大学物理学 主讲： 物理电子学院 张 涛 教 授

第一篇 力 学 (Mechanics)

第1章 质点运动学 (8) (Kinematics of particle) 内容提要 描述质点运动的物理量 相对运动

a §1-1 矢量 一.矢量的表示法 x ax ay az y z 图1-1 a a A a=|a | A=|A | §1-1 矢量 一.矢量的表示法 x ax ay az y z o a 图1-1 a a A a=|a | A=|A | ax、ay、az分别是矢量a 在坐标轴x、y、z上的投影(分量)。 i、j、k分别是沿x、y、z轴正方向的单位矢量(恒矢量)。

二.矢量的加、减法 b a c =? a b + =？ c a+b+c a+b b b a a 三角形法 多边形法 - a b =？ a b a - b

三.标量积(点积、数量积、内积)

四.矢量积(向量积、叉积、外积) b a c  积C的方向垂直于矢量a 和b组成的平面， c 指向由右手螺旋法则确定。

矢量函数的微商=矢量大小的微商+矢量方向的微商 五.矢量函数A(t)的微商 lim t0 1.矢量函数的微商与标量函数的微商不同： 矢量函数的微商=矢量大小的微商+矢量方向的微商 2. 的方向，一般不同于A 的方向。 只有当t0时， A 的极限方向，才是 的方向。 特别是,当A的大小不变而只是方向改变时, 就时刻保持与A垂直。

3. 在直角坐标系中,考虑到 是常量,有 由于Ax(t), Ay(t), Az(t)是普通的函数，所以 就是普通函数的微商。

§1-2 参考系、质点 一.运动的绝对性和相对性  运动是普遍的、绝对的。没有运动就没有世界。 　 运动的描述是相对的。　 

为了对物体的运动作定量描述， 还需要在参考系中取定一个固定的坐标系。 坐标系是参考系的代表和抽象。 二.参考系 坐标系  在研究机械运动时，选作参考的物体称为参考系。 为了对物体的运动作定量描述， 还需要在参考系中取定一个固定的坐标系。 坐标系是参考系的代表和抽象。 m 常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系、球坐标系和自然坐标系。 三.理想模型质点 在所研究的问题中，形状和大小可以忽略的物体质点。

r r=xi+yj+zk §1-3 位置矢量 运动方程 轨道方程 一.位置矢量描述一个质点在空间位置的矢量 位置矢量，简称位矢或矢径。 §1-3 位置矢量 运动方程 轨道方程 一.位置矢量描述一个质点在空间位置的矢量 位置矢量，简称位矢或矢径。 从坐标原点o指向P点的有向线段op=r 图1-1 o x y z P(x,y,z)  由图1-1 可知, x y z    A B C r i、j、k 单位矢量。 r=xi+yj+zk (1-1)

r 位置矢量 r 的大小(即质点P到原点o的距离)为 z 方向余弦: P(x,y,z) 图1-1 o x y z P(x,y,z)     A B C r 方向余弦: cos=x/r,cos=y/r,cos=z/r 式中 , ,  取小于180°的值。 cos2  + cos2  + cos2  =1

二.运动方程 (1-4) (1-3) 它们都叫做质点的运动方程。 三.轨道方程 质点所经的空间各点联成的曲线的方程，称为轨道方程。 运动方程 例：x=6cos2t y=6sin2t 消去时间t得： x2+y2=62 这就是轨道方程。

如图1-2所示, 质点沿曲线C运动。时刻t在A点，时刻t+t在B点。 §1-4 位移　速 度 一.位移和路程 如图1-2所示, 质点沿曲线C运动。时刻t在A点，时刻t+t在B点。 从起点A到终点B的有向线段AB=r, 称为质点在时间t内的位移。 A z y o x 图1-2 B C  S r(t) r 而A到B的路径长度S, 称为路程。 r(t+t) (1)位移是位置矢量r 在时间t内的增量:

在直角坐标系中，若t1、t2时刻的位矢分别为r1和r2 ,则这段时间内的位移为 在x轴方向的位移为 注意：坐标的增量x = x2-x1是位移，而不是路程!

