點與圓的位置關係 直線與圓的位置關係 兩圓的位置關係 自我評量

圓是經常看到的平面圖形，如圖2-1，以一定點O 為圓心， 長為半徑畫圓，將此圓稱為圓O。

一圓將所在的平面分成圓的內部、圓周、圓的外部。如圖2-2，A點在圓內、B 點在圓上、C點在圓外。 分別連接圖2-2 中的 、 、 ，若圓O半徑為r，則 ＜r、 ＝r、 ＞r。也就是：

點與圓的 位置關係 A點在圓內 B點在圓上 C點在圓外 圖示 點到圓心 的距離 小於半徑 （ ＜r） 等於半徑 （ ＝r） 大於半徑 （ ＞r）

已知圓O半徑為5，且D、E、F三點與此圓心O的距離分別為4、5、8，試判斷D、E、F三點與圓O的位置關係：（填入圓內、圓上或圓外）

已知圓O半徑為5，且D、E、F三點與此圓心O的距離分別為4、5、8，試判斷D、E、F三點與圓O的位置關係：（填入圓內、圓上或圓外） (2)∵ ＝5＝圓O的半徑 ∴ E 點在圓上 (3)∵ ＝8＞圓O的半徑 ∴ F 點在圓外

1 點與圓的位置關係 如右圖，坐標平面上三點A（3,3）、B（－4,0）、C（1,－2），若以原點O為圓心，半徑為4畫一圓，試判斷A、B、C三點與圓的位置關係。

解 ∵O（0 , 0）為圓心，由兩點距離公式知： (1) ＞4(半徑) ∴ A 點在圓外。

解 ∵O（0 , 0）為圓心，由兩點距離公式知： (2) ＝│( 0－(－4)│＝4（半徑） ∴ B 點在圓上。 B點的 y坐標是0

解 ∵O（0 , 0）為圓心，由兩點距離公式知： (3) ＜4(半徑) ∴ C 點在圓內

在坐標平面上，若圓 O 的圓心在原點，且 A（－3 , 4）在圓 O 上，試求圓 O 的半徑。 ＝

如圖2-3，在平面上，一圓與一直線的位置關係有三種情形：不相交、只交於一點或交於兩點。

不相交： 1. 如圖2-4，若直線L與圓O不相交，則L上的點都在圓O外。 圖2-4 2. 只交於一點： 如圖2-5，若直線L與圓O只交於一點P，則L稱為圓O的切線，P點稱為切點。 圖2-5

如圖2-6，若直線L與圓O交於A、B兩點，則L稱為圓O的割線。 交於兩點： 3. 如圖2-6，若直線L與圓O交於A、B兩點，則L稱為圓O的割線。 圖2-6 如圖2-7，直線L外的任一點A與直線L上各點的連線段，以垂直於直線L的線段 最短，此線段的長度稱為點A到直線L的距離。 圖2-7

前面學過，可以用「點到圓心的距離與圓半徑的大小關係」，判別點與圓的位置關係。同樣地，也可以用「圓心到直線的距離與圓半徑的大小關係」，判別直線與圓的位置關係。 如圖2-8， 通過圓心O，且交圓O 於C、D 兩點。 圖2-8

若一直線L垂直 ，如圖2-9(a)。 圖2-9(a) 圖2-9(b) 圖2-9(c) 1.在圖2-9 (a)中，L與圓O交於兩點，此時圓心O到L的距離小於半徑。

圖2-9(a) 圖2-9(b) 圖2-9(c) 2.將L逐漸向D點移動，並保持與 垂直。當L通過D點時，圓心 O 到 L 的距離等於半徑，如圖2-9(b)。

圖2-9(a) 圖2-9(b) 圖2-9(c) 3.再將L向右移動，並保持與 垂直。當L與圓O 不相交時，圓心O到L的距離大於半徑，如圖2-9(c)。

圖2-9(a) 圖2-9(b) 圖2-9(c) 在圖2-9 (b)中，若L通過D點，且垂直 ，則L是否必為圓O 的切線呢？

如果在L上任取異於D的一點Q，則O、D、Q 三點可形成一個直角三角形，如圖2-10，其中 為斜邊，所以 ＞半徑 ，故Q 點在圓外。也就是說，L 與圓O 不可能有第二個交點，根據「圓的切線與圓只有一個交點的定義」，所以L為圓O的切線。 圖 2-10

