选修2-1简易逻辑第一节 命题和充要条件

第一节　命题及其关系、充分条件与必要条件

1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以____________的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做_________，判断为假的语句叫做__________． 判断真假 真命题 假命题

2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有_______的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 _______________． (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有_______的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 _______________． 3．充分条件与必要条件 (1)如果p⇒q，则p是q的_____条件，q是p的_____条件． (2)如果p⇔q，那么p与q互为_____________． (3)如果pD/⇒q，且qD/⇒p，则p是q的 _______________________． 相同 没有关系 充分 必要 充要条件 既不充分又不必要条件

1．“命题的否定”就是“否命题”这种判断是否正确？为什么？ 【提示】　不正确，①概念不同，命题的否定是直接对命题的结论否定；否命题是对原命题的条件和结论分别否定．②构成不同，对于“若p，则q”形式的命题，命题的否定为“若p，则綈q”；其否命题是“若綈p，则綈q”，③真值不同，命题的否定与原命题真假相反；而否命题与原命题真假无关．

2．命题“若p，则q”的逆命题为真，逆否命题为假，则p是q的什么条件？ 【提示】　由逆命题为真，知q⇒p；逆否命题为假，知pD⇒/q；故p是q的必要不充分条件．

1．(人教A版教材习题改编)下列命题正确的是(　　) ①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件； ②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件； ③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件； ④“a＞b”是“ac2＞bc2”的充要条件． A．②④　　　B．②③　　C．②③④　　D．③④

【解析】　由于|a|＞|b|⇔a2＞b2，a＞b⇔a＋c＞b＋c，故②③正确．由于a＞bD/⇒a2＞b2，且a2＞b2D/⇒a＞b，故①错；当c2＝0时，a＞bD/⇒ac2＞bc2，故④错．

【答案】　C

3．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　原命题正确，从而其逆否命题正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题，故选B. 【答案】　B

4．(2012·天津高考)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件． 【答案】　A

(1)命题p：“若a≥b，则a＋b＞2 012且a＞－b”的逆否命题是(　　) A．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＜b B．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＞b C．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a＜b D．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a≤b

(2)下列命题中为真命题的是(　　) A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题 B．命题“x＞1，则x2＞1”的否命题 C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题 D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题 【思路点拨】　(1)直接根据逆否命题的定义写出，但应注意“且”的否定是“或”． (2)分清命题的条件与结论，写出原命题的逆命题、否命题后再判断真假．

【尝试解答】　(1)“且”的否定是“或”，根据逆否命题的定义知，逆否命题为“若a＋b≤2 012或a≤－b，则a＜b”，故选C. (2)A中逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”是真命题； B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”是假命题； C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”是假命题； D中原命题是假命题，从而其逆否命题为假命题． 【答案】　(1)C　(2)A

1．本例(1)中应注意“且”的否定是“或”，本例(2)中可利用原命题与逆否命题同真假来判断． 2．(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再考查每个命题的条件与结论之间的关系．(2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变． 3．判定命题为真，必须推理证明；若说明为假，只需举出一个反例．互为逆否命题是等价命题，根据需要，可相互转化．

(1)命题“若x、y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　) A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数 B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数 C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数 D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数 (2)(2013·河源模拟)已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为________．

【解析】　(1)“x＋y是偶数”的否定为“x＋y不是偶数”，“x，y都是偶数”的否定为“x，y不都是偶数”．因此其逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”． (2)命题p是真命题，从而其逆否命题也是真命题； 命题p的逆命题是“若方程ax2＋2x＝0有解，则a＞0”是假命题，从而命题p的否命题也是假命题. 故真命题的个数为2. 【答案】　(1)C　(2)2

【思路点拨】　把条件和结论转化为x的取值范围，通过集合间的关系来判断．

【答案】　B

1．判定充要条件应注意：弄清条件p和结论q分别是什么，判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假． 2．充分、必要条件的判断常用方法：(1)定义，(2)利用等价的逆否命题关系，(3)运用集合的包含关系．若p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，从集合观点看： ①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． ②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． ③若A＝B，则p是q的充要条件．

【答案】　C

(2013·阳江模拟)设命题p：2x2－3x＋1≤0； 命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________． 【思路点拨】　先解不等式把命题p、q具体化，再由互为逆否命题的等价性确定p、q之间的关系，最后根据集合的关系列不等式求解．

1．解答本题时，也可先求出綈p，綈q，再根据綈p、綈q之间的关系，确定集合间的关系求解． 2．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解． 3．注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．

【答案】　[9，＋∞)

“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论；“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论．在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别．

1.逆命题与否命题互为逆否命题； 2．互为逆否命题的两个命题同真假．

充分条件、必要条件的判断方法 1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假． 2．等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系． 3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．

从近两年高考命题来看，本节多是对充要条件的考查，少数涉及到四种命题及其真假判断，题型以客观题为主，属中、低档题，内容以数学概念、几何定理、函数或不等式的性质为载体，主要考查逻辑推理能力．常见错误是充要条件的两种不同的叙述方式不清致误．

(2012·山东高考)设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的( ) 易错辨析之一　两种不同的叙述方式不清致误 (2012·山东高考)设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的(　　) A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【错解】　“函数f(x)＝ax在R上是减函数”的充要条件是p：0＜a＜1. 因为g′(x)＝3(2－a)x2，而x2≥0，又因为a＞0且a≠1，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是0＜a＜2且a≠1. 故“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的必要不充分条件. 【答案】　B

错因分析：(1)错选B，究其原因是将“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”混淆，导致颠倒充分性与必要性． (2)不会运用集合的包含关系判断充分必要条件． 防范措施：(1)在判断充要条件的问题中，“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”这两种叙述的含义是不同的，“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必要条件”，解决此类问题时应先将问题转化为第一种基本的叙述方式，然后再进行判断．

(2)“函数f(x)＝ax在R上是减函数”，a的取值集合A＝(0，1)；“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”，a的取值集合B＝(0，1)∪(1，2)．显然AB，故p是q的充分不必要条件．

【正解】　“函数f(x)＝ax在R上是减函数”的充要条件是p：0＜a＜1. 因为g′(x)＝3(2－a)x2，且x2≥0，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是a＜2. 又因为a＞0且a≠1，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是q：0＜a＜2且a≠1. 显然p⇒q，但qD/⇒p，所以p是q的充分不必要条件，即“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件． 【答案】　A

1．(2012·北京高考)设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　) C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】　当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0. 故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件． 【答案】　B

2．(2013·西安模拟)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________． 【答案】　3或4