莫爾圓應力分析 (動畫資源取材自張國彬 葛兆忠老師) 2005.03.23

同學複習囉 問題1 一般常見應力狀態分成哪幾種？

應力狀態分析 1.單軸應力狀態： 單軸壓縮 單軸拉伸 2.雙軸應力狀態： 雙軸拉壓 平面應力 3.三軸應力狀態： Y X 在一般的力學中一般常見的應力狀態有下列三種： 單軸應力狀態：一個主應力不等於零，另外兩個主應力為零。 單軸壓縮 單軸拉伸 雙軸應力狀態：一個主應力為零，另外兩個主應力不等於零。 雙軸壓縮 平面應力 三軸應力狀態：三個主應力都不等於零，一般自然界最可能存在的應力狀態。

單軸應力狀態 (a) (b) P P P 垂直面受力(a) σθ θ θ P P P τθ 斜截面受力(b) 前章已談過承受軸向力P之材料，其在與軸向力P成正交之橫截面上僅產生均勻分布之正交應力，且σ=P/A．如圖11-6(b)所示。本節繼續討論其與橫截面mn夾θ角度之任一斜截面pq上，卻有正交應力與剪應力同時存在之課題，如圖14-6(c)所示。 σθ θ θ P P P τθ 斜截面受力(b)

單軸應力分析--垂直面 物體垂直斷面承受一拉力 物體垂直斷面承受一拉力

單軸應力分析-斜截面 P於斜截面上可分解為： 正交力 N=Pcosθ 剪力 V=Psinθ σθ=N/A =Pcosθ/A =P/A cos2θ τθ=V/A =Psinθ/A =P/2A sin2θ 單軸應力其斜截面桿材料內部任何一方向之受力情形N為正交力 V為剪力 斜截面上承受一拉力

單軸應力分析 最大正交應力 θ=0° σθ=P/A* cos0°=P/A=σ 最小正交應力 θ=90° σθ=P/A* cos90°=0 依上述之分析單軸受力之最大正交應力及剪應力 最大正交應力 θ=0° σθ=P/A* cos0°=P/A=σ 最小正交應力 θ=90° σθ=P/A* cos90°=0 最大剪應力 θ=45° τθ=P/A*sin2x45°=1/2σ

雙軸應力狀態 雙軸向應力 前節已談過材料承受單軸向應力，本節則討論雙軸向應力(biaxialstress )之情形，即材料內之任一點同時承受兩互相垂直之軸向應力。如圖14-10(a)所示，在x及y軸方向僅受軸向應力，而無剪應力，則斜截面pq之法線方向與X軸之夾角為θ，則斜截面pq上之正交應力σθ與剪應力τθ可由平衡關係求得。 茲取斜截面pq左側自由體圖，如圖14-10(b)所示，設σθ作用面上之面積為A，則σx作用面上之面積為Acosθ，σy作用面上之面積為Asinθ。故由自早體圖上，n 與 t 方向之平衡方程式可得：

正負符號判斷 - +

雙軸應力—垂直面 最大正交應力 σ1=σx σ2 =σy 最大剪應力 τ=1/2(σx-σy)

雙軸應力分析 破壞面上正交應力 σθ =1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy)cos2θ 破壞面上剪應力 τθ 破壞面上剪應力 τθ =1/2(σx-σy)sin2θ 桿材料內部任何一方向之受力情形 σx,σy可在斜面上分解垂直與水平分力

雙軸應力---斜截面 最大正交應力 θ=0° σmax=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy)cos0° =σx τ=0 最小正交應力 θ=90° σmin=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy)cos90° =σy 最大剪應力 θ=45° τmax=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy) sin90° =1/2(σx-σy) 主應力：最大正交應力及最小正交應力均稱主應力。即主應力所在的平面稱為主平面。此時剪應力τ必等於0。