反過來說，如果L是圓O的切線，則除了D 點外，L上的其他任一點Q'都會在圓外，因此 ＞半徑 ，也就是說， 是圓心到直線L的最短距離，所以 ⊥ L。

因此，圓與切線間具有下列兩個性質： (1)一圓的切線必垂直於圓心與切點的連線。 (2)圓心到切線的距離等於圓的半徑。 由上面的討論可知，要畫出通過圓O 上一點 A 的切線，只要連接 ，再作通過A點且與 垂直的直線即可。

如圖，A 點在圓O 上，請利用尺規作圖，畫出過 A 點的切線。 如果以r表示圓的半徑，d表示圓心到直線的距離，則直線與圓的位置關係有下列三種情形：

d＜r d＝r d＞r 直線與圓的位置關係 圖示 d和r的 大小比較 交於兩點 交於一點 （直線是圓的割線） （相切） 不相交 (直線是圓的切線) 不相交 圖示 d和r的 大小比較 d＜r d＝r d＞r

圓O的半徑為10，若圓心到三直線L1、L2、L3 的距離分別為5、10、13，請問L1、L2、L3與圓O分別有幾個交點？

如圖2-11，從圓外一點P到此圓作一切線，A為切點，則 稱為P點到圓O的切線長。 如何利用尺規作圖，從圓外給定的一點向此圓作切線，我們將在下一節中討論。現在讓我們來看看一些關於切線長的問題。 圖2-11

2 求切線長 如右圖， 與圓O 切於A 點，已知圓O的半徑為5， ＝10，試求切線長 。

如右圖，連接 。 ∵ 為圓O 的半徑，∴ ＝5， 又 與圓相切於A 點， ∴ ，故△OPA為直角三角形。 根據勾股定理： 解

如右圖，圓O外一點P， 與圓O 切於A點，已知 ＝13， ＝12，試求圓O的半徑。 連接 ，則 ∴ 即圓O的半徑為5

如圖2-12， 通過圓心O，A 點為圓O上任一點，且A 點不在 上，B 點為A 點對 的對稱點，由對稱的概念知 為 的垂直平分線，且 ＝ ，因為 為半徑，所以 也是半徑，因此B 點也在圓O上，故 為圓O的對稱軸。

由上可知，圓是一個線對稱圖形，有無限多條對稱軸，而且都會通過圓心。 圖2-12

如圖2-13，設 為圓O的切線，A為切點，以 為對稱軸，沿著 對摺，可找到 A 點的對稱點 B，因為∠OAP＝90°，所以∠OBP＝90°，因此B點也是切點，且 為 的對稱邊，∠BPO 為∠APO的對稱角。所以 ＝ 且∠APO＝∠BPO。

圖2-13 由上面的說明可知： 如圖2-14， 、 為圓O 的兩切線，A、B 為切點， 則 ＝ ，∠APO＝∠BPO。

3 切線長的應用 如右圖， 、 、 分別切圓O 於A、B、E 三點，且 為圓O 的直徑，已知 ＝3， ＝5，回答下列問題： (1) 試求 。 (2) 試說明∠DOC＝90°

(1) 試求 。 證明 (1)連接 、 。 ＝ ＋ ＝3＋5＝8 （圓外一點到此圓兩切線長相等）

(2) 試證∠DOC＝90° (2)∵ 、 、 分別切圓O 於A、B、E 三點， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4且 ， ， 證明 (2)∵ 、 、 分別切圓O 於A、B、E 三點， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4且 ， ， 因此 // ， ∠ADE ＋ ∠BCE ＝180° （∠1＋∠2）＋（∠3＋∠4）＝180° 2∠2 ＋ 2∠3 ＝180° ∠2 ＋ ∠3 ＝90° 故∠DOC＝90°

