1在G内的位置无关.

2.二维正态分布 若二维随机向量 ( X,Y ) 具有概率密度

一维连续型随机变量 二维连续型随机向量

3.3 条件分布与随机变量的独立性 一、离散型随机变量的条件分布律 二、连续型随机变量的条件概率密度 三、随机变量的独立性

在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 . 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率 推广到随机变量 设有两个随机变量 X,Y， 在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布. 这个分布就是条件分布.

一、离散型随机变量的条件分布律

则在X=3的条件下Y的条件分布律 其中如 同理在Y=1的条件下X的条件分布律

二、 条件密度函数

一维连续型随机变量 二维连续型随机向量

三 随机变量的独立性 在多维随机向量中，各分量之间有的相互影响，有的毫无关系。譬如在研究父子身高时，父亲的身高Y往往会影响儿子的身高X.假如让父子各掷一个骰子，出现的点数Y1与X1之间就看不出任何关系.这种相互之间没有任何影响的随机变量称为相互独立的随机变量.

1.定义

2.说明 (1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为

例 设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为 其中参数 ,这个分布称为二维指数分布,试讨 论X和Y的独立性. 解: 由已知可得边缘分布函数 61 2019年4月15日8时11分

62 2019年4月15日8时11分

证 X与Y的联合分布律与边缘分布律如表所示:

例 解

(1)由分布律的性质知

(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有 特别有 又

例. 解: 所以 根据联合分布列和边缘分布列的关系,不难得到X和Y的联合分布列

由于 所以X,Y不相互独立

解 (1)

例 解 由于X 与Y 相互独立,

例:设随机向量(X,Y)的概率密度函数为 试证X和Y相互独立. 解 于是有 p(x,y)= pX(x) pY(y) 所以X和Y相互独立.

解 (1)X与Y的密度函数分别为 因为X与Y相互独立,所以(X,Y)的联合密度函数

解 (2)因为 所以

§5 二维随机变量函数的分布 解决二维随机变量函数的分布的方法与随机变量函数的分布的方法是一样的,只是前者要比后者复杂得多.有鉴于此,我们仅仅对几种特殊的情形加以讨论.

一、离散型随机变量函数的分布 例1

解 等价于 概率

概率

解 Z为离散型随机变量,其可能取值是0,1,2,3，则 Z 1 2 3 P{Z=k} 0.10 0.40 0.35 0.15

例2 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为 求随机变量 Z=X+Y 的分布律. 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 解 得

可得 所以

具有可加性的两个离散分布 设 X ~B (n, p), Y ~B (m, p), 且独立， 则 X + Y ~ B ( n+m, p)

Poisson分布可加性的证明 X ~ π (1), Y ~ π(2), 则 Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, ,

证 二项分布可加性的证明 设 X 与Y 相互独立, 且 X ~ B (n, p)，Y ~ B (m, p), 则 附录 二项分布可加性的证明 设 X 与Y 相互独立, 且 X ~ B (n, p)，Y ~ B (m, p), 则 X + Y ~ B ( n + m , p) 证 Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, , n + m （证明中用到 ）

k = 0,1,2, , n + m 所以 X +Y~ B ( n+m , p )

解 (1)求Z的分布函数 (2)求Z的密度函数 由X与Y的对称性,得 如果X与Y相互独立则有

解法一:(1)求Z的分布函数 (2)求Z的密度函数

解法二:因为X与Y相互独立 显然Z~N(0,2).

定理表明：相互独立且都服从正态分布的随机变量的线性组合也服从正态分布.

§5.2 Z1=max{X,Y}和Z2=min{X,Y}的分布 解 即Z1=max{X,Y}的分布函数为

解 即Z2=min{X,Y}的分布函数为

解 系统寿命Z=min{X,Y} (1)求Z的分布函数 当z>0时,

(2)求Z的密度函数 因为X与Y都服从U(0,1000),则 所以

例:设系统L由两个相互独立的子系统L1，L2联接而成，联接方式分别为（1）串联；（2）并联；（3）备用（当系统L1损坏时，系统L2开始工作） 例:设系统L由两个相互独立的子系统L1，L2联接而成，联接方式分别为（1）串联；（2）并联；（3）备用（当系统L1损坏时，系统L2开始工作）.设L1，L2的寿命X和Y的概率密度分别为 其中α>0,β>0,且α≠β.试分别就以上三种联接方式写出L的寿命Z的概率密度.

解 X和Y的分布函数分别为 （1）串联的情况: 由于当L1，L2中有一个损坏时,系统L就停止工作,所以这时L的寿命为Z=min{X,Y},其分布函数为 于是Z=min{X,Y}的概率密度为

(2)并联的情况: 由于当且仅当L1，L2都损坏时,系统L才停止工作,所以这时L的寿命为Z=max{X,Y},其分布函数为 于是Z=max{X,Y}的概率密度为

(3)备用的情况: 由于这时只有当L1损坏时, L2才开始工作,所以整个系统L的寿命为Z=X+Y, 于是，当z>0时，Z=X+Y的概率密度为 当z<0时，pX+Y(z)=0.于是的概率密度为