1-2 廣義角與極坐標 廣義角 1 廣義角的三角函數 2 廣義角三角函數的性質 3 極坐標 4 1-2 廣義角與極坐標 page.1/19

1 廣義角 我們賦予∠AOB方向：將∠AOB視為由射線OA以O點為中心旋轉至射線OB所成的角，這樣的角稱為有向角，射線OA稱為始邊，射線OB稱為終邊。我們並規定逆時針旋轉的角度為正角，順時針旋轉的角度為負角，而且不限制旋轉的圈數。 角的度數可以有正有負，也可以不受0° ~360°的限制，這樣定義的角叫做廣義角。 1-2 廣義角與極坐標 page.2/19

1 在平面上畫出角度是500°的角。 因為500°=360°+140°， 因此可以這樣畫角： 固定始邊 ，逆時針轉一圈， 固定始邊 ，逆時針轉一圈， 再多轉140°至終邊 ，如圖所示， 即可得500°的角。 1-2 廣義角與極坐標 page.3/19

1 廣義角 將廣義角放在坐標平面上，其中角的頂點放在原點上，角的始邊放在 x 軸正向上，這樣的角稱為標準位置角。 當兩個廣義角θ與ψ有共同的始邊與終邊時，我們稱θ與ψ為同界角 ; 若廣義角θ與ψ的差為360°的整數倍，即 θ-ψ=360°• n， n為整數，則稱θ與ψ為同界角。 1-2 廣義角與極坐標 page.4/19

2 試求下列廣義角的同界角θ，使0° < 360° 1000° -200° 因為1000°=360° × 2 + 280°， 試求下列廣義角的同界角θ，使0° < 360° 1000° -200° 因為1000°=360° × 2 + 280°， 所以所求的同界角θ為280°。 (2) 因為-200°=360° × (-1)+160°， 所以所求的同界角θ為160°。 1-2 廣義角與極坐標 page.5/19

2 廣義角的三角函數 設θ是一個標準位置角，在θ的終邊上任取一點 P( x , y )， 1-2 廣義角與極坐標 page.6/19

3 設θ為一標準位置角，A(-2, -1)是θ終邊上一點， 試求 sinθ，cosθ，tanθ的值。 則由定義可知 1-2 廣義角與極坐標 page.7/19

4 試求 sin 135°，cos 135°，tan 135°的值。 觀察 135° 的終邊 恰好把第二象限 “剖半”，如圖所示 觀察 135° 的終邊 恰好把第二象限 “剖半”，如圖所示 因此在 135° 的終邊上取一點 P(-1,1)，可得 1-2 廣義角與極坐標 page.8/19

5 試求 sin 120°，cos 120°，tan 120°的值。 如圖所示， 在120°角的終邊上取一點 P，使得 ，由 P 點向 x 軸作垂線，垂足為 Q 點， 如圖所示， 則直角三角形 OPQ 中，∠POQ = 60°， tan 120° sin 120° cos 120° 1-2 廣義角與極坐標 page.9/19

2 廣義角的三角函數 若點 P ( x , y )為角θ終邊上的一點，且 ， 則 x , y 的正負決定了θ之三角函數值的正負。 如圖所示，故得 1-2 廣義角與極坐標 page.10/19

6 試求 sin (-450°)，cos (-450°) ，tan (-450°)的值。 -450°的終邊轉到 y 軸負向上，如圖所示。 在終邊上取一點 P (0 , -1)，可得 sin (-450°) cos (-450°) 因此，得 而 tan (-450°) 無意義，因為分母為 x = 0。 1-2 廣義角與極坐標 page.11/19

3 廣義角三角函數的性質 由補角關係與餘角關係可以進一步導出下列性質： sin (90°+θ) = sin (180°-(90°-θ)) [補角關係] = sin (90°-θ) [餘角關係] = cosθ 另外，由上述的方法也可以導出下列性質： (1) cos (90°+θ) = -sinθ (2) sin (180°+θ) = -sinθ，cos (180°+θ) = -cosθ， tan (180°+θ) = tanθ (角θ的終邊不在 y 軸上) (3) sin (270°-θ) = -cosθ， cos (270°-θ) = -sinθ (4) sin (270°+θ) = -cosθ， cos (270°+θ) = sinθ 1-2 廣義角與極坐標 page.12/19

3 廣義角三角函數的性質 廣義角三角函數的性質： (3) 負角關係：sin (-θ) = - sinθ，cos (-θ) = cosθ， tan (-θ) = - tanθ。 (角θ的終邊不在 y 軸上) (4) 補角關係：sin (180°-θ) = sinθ，cos (180°-θ) = - cosθ， tan (180°-θ) = - tanθ。 (5) 餘角關係：sin (90°-θ) = cosθ，cos (90°-θ) = sinθ， tan (90°-θ) = tanθ。 1-2 廣義角與極坐標 page.13/19

7 若α為銳角且tan α =2，試求 sin (180°- α)的值。 因為α為銳角且tanα=2= ， 如圖， 取角α終邊上一點 P (1,2)，則 由補角關係可得 sin (180°-α) = sinα= 。 1-2 廣義角與極坐標 page.14/19

8 若 0° θ< 360 °，且 sinθ= ，試求θ。 由廣義角三角函數的定義可知： sinθ的值為正時，θ必為第一或第二象限角。 (1) 若θ為第一象限角，如圖，θ=30° ; 即θ=150° ， (2) 若θ為第二象限角，由補角關係可得 = sin 30°= sin (180°-30°) = sin 150°， 由(1)、(2)可得θ=30°或150° 1-2 廣義角與極坐標 page.15/19

4 極坐標 在平面上選定一條水平射線，端點 O 稱為極點(簡稱極)，此射線稱為極軸(簡稱軸)，對於平面上異於 O 點的任一點 P， 若 ，以極軸為始邊，射線 OP 為終邊的廣義角為θ，我們以[r , θ]表示 P 點的位置，[r , θ]稱為 P 點的一個極坐標，記為 P [r , θ]，其中 r > 0，0° θ < 360° 此外，我們規定極點 O 的極坐標為 [0 , θ] ，其中θ 為任意角。 1-2 廣義角與極坐標 page.16/19

4 極坐標 直角坐標與極坐標的轉換： (1) 若 P 點的極坐標為[r , θ]，則直角坐標為 ( x , y ) = ( r cosθ, r sinθ) 。 (2) 若 P 點不是原點且直角坐標為 ( x , y )， 則極坐標為 [r , θ]，其中 1-2 廣義角與極坐標 page.17/19

9 (1) 已知 P 點的極坐標為[ 4 , 120°]，試求 P 點的直角坐標。 (2) 已知 Q 點的直角坐標為(-2 , -2)，試求 Q 點的極坐標。 (1) 設 P 點的直角坐標為 ( x , y )，如圖所示， 因為 r = 4，θ= 120°， 所以 ( x , y ) = ( 4 cos 120 ° , 4 sin 120 °) 故 P 點的直角坐標為 。 1-2 廣義角與極坐標 page.18/19

9 (1) 已知 P 點的極坐標為[ 4 , 120°]，試求 P 點的直角坐標。 (2) 已知 Q 點的直角坐標為(-2 , -2)，試求 Q 點的極坐標。 (2) 設 Q 點的極坐標為[ r , θ]，如圖所示， 所以θ= 225°， 故 Q 點的極坐標為[ , 225°]。 1-2 廣義角與極坐標 page.19/19