如右圖，四邊形ABCD的四邊分別與圓O 切於P、Q、R、S 四點，試證 ＋ ＝ ＋ 。 4 切線長的應用 如右圖，四邊形ABCD的四邊分別與圓O 切於P、Q、R、S 四點，試證 ＋ ＝ ＋ 。 證明 (1)∵ 、 、 、 分別與圓O 切於P、Q、R、S 四點， ∴ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝

證明 (2) ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ） ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ） ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ） ＝ ＋ 即 ＋ ＝ ＋ 。

在例題4中，四邊形 ABCD 的四邊分別與圓 O 相切，我們稱四邊形ABCD 為圓O 的外切四邊形，且稱圓O 為四邊形ABCD 的內切圓。

如右圖，四邊形ABCD 為圓O 的外切四邊形， ＝2x＋1， ＝2x＋3， ＝4x－2， ＝3x－2，試求x 之值。 ∴ ＋ ＝ ＋ （2x＋1）＋（4x－2）＝（3x－2）＋（2x＋3） x＝2

如圖2-15， 為圓O 的弦， 於M，則 的長度稱為 的弦心距。習習慣上 既可表示這條線段。在本書中，我們將以弦心距表示圓心到此弦的垂垂直線段，也代表此線段的長度。

如右圖， 是圓O中的一弦， 為直徑，且 ，試證 ＝ 。 搭配習作P.27基礎題4 5 弦心距垂直平分弦 如右圖， 是圓O中的一弦， 為直徑，且 ，試證 ＝ 。 證明 (1)如右圖，連接 、 。 (2)∵ ， ∴∠1＝∠2＝90°。

證明 (3)在△AOM 與△BOM 中， ∵∠1＝∠2＝90°， ＝ ， ＝ . （半徑）， ∴△AOM △BOM（RHS）， ∴ ＝ 。 由例題5可知： 一弦的弦心距垂直平分此弦。

6 弦心距的應用 如右圖，弦 的弦心距 ＝3， ＝ ，試求圓O 的半徑。 解 ∵ 為弦 的弦心距， ∴ 垂直平分弦 ， ＝ ． ＝ ． ＝ 搭配習作P.27基礎題5 6 弦心距的應用 如右圖，弦 的弦心距 ＝3， ＝ ，試求圓O 的半徑。 解 ∵ 為弦 的弦心距， ∴ 垂直平分弦 ， ＝ ． ＝ ． ＝ 連接 ，依據勾股定理： 故圓O 的半徑為6。

已知 為圓O 上的一弦，若 的弦心距為6，圓O 的半徑為10，試求 。

接下來，我們來探討弦長與弦心距之間的關係： 已知圓O 的半徑為r， 、 為圓O 上的兩弦， 、 、 分別為 、 的弦心距。 若 ＝ ： 如圖2-16， ， 且 ＝ ， ＝ 。 設 ＝ ＝m， 根據勾股定理可知： 1. 圖2-16

1. ∴ ＝ ， 故 ＝ 。 反之，若 ＝ ＝a， 則 ＝ ＝ a， ＝ ＝ a， 根據勾股定理可知： ∴ ＝

我的成功歸功於精細的思考，只有不斷地思考，才能到達發現的彼岸。 —牛頓（Sir Isaac Newton，1642-1727） 若 ＞ ： 如圖2-17， ， ， 且 ＝ ， ＝ 。 設 ＝m， ＝n， 根據勾股定理可知： 2. 圖2-17