平面應力----純剪 σy 當σx=-σy 則 (0,τ) 純剪：當物體內僅受剪力作用時。產生純剪的兩個必要條件為                ***( 1.ψ=45°           2.σx=-σy )*** σy 當σx=-σy 則 σθ=1/2(σx-σx)+1/2(σx+σx)cos90° =0 τθ=1/2(σx-σx)+1/2(σx+σx)sin90°=1/2σx

應力分析 單軸應力 雙軸應力 平面應力 純剪應力 1.在斜面：σ=σxcos2θ，τ=σxsinθcosθ。 2.45°面：σave== τmax=σx/2(平均正交應力等於最大剪應力) 雙軸應力 1.σx與σy稱為主應力(principal stress)，其作用面稱為主平面 (pnincipal plane)，主平面上之剪應力為零。 2.θ=45°時，Tθ最大，且Tmax=1/2(σx- σy)，而 σave=1/2(σx+σy) 平面應力 1.主應力 σ1;2=σx+σY/2+ （σx- σy/2）2+T2 2.最大剪應力：Tm=(σx-σy/2)2+T2 3.平均應力：σave=σx+σy/2 純剪應力 1.對任一純剪之應力狀態，在θ=45°之傾斜面上可得一主應力狀 態，且σ1= -σ2=r

莫爾圓應力分析 名詞解釋 σθ:與垂直面夾θ之平面上之正向應力 τθ:與垂直面夾θ之平面上之剪應力 σ1:最大主應力 σ2:最小主應力 y θ x 名詞解釋 σθ:與垂直面夾θ之平面上之正向應力 τθ:與垂直面夾θ之平面上之剪應力 σ1:最大主應力 σ2:最小主應力 τmax:最大剪應力 τ (0,τmax) (σθ,τθ) (σy,τ) 2θ (σx,τ) σ σ2 σ1

莫爾圓作圖程序 y x 1.作 之直角座標軸 2.X方位之 及 為A點 y方位之 及 為B點 3.標示AB兩點於座標軸上 1.作 之直角座標軸 2.X方位之 及 為A點 y方位之 及 為B點 3.標示AB兩點於座標軸上 4.通過AB兩點畫圓AB連線過水平 軸點即為圓心 (C,0) 即 ( C , 0 ) σX

莫爾圓作圖步驟 5.以A座標點旋轉2θ， 面上之正向應力與剪 應力(σθ ,τθ) 6. σ1=C+R σ2=C-R y θ x 得E 點，此極為θ平 面上之正向應力與剪 應力(σθ ,τθ) 6. σ1=C+R σ2=C-R R 2θ σ2 σx

莫爾圓應力分析 R 1.畫平面座標，以σ為X軸，τ為 Y軸。 2.圓心為1/2(σx+σy)=(C,0) 3.半徑為1/2(σx -σy)=R 4.其與莫爾圓的交點座標即為 （σθ，τθ） 5.最大剪應力=莫爾圓半徑 (R) 6.最大剪應力面與主平面夾450 7.最大正交應力 θ=0° σmax=C+R 8.最小正交應力 θ=90° σmin=C-R 9.最大剪應力 θ=45° τmax=R σ2 C R σ1

莫爾圓應力分析優點 1.應力分析視覺化。 2.σ1,σ2可以簡單之加減法求得。 3.(σθ,τθ)可以三角函數求得。 4.沒有公式之背誦錯誤困擾。 1.應力分析以幾何圖形作圖---視覺化 2.最大主應力與最小主應力可以幾何作圖法求得。 3. 破壞平面上之正向應力與剪應力可以三角函數求得。 4.沒有公式之背誦錯誤

如下圖，利用模具，練習莫爾圓的作圖程序，求σ1、σ2及τmax。 同學練習囉 問題2 如下圖，利用模具，練習莫爾圓的作圖程序，求σ1、σ2及τmax。 τ (B) (A) σ (B) (A)