位移代表位置变化，是矢量，在图1-2中，是有向线段AB, 它的大小是|  r ,即割线AB的长度。 (2)位移和路程是两个不同的概念。 位移代表位置变化，是矢量，在图1-2中，是有向线段AB, 它的大小是|  r ,即割线AB的长度。 路程表示路径长度，是标量，它的大小是曲线弧AB的长度S 。在一般情况下, S和 并不相等。 A B r A z y o x 图1-2 B C  S r(t) r(t+t) B A C 位移=AC路程=AB+BC 只有当t→0时,才有 |Δr |   S 。

二.速度、速率 定义: z 单位时间内的位移平均速度。 S r(t) r(t+t) 单位时间内的路程平均速率。 图1-2 C A y o x 图1-2 B C  S r(t) r(t+t) 单位时间内的路程平均速率。

如，质点经时间t绕半径R的圆周运动一圈， 则平均速度为 而平均速率为 即使在直线运动中，如质点经时间t从A点到B点又折回C点,显然平均速度和平均速率也截然不同: B A C

lim lim = 质点的(瞬时)速度: 质点的(瞬时)速率: 这表明,质点在t时刻的速度等于位置矢量r 对时间的一阶导数; (1-9) lim t0 质点的(瞬时)速率: lim t0 = (1-12) 这表明,质点在t时刻的速度等于位置矢量r 对时间的一阶导数; 而速率等于路程S对时间的一阶导数。

lim lim = lim lim (1)速率=速度的大小。 = (2) =r 大小的导数+r 方向的导数。 (C) 例: (A) (B) (1-9) lim t0 lim t0 = (1-12) (1)速率=速度的大小。 lim t0 lim t0 = = (2) =r 大小的导数+r 方向的导数。 (C) 例: (A) (B)

(3)在直角坐标系中, (1-10) (1-11) 速度的大小：

经时间t运动到B点，速度为(t+t), 则在时间t内质点速度的增量为 §1-5 加速度 一.加速度 如图1-3所示, 设时刻t质点位于A点，速度为 (t), 经时间t运动到B点，速度为(t+t), 则在时间t内质点速度的增量为 图1-3 O x y z A . 为了描述速度随时间的变化情况，我们定义：质点的平均加速度 B .

这就是说,质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于速度矢量 对时间的一阶导数,或等于矢径r对时间的二阶导数。 质点的(瞬时)加速度定义为 lim Dt 0 (1-17) 这就是说,质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于速度矢量 对时间的一阶导数,或等于矢径r对时间的二阶导数。 (1) 在直角坐标系中,加速度的表示式是 (1-19)

(1-19) 而加速度a在三个坐标轴上的分量分别为 (1-20) (2) 加速度a 的大小:

加速度a 的方向是：当t→0时,速度增量 的极限方向。 在曲线运动中,加速度的方向总是指向曲线凹的一边的。 在国际单位制中,加速度的单位为米/秒2(m·s-2)。 a a

例： 由前面的讨论我们得到了质点的位置矢量、速度和加速度在直角坐标系中的正交分解式。这些式子表明,任何一个曲线运动都可以分解为沿x,y, z 三个方向的直线运动,每个方向上的运动是相互独立的,整个运动可看作是沿三个坐标轴方向的直线运动的叠加,这就是运动的叠加原理。

以上内容的学习要点是：认真学习用微积分来处理物理问题的方法。 §1-6 运动学的两类问题 求 导 r=xi+yj+zk 积 分

(1)质点首先向哪个方向运动?哪些时刻质点调头了？ (2)质点在0~2s内的位移和路程。 例题1-1 一质点沿x轴运动,运动方程为x=t3–9t2 +15t+1 (SI),求: (1)质点首先向哪个方向运动?哪些时刻质点调头了？ (2)质点在0~2s内的位移和路程。 解（1）质点做直线运动时，调头的条件是什么？ 调头的必要条件是速度为零，即 =3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0 可得：t=1 ,5s;又由于1,5s前后速度改变了方向(正负号），所以t=1,5s调头了。 因t=0时速度 =+15m/s,所以质点首先向x轴正方向运动。

x=t3–9t2 +15t+1 (2)质点在0~2s内的位移可表示为 x=x(2)-x(0)=3-1=2m 考虑到t=1s时调头了，故0~2s内的路程应为 s=|x(1)-x(0)|+|x(2)-x(1)|=7+5=12m 质点作什么样的运动？ 例题1-2 质点的位置矢量： 解 x =3+2t2, y =2t2-1， y =x-4 直线 质点作匀加速直线运动。

例题1-3 已知某一粒子在oxy平面内运动,其矢径为:r=Rcos t i+Rsin t j，其中R、为正值常量。 解 (1)由矢径的表达式可知, x=Rcos t ， y=Rsin t 从以上两式中消去t,得到粒子的轨道方程： x2+y2=R2 这是一个以原点o为中心,半径为R的圆。 由于t=0时,x=R, y=0,而t>0+时,x>0,y>0,由此判定粒子是作逆时针方向的圆周运动。