∵m＞n，∴ ＜ ， 即 ＜ ， 故 ＜ 。 反之，如圖2-18，若 ＝a， ＝b，且a＞b， 則 ＝ ＝ a， ＝ ＝ b， 根據勾股定理可知： 圖2-18

∵a＞b， ∴ ＜ ， 即 ＜ 。 由上面的說明可知： (1)在同一圓中，弦心距相等，則所對應的弦相等；反之亦然。 ∴ ＜ ， 即 ＜ 。 由上面的說明可知： (1)在同一圓中，弦心距相等，則所對應的弦相等；反之亦然。 (2)在同一圓中，弦心距愈短，則所對應的弦愈長；反之亦然。

前面討論過直線與圓的位置關係，接下來探討兩個圓的位置關係。 同時通過兩圓圓心的直線稱為連心線，兩圓圓心間的距離稱為連心線長。如圖2-19，直線L為圓O1與圓O2的連心線，而 為連心線長。 在圖2-19中，大小兩圓的半徑分別為r1和r2，且r1＞r2。圓O1與圓O2不相交，圓O1與圓O2稱為外離，此時 ＞r1+r2。

圖2-19 兩圓外離 在圖2-20中，若連心線L分別交圓O1與圓O2於A、B 與C、D 四點。過B、C、D 三點分別作圓O1與圓O2的切線M1、M2及M3，由於圓心與切點的連線垂直於過此切點的切線，所以切線M1、M2及M3都垂直於直線L。

圖2-20 如果將圓O2沿著連心線L往左移動，並保持切線M2與連心線L垂直。如圖2-21，圓O2逐漸靠近圓O1，直到切線M1及M2重合，此時兩圓恰好交於一點（B、C兩點重合），此點稱為兩圓的切點，圓O1與圓O2稱為外切，此時 ＝r1＋r2。

圖2-21 兩圓外切 如圖2-22，圓O2沿著L繼續往左移動，直到兩圓交於E、F兩點，此時E、O1、O2可形成一個三角形，根據「三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊」的性質，可得r1＋r2＞ 且r1－r2＜ ，即r1－r2＜ ＜r1＋r2。

圖2-22 兩圓交於兩點

如圖2-23，圓O2沿著L繼續往左移動，直到切線M1及M3重合，此時圓O2與圓O1再度交於一點（B、D 兩點重合），此點也稱為兩圓的切點，圓O1與圓O2稱為內切，此時 ＝r1－r2。 兩圓內切

如圖2-24，圓O2沿著L繼續往左移動，直到圓O2在圓O1的內部，且兩圓不相交，圓O1與圓O2稱為內離。若兩圓心不重疊，此時 ＜r1－r2。 兩圓內離

如圖2-25，當圓O2與圓O1的圓心重疊，圓O1與圓O2稱為同心圓，此時 ＝0。

由上面的說明可以知道： (1)比較兩圓的連心線長與兩圓半徑的和或差，即可判斷兩圓的位置關係。 (2)兩圓外切或內切時，連心線必通過切點。 若圓O1與圓O2半徑相等，則圓O1與圓O2稱為等圓。在等圓中，兩圓是否會有外離、外切、交於兩點、內切或內離的位置關係？ 等圓有外離、外切與交於兩點的位置關係

在坐標平面上，圓O1、圓O2的半徑分別為8和6，其 連心線長為 ，則圓O1和圓O2的位置關係為何？ 7 兩圓的位置關係 搭配習作P.24～25基礎題6～9 在坐標平面上，圓O1、圓O2的半徑分別為8和6，其 連心線長為 ，則圓O1和圓O2的位置關係為何？ 解 ∵ 8－6＜ ＜8＋6， ∴圓O1和圓O2交於兩點。

在坐標平面上，圓O1和圓O2的半徑分別為 、 ，其圓心坐標分別為O1（4,12）和O2（－2,6），則此兩圓的位置關係為何？ 兩圓半徑和＝ ＋ ＝ 故兩圓的連心線長＝兩圓半徑和 即兩圓外切

平面上，若一直線同時與兩圓相切，且兩圓均在此直線的同側，則此直線稱為這兩個圓的外公切線，如圖2-26，直線 L 是圓O1和圓O2的外公切線，而 為兩圓的外公切線長。

