6 比較靜態分析與導數之觀念

比較靜態分析與導數之觀念 6.1 比較靜態分析之性質 6.2 變動率與導數 6.3導數與曲線斜率 6.4 極限 6.6 極限定理 6.7 函數之連續性與可微分性 5

6.1 比較靜態分析之性質 1. 當外生變數或參數值改變而造成均衡值改變時，比較分析新舊均衡的方法。 2. 只比較均衡值改變的情形，而不探討其調整之過程。 3. 可以是定性分析，也可以是定量分析。 4. 基本問題就是：找變動率（rate of change）－相對於某外生變數或參數之改變，內生變數改變了多少。 因此在數學上要借用”微分”的觀念。 6

6.2 變動率與導數 函數關係：y = f（x） 外生變數  X 內生變數  Y 關係式：Y= f (X) 8

6.2 變動率與導數 差分商（difference quotient）： 1). 表示x值由x0變為（x0+∆x）時，平均每單位x之變動所引起y之變動。其中 ∆x ＝x1 －x0 2). 衡量的是y的平均改變率，為x0和∆x的函數。

6.2 變動率與導數 例1 已知y = f（x）＝3x2-4，則其差分商為？當x值由3變為7時，y改變了多少？ x0＝3，∆x＝4，差分商＝6×3+3×4＝30。此意謂，平均而言，當x由3變為7時，對應於每單位x之變動，y平均變動30單位。

6.2 變動率與導數 2. 導數（derivative） 讀作：當∆x趨近於零時，…之極限。 當∆x→0若差分商之極限存在，則其極限等於函數 y = f（x）之導數。

6.2 變動率與導數 注意： 1) 導數意指導出之函數。原來函數y = f（x）為原始函數，而導數為由其中導出之另一個函數。導數為x0之函數，差分商為x0和∆x之函數。 2) 導數為差分商之極限，而差分商為y之變動率，故導數橫量之變動率，本質上為瞬間（instantaneous）變動率之概念。

6.2 變動率與導數 3) 導數有兩種常用的表示形式。 ，或 ：Lagrange啟用，強調由原始函數導出。另一為dy/dx，由Leibniz啟用，強調利用導數以衡量變動率。

6.2 變動率與導數 例2 仍以函數y = f（x）＝3x2-4為例，求其導數。當x＝3時及x＝4時之導數為何？

6.3導數與曲線斜率 導函數在函數圖形上即為曲線之斜率 例如總成本曲線斜率VS邊際成本 P.132 Figure 6.1 C= f (Q) K G A B D 切線tangent line 在A點的斜率：slope＝f’(Q0) 在B點的斜率：slope＝f’(Q2)

6.4 極限 1.左極限與右極限 左極限：從N的左邊向N逼近，公式： 右極限：從N的右邊向N逼近，公式： 若且唯若左極限＝右極限＝L時（假設等於一有限實數L），則稱q之極限值存在，寫 為 ；若 ，我們稱q之極限值不存在，因為當v→N時，q為繼續遞增。則稱q有極限是矛盾的。

6.4 極限 有些情形指考慮單邊極限： （1） ：只考慮左極限，便決定極限值是否存在。 （2） ：只考慮右極限，便決定極限值是否存在。 （1） ：只考慮左極限，便決定極限值是否存在。 （2） ：只考慮右極限，便決定極限值是否存在。 圖形說明p135，圖6.2

II. Graphical Illustrations P.135 Figure 6.2 (a) (b) 6.4 The Concept of Limit II. Graphical Illustrations P.135 Figure 6.2 (a) (b) N v q L N q v L

6.4 The Concept of Limit (c) q L1 L2 N v

6.4 The Concept of Limit (d) M N v q

6.4 極限 Evaluation of a Limit Ex 1： 求 Ex 2： ，求 法則：想辦法化簡，使分母不含(1-v)。 Note：v→∞時，分子＝∞。無法明確決定其值。 法則：將之化簡為帶分式，使分子不含v。

6.6 極限定理 藉以簡化求複雜函數之極限值。 I. 只包含單一函數之定理（可直接令v＝N） q ＝ g（v） If q = a v + b, then If q = b, then If q = v, then If ，then

6.6 極限定理 II含有兩個函數之定理 q1=g（v）,q2＝h（v）且 ，

6.6 極限定理 III 多項函數之極限

6.7 函數之連續性與可微分性 1.函數的連續性 「函數q＝g（v）在v＝N處連續」： 此函數在v＝N處之極限值存在，而且等於g（N）。

6.7 函數之連續性與可微分性 ∴連續性至少包含三個條件： 點N必須在函數定義域內， 當v→N，函數之極限值存在， 極限值必須等於g（N）值。 Check P130 (舊P135)圖6.2之4個函數在N點是否連續？

6.7 函數之連續性與可微分性 2.多項函數與有理函數 任何多項函數在其定義域內都是連續的。 任何在定義域內連續之有理函數，其和、差、積、商在其定義域內也必為連續的。 例1 求有理函數 之連續範圍

6.7 函數之連續性與可微分性 對所有有限實數皆可定義，故其定義域包含區間（-∞，∞）對於在定義域內任何數N而言，q之極限為 等於g（N）。故於N點，三個連續性條件皆得以滿足。

6.7 函數之連續性與可微分性 例2求有理函數 之連續範圍

6.7 函數之連續性與可微分性 3.函數的可微分性 極限的觀念有下列兩個用途： （1） ：檢查函數 f 在 x ＝x0處是否連續。

6.7 函數之連續性與可微分性 （2） ：檢查函數 f 在 x＝x0處是否可微分。 若 ，表示 f 在 x＝x0處可微分。 可微分⇒連續：但連續不一定可微分（連續為可微分的必要條件）

6.7 函數之連續性與可微分性 例 如圖6.5所示，函數在x＝2連續但不可微分。 函數在x＝2連續： 1. x＝2在函數的定義域內；2.當x趨近於2，y之極限值存在，即 ；3.f（2）＝1。⇒滿足連續性的三個條件。

6.7 函數之連續性與可微分性 函數在x＝2不可微分： 差分商極限不存在（左極限＝-1≠右極限＝1）。

考古題 已知函數y＝6x2-2x： 試求差分商為x與∆x之函數。(15%) 試求導數 dy / dx。(15%) 求 與 。(5%) 求 與 。(5%) 請說明何謂「比較靜態分析」？他有什麼特性？(30 %)

考古題 已知 ，式求： （15%） （10%）