粒子在任一时刻t的速度、加速度为 其大小为 显然粒子的速度和加速度的大小均为常量。a的方向-r，即沿着半径指向圆心。综上所述可知，粒子作逆时针的匀速率圆周运动。

(2)在时间t=/2/内的位移为 注意到为角速度，在时间t=/2/内粒子刚好运动半个圆周，故路程: S=R。

例题1-4 质点在xoy平面内运动，x=2t, y=19-2t2 (SI);求：(1)质点在t=1s、t=2s时刻的位置,以及这1s内的位移和平均速度；(2)第1s末的速度和加速度；(3)轨道方程；(4)何时质点离原点最近? (5)第1s内的路程。 解 (1)位矢： 当t=1s时， 当t=2s时， 位移： 平均速度 ：

(2)速度： 加速度： 代入t=1s,得： a=4(m/s2)

由此方程可解得，t= 0,3s (略去t=-3s); 代入t=0, r=19(m); t=3s, r=6.08(m), 可见t=3s时最近。 x=2t, y=19-2t2 (3)轨道方程： 这是一条抛物线 (4)何时质点离原点最近? r有极值的必要条件是： 由此方程可解得，t= 0,3s (略去t=-3s); 代入t=0, r=19(m); t=3s, r=6.08(m), 可见t=3s时最近。

(5)第1s内的路程: 1 =1.34m

例题1-5 在离水面高度为h的岸边，一人以恒定的速率收绳拉船靠岸。求船头与岸的水平距离为x时，船的速度和加速度。 o x y  h x 图1-4 r 解 对矢径未知的问题,须先建立坐标系,找出矢径,再求导。

解2: 船的速度:  h x 图1-4 r

例题1-6 一伞兵由空中竖直降落,其初速度为零,而加速度和速度的关系是: a=A-B ,式中A、B为常量;求伞兵的速度和运动方程。 解 取伞兵开始下落时的位置为坐标原点,向下为x轴的正方向。

完成积分就得运动方程:

能否将a分为两部分：一部分反映 大小变化，另一部分反映 方向的变化？答案是肯定的。 二.向心加速度和切向加速度 加速度 ，反映速度 大小和方向的变化率。 能否将a分为两部分：一部分反映 大小变化，另一部分反映 方向的变化？答案是肯定的。 可认为任一时刻质点都在一个圆上运动，这个圆称为曲率圆，如图1-5所示。 设质点沿曲线C运动。 用自然坐标系, et 轨道切向的单位矢量, en 轨道法向并指向曲率中心的单位矢量。 p1 C . 图1-5 于是速度可写为

设质点时刻t在p1点, 经时间t到达p2点，如图1-6所示。   s o 图1-6 p1 C p2  而加速度 设质点时刻t在p1点, 经时间t到达p2点，如图1-6所示。  = 当t0时，也趋于零, et的极限方向为 的方向，所以 ;

  s o 图1-6 p1 C p2   因ds=d (为曲率半径), 于是得: (1-21)

加速度小结： 大小： 大小： 方向：沿半径指向圆心。 方向：沿轨道切线方向。 名称：向心(法向)加速度。 名称：切向加速度。 作用：描述速度方向的 变化。 作用：描述速度大小的 变化。

以上内容的学习要点是：掌握切向加速度和向心加速度表达的物理内容和计算公式。 总加速度的大小: (1-22) a t  图1-7 a n  a与速度的夹角是: 以上内容的学习要点是：掌握切向加速度和向心加速度表达的物理内容和计算公式。

= + a 例题1-7 质点沿半径为R的圆周运动，路程与时间 的关系是： (b,c为常数,且b2>Rc); 求: (1)何时 an= at ？ (2)何时加速度的大小等于c ? 解 (1)由公式： (2)由 = a + n t 2 解得 由an=| at | 得:

解 设坐标x、y沿水平和竖直两个方向，如图示。 例题1-8 求斜抛体在任一时刻的法向加速度an 、切向加速度at和轨道曲率半径(设初速为o，仰角为)。 解 设坐标x、y沿水平和竖直两个方向，如图示。 总加速度(重力加速度)g是已知的;所以an 、at 只是重力加速度g沿轨道法向 和切向的分量,由图可得： 图 g a x y 3-10 u o u x y q a n t

讨论：(1)在轨道的最高点，显然=0，y=0,故该点： 图 g a x y 3-10 u o q n t 讨论：(1)在轨道的最高点，显然=0，y=0,故该点： an=g, at=0

(2) 解法之二 图 g a x y 3-10 u o

例题1-9 一质点由静止开始沿半径r=3m的圆周运动，切向加速度at=3m/s;求：(1)第1s末加速度的大小；(2)经多少时间加速度a与速度成45?这段时间内的路程是多少？ 有 解(1)由  =3t, 完成积分得: = a + n t 2 (2)加速度a与速度成45 ，意味着a与an 和at都成45,即表示：an= at ，于是有 3t2=3, 求出t=1s 又