平面上，若一直線同時與兩圓相切，且兩圓在此直線的異側，則此直線稱為這兩個圓的內公切線，如圖2-27，直線M是圓O1和圓O2的內公切線，而 為兩圓的內公切線長。 兩圓的外公切線或內公切線，統稱為這兩圓的公切線。

兩圓的位置，與其內、外公切線數量的關係如下表： 位置關係 圖示 外公切線 的數量 內公切線 外離 2條 外切 1條

兩圓的 位置關係 圖示 外公切線 的數量 內公切線 交於兩點 2條 0條 內切 1條 內離

8 求外公切線長 如右圖，直線L與兩圓分別切於A、 B 兩點，已知 ＝8， ＝3， ＝13，試求 。 如右圖，作 於H， 解 搭配習作P.29基礎題10 8 求外公切線長 如右圖，直線L與兩圓分別切於A、 B 兩點，已知 ＝8， ＝3， ＝13，試求 。 如右圖，作 於H， ∴∠ O1HO2＝90°。 又∠HAB＝∠O2BA＝90°， ∴四邊形HO2BA 為長方形。 ＝ － ＝ － ＝8－3＝5 解

解 在直角三角形O1O2H中： ∴ ＝ ＝12。

如右圖，直線L 與兩圓分別切 於A、B 兩點，已知 ＝5， ＝2， ＝6，試求

作 於H ∴四邊形HO2BA為長方形 ＝ － ＝5－2＝3 ＝ ＝6 ＝

9 求內公切線長 如右圖，直線L 與兩圓分別切於A、 B兩點，已知 ＝10， ＝5， ＝25，試求 。 如右圖，作 於H， 證明 搭配習作P.29基礎題11 9 求內公切線長 如右圖，直線L 與兩圓分別切於A、 B兩點，已知 ＝10， ＝5， ＝25，試求 。 如右圖，作 於H， ∴∠O1HO2＝90°， 又∠O1BA ＝ ∠HBA ＝90°， ∴四邊形ABHO1為長方形， 證明

證明 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝5＋10＝15 在直角三角形O1O2H 中： ∴ ＝ ＝20。

如右圖，直線L 與兩圓分別切於A、B兩點，已知 ＝5， ＝3， ＝10，試求 。 作 於H ∴四邊形ABO2H 為長方形 ＝ ＝10 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝5＋3＝8 ＝

1. 點與圓的位置關係： (1)若點在圓內，則點到圓心的距離小於半徑。 (2)若點在圓上，則點到圓心的距離等於半徑。 (3)若點在圓外，則點到圓心的距離大於半徑。 2. 直線與圓的位置關係： (1) 若直線與圓不相交，則圓心到直線的距離大於半徑。 (2) 若直線與圓只交於一點，則圓心到直線的距離等於半徑。 (3) 若直線與圓交於兩點，則圓心到直線的距離小於半徑。

3. 切線： (1)圓心與切點的連線必垂直於過此切點的切線。 (2)圓心到切線的距離等於圓的半徑。 (3)圓外一點到此圓的兩切線長相等。 4.圓外切四邊形與內切圓： 如圖2-28，四邊形ABCD的四邊分 別與圓O相切，則四邊形ABCD稱 為圓O的外切四邊形，圓O稱為四 邊形ABCD的內切圓。 圖2-28

5. 弦心距： (1) 一弦的弦心距垂直平分此弦。 (2) 在同一圓中，弦心距相等，則其所對應的弦相等； 反之亦然。 (3) 在同一圓中，弦心距愈短，則其所對應的弦愈長； 6. 連心線： (1) 同時通過兩圓圓心的直線稱為連心線。 (2) 兩圓圓心間的距離稱為連心線長。 (3) 兩圓外切或內切時，連心線必通過切點。