單軸應力分析 如圖所示，一矩形斷面兩端受1000kg之拉力，其斷面為 4cm x 5cm， 。試以 1.公式解 2.莫爾圓求： (1)θ=450°時之σn，τ各為多少? (2)最大剪應τmax為多少？ (3)σ1，σ2各為多少？ 450 1000kg

公式解 450 1000kg

莫爾圓解 σx=1000/(4x5)=50 圓心座標=1/2(50+0)=25 (σ,τ)=(25,0) θ=450 莫爾圓解 σx σx σx=1000/(4x5)=50 τ 圓心座標=1/2(50+0)=25 (σ,τ)=(25,0) r=25 半徑 r=1/2(50 - 0)=25 (σθ,τθ) 1. σθ=25 (kg/cm2) τθ=25 (kg/cm2) 2θ=900 σ (25,0) (50,0) 2. σ1=50(kg/cm2) σ2=0(kg/cm2) τmax=25(kg/cm2) σ1=50

雙軸應力分析 如圖所示σx=400kg/cm2，σy=200kg/cm2。試求： (1)θ=30°時之σn，τ各為多少? (2)最大剪應τmax為若干？ 1.公式解 2.莫爾圓 σy=200kg/cm2 θ σx=400kg/cm2

平面應力公式解 σθ=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy) cos 2θ 200 平面應力公式解 θ=300 400 σx σy σθ=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy) cos 2θ =1/2(400+200)+1/2(400-200) cos(2x30°) =350 (kg/cm2) τθ=1/2(σx-σy)sin2θ =1/2(400-200) sin(2x30°) =50√3 (kg/cm2) θ=45° τmax=1/2(σx-σy) =1/2(400-200) =100(kg/cm2)

莫爾圓解 τ σ 圓心座標=1/2(400+200)=300 (σ,τ)=(300,0) 1.σn=300+100cos60° θ=300 400 τ 圓心座標=1/2(400+200)=300 (σ,τ)=(300,0) =300 半徑r=1/2(400-200)=100 (350, 50√3) 1.σn=300+100cos60° =350(kg/cm2) τ=100sin60°=50√3(kg/cm2) 2θ=600 σ (300,0) =200 2.最大剪應力 θ=45° τmax=r =100(kg/cm2) =400

平面應力分析例題 如下圖所示之平面應力元件σx=50 kg/cm2，σy=10 kg/cm2，τxy=40kg/cm2 。試以 1.公式解 2.莫爾圓求： (1)θ=30°時之σn，τ各為多少? (2)最大剪應τmax為多少？ (3)σ1，σ2各為多少？ 10 (kg/cm2) 40 (kg/cm2) y 50(kg/cm2) x 50 (kg/cm2) 10 (kg/cm2)

公式解 σn=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy) cos2θ-τxysin2θ 10 公式解 40 θ=300 50 σn=1/2(σx+σy)+1/2(σx-σy) cos2θ-τxysin2θ =1/2(50+(-10))+1/2(50-(-10)) cos2x30°-40sin2x30° =0.359(kg/cm2) τ=1/2(σx-σy)sin2θ+ τxysin2θ =1/2(50-(-10)) sin2x30°-40sin2x30° =45.981(kg/cm2) θ=45° τmax= (kg/cm2)

莫爾圓解 τ σ 2.最大剪應力 θ=45° τmax=r =50(kg/cm2) σ1=20+50=70 σ2=20-50=-30 10 40 θ=300 50 τ 圓心座標=1/2(50+(-10))=20 (σ,τ)=(20,0) r=50 σ2=30 半徑r=√(302+402)=50 α=tan-1(40/30)=53.130 (σn ,τ ) 1σθ=20-50xcos66.870 =0.359(kg/cm2) τθ=50sin66.87°=45.981(kg/cm2) 2θ=600 (50 ,40) α=53.130 2.最大剪應力 θ=45° τmax=r =50(kg/cm2) σ1=20+50=70 σ2=20-50=-30 σ (20,0) (10 ,40) =20 σ1=70