三.圆周运动的角量和线量的关系 设作半径为R的圆周运动,如图1-9所示。 角能完全确定质点在圆上的位置, 角称为角坐标(角位置)。 我们定义： 质点在任一时刻t的(瞬时)角速度为 y x o A  图1-9 R 质点在任一时刻t的(瞬时)角加速度为

我们定义:角速度矢量的方向垂直于质点的运动平面,其指向由右手螺旋定则确定,如图1-10所示。 线量和角量之间的联系: (1-22a) 角速度矢量 我们定义:角速度矢量的方向垂直于质点的运动平面,其指向由右手螺旋定则确定,如图1-10所示。 由图1-10还可以得出, 质点的线速度等于角速度 与质点位矢r的矢量积: 图1-10 

直线运动 圆周运动 坐标 x 角坐标 q 速度 角速度 加速度 角加速度 若a=恒量，则 若=恒量,则  表1-1 圆周运动与直线运动的比较：  表1-1 直线运动 圆周运动 坐标 x 角坐标 q 速度 角速度 加速度 角加速度 若a=恒量，则 若=恒量,则

an=R2=(12-3t2)2 , at=R =-6t 代入t=1s, an=81 2 , at= -6  (SI) 例题1-10 一半径R=1m的飞轮，角坐标=2+12t-t3 (SI),求：(1)飞轮边缘上一点在第1s末的法向加速度和切向加速度；(2)经多少时间、转几圈飞轮将停止转动？ 解(1) an=R2=(12-3t2)2 , at=R =-6t 代入t=1s, an=81 2 , at= -6  (SI) (2)停止转动条件：=12-3t2=0, 求出：t=2s。 t=2s, 2=18， t=0, 0=2, 所以转过角度：=2-0=16=8圈。

例题1-11 质点沿半径为R的圆周运动，速率=A+Bt (A、B为正的常量)。t=0质点从圆上某点出发，求：该质点在圆上运动一周又回到出发点时它的切向加速度，法向加速度和总加速度的大小是多少？ 解 由于=B/R为常量，于是可用: ,求出时间t。 =2, 因=A+Bt=R, 所以t=0时, o=A/R

o=A/R, =2 解得

另解 解得

rps= rps+ rss ps= ps+ ss §1-7 相对运动 §1-7 相对运动 假定：参考系S和S之间，只有相对平移而无相对转动, 且各对应坐标轴始终保持平行。 对空间P点, 有 y x y o S S z z 图1-11 O’ rps= rps+ rss ( 1-23) . p rps rps (1-25) (1-26) ps= ps+ ss rss aps= aps+ ass

ps= p +  s 人对水= 人 + 水 ps= ps+ ss ps=- sp (1-25) aps= aps+ ass (1-25) (1-26) 式(1-25)称为速度合成定理。它表示：质点P对S系的速度等于质点P对S系的速度与S系对S系的速度的矢量和。 注意：(1).式(1-23)—(1-26)是矢量关系式。 (2).双下标先后顺序交换意味着改变一个符号,即： ps=- sp ps= p +  s s s 人对水= 人 + 水 对船 船对

风对人= 风对地 + 地对人 u 风对人= u 例题1-12 一人骑自行车以速率向正西行驶，今有风以相同速率由北向南方向吹来，试问：人感到的风速大小是多少？风从哪个方向吹来？ 解 首先写出速度合成定理： 风对人= 风对地 + 地对人 = 风对地- 人对地 （1）矢量三角形法 图1-12 x y 由于人对地=风对地= , u 人 对地 u 风对人 45 风对地 风对人= 人感到风从西北方向吹来。

风对人= 风对地 + 地对人= 风对地- 人对地 (2)单位矢量法 风对人= 风对地 + 地对人= 风对地- 人对地 图1-13 x y o (由于人对地=风对地= ) u 人 对地 风对地 大小： 风对人= 方向：与x轴正方向的夹角：

例题1-13 当火车静止时，乘客发现雨滴下落方向偏向车头,偏角30；当火车以35m/s的速率沿水平直路行驶时，发现雨滴下落方向偏向车尾， 偏角45,假设雨滴相对于地面的速度 保持不变，求雨滴相对地的速度的 大小。 x y 图1-14 45o 雨对车 30o 雨对地 解 雨对地=雨对车+车对地 车对地 x方向:雨对地cos60°=-雨对车cos45°+35 y方向: -雨对地cos30°=-雨对车cos45° 解得： 雨对地=25.6m/s。

例题1-14 河水由西向东流动,速度10km/h。一轮船在水中航行，船相对河水的航速20km/h ，相对河水的航向为北偏西30°。此时风向为正西，风速为10km/h。求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的方向(设烟离开烟囱后很快获得与风相同的速度)。 解 船对水=20 30° 图1-15 x y o

图1-15 x y o 船对水=20 30° 得 大小: 30° 方向与x轴正向的夹角为 (南偏西30°)