7. 兩圓的位置關係： 兩圓的位置關係有外離、外切、交於兩點、內切、 內離等情形。 8. 公切線： 同時和兩圓相切的直線稱為此兩圓的公切線。 9. 兩圓位置關係與公切線數量： 如果圓O1半徑為r1，圓O2半徑為r2，且r1＞r2，圓O1與圓O2的連心線長為 ，則：

兩圓的 位置關係 圖示 、r1、r2的關係（r1＞r2） 公切線 數量 外離 ＞r1＋r2 4條 外切 =r1＋r2 3條

兩圓的 位置關係 圖示 、r1、r2的關係 （r1＞r2） 公切線 數量 交於兩點 r1－r2＜ ＜ r1＋r2 2條

兩圓的 位置關係 圖示 、r1、r2的關係 （r1＞r2） 公切線 數量 內切 =r1 －r2 1條 內離 ＜r1 －r2

2-1 自我評量 1.如右圖，四邊形OABC 中，∠A 和∠C 均為直角， ＝24， ＝7， ＝15，回答下列問題： (1)試求 。 ＝7， ＝15，回答下列問題： (1)試求 。 (2)若以O 點為圓心， 為半徑畫圓，則A 、B、C三點會分別落在圓內、圓上或圓外？ (1)連接 ， ＝ ＝ (2) ＝半徑，∴A 點在圓上 ＝25＞半徑，∴B 點在圓外 ＝20＜半徑，∴C 點在圓內

2. 若圓O的直徑為10，圓心到三條直線L1、L2、L3 的距離 分別為3、5、7，回答下列問題： (1) 這三條直線中，哪一條是切線？哪一條是割線？ (2) 已知直線M恰好與圓O交於一點，試求圓心O到M的 距離。 (1) 圓O的直徑為10，∴半徑＝5 又圓心到L1的距離為3＜半徑 圓心到L2的距離為5＝半徑 圓心到L3的距離為7＞半徑 故L2為切線，L1為割線

2. 若圓O的直徑為10，圓心到三條直線L1、L2、L3 的距離 分別為3、5、7，回答下列問題： (1) 這三條直線中，哪一條是切線？哪一條是割線？ (2) 已知直線M恰好與圓O交於一點，試求圓心O到M的 距離。 (2) M與圓O只交於一點 故M為切線，M 到圓心的距離＝半徑＝5

3.如右圖， 與圓O 切於A 點，已知圓O的半徑為6， ＝12，試求 及△OPA 的面積。 連接 ， ＝ △OPA＝ ． ． ＝ ． ．6＝

4. 如右圖，等腰梯形ABCD 為圓O 的外切四邊形，若 // ， ＝3， ＝5，試求 圓O 的半徑。 ABCD為圓O的外切四邊形 ∴ ＋ ＝ ＋ ＝3＋5＝8 又ABCD 為等腰梯形 ∴ ＝ ＝4 作 於E 點，∴ ＝1 ＝ 圓O 的半徑＝ ＝

5.如右圖， 為圓O上的一弦， 為 的弦心距，若圓O的半徑為10， ＝16，試求 。 ＝ ＝8 連接 ＝ 6.若半徑分別為7、5 的兩圓交於兩點，試問此兩圓的連心線長可以是下列哪些長度？（請圈起來） 1 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 、10、11、12、13 ∵兩圓交於兩點 ∴7－5＜連心線長＜7＋5 2＜連心線長＜12

7.在坐標平面上，圓O1與圓O2的半徑分別為6、4，其圓心坐標分別為O1（6,－3）和O2（0,5），則圓O1和圓O2的位置關係為何？ ＝ 圓O1與圓O2的半徑和＝6＋4＝10＝ ∴圓O1與圓O2外切

8.如右圖，圓O1和圓O2兩圓外切，直線L 與圓O1和圓O2分別切於A、B兩點，且圓O1半徑為5，圓O2半徑為3，試求 。 作 於D ∴ABO2D 為長方形 ＝ － ＝ － ＝5－3＝2 ＝ ＝