2.3 複利法 在資金借用期間，將每期末之利息計入本金，繼續生息，此種計算利息之方法，稱為複利法。複利數學為保險數學之基礎，一切長期借貸、投資理財，皆採複利法計算。 期初本金稱為複利現值，以P表之，期末之本利和，稱為複利終值，以S表之，兩者之差額稱為複利息，以I表之。

在一年內計息次數稱為結息次數，亦稱複利次數，以m表之，相鄰兩計息日之時期稱為計息期，也稱為複利期間(Conversion Period)，資金借用期間計息總次數，稱為期數，以n表之，每一計息期之利率，稱為每期利率，簡稱利率，以i表之。 S= =P(1+i)n ∴ I=S-P=P(1+i)n-P=P﹝(1+i)n-1﹞

例1 設本金為300,000元，年利率為12%，每年複利兩次，求三年末之複利終值與複利息？ 解：依題意 P=300,000，i=12%÷2=0.06 得 S=P(1+i) n =300,000(1+0.06)6 =425,555.73元 I=S-P=425,555.73-300,000 =125,555.73元

若期數n非整數，而為帶分數時，則求複利終值之方法有二，說明如下： (1)近似法：先按整數(n1)求出複利終值後，再以此為本金，按單利法計算不足一期(n2)之本利和，此法簡便實用，本書以後未說明皆依此法計算。 (2)準確法：直接將n代入計算即可，此法較繁，適於理論之探討。

例2 設本金為100,000元，年利率為10%，求三年又二個月之複利終值，試依(1)準確法(2)近似法計之。 解：(1)準確法，依題意 P=100,000，i=0.1，n=3 代入公式S=P(1+i)n =100,000(1.1)3 =135,231.18元 (2)近似法：依題意代入公式 n1=3，n2=1/6 S=P‧(1+i)n1‧(1+ n2‧i) =100,000(1.1)³(1+1/6 ×0.1) =135,318.33元

計算利息，若本金、利率、借貸期間不變，複利次數愈多，利息也愈多，即一般通稱之年利率一樣，而複利次數不同則實際之利率並不相同。前所述之年利率，稱為虛利率，或稱名義利率(Nominal Rate of Interest)，以j表之，一年末實際所得利息與本金之百分比，稱為實利率(Effective Rate of Interest)，以α表之，實利率與虛利率之互化公式如下： α=(1+ )m-1 j =m﹝(1+α)1/m -1﹞

﹝證﹞ 因虛年利率j，每年複m次，每期利率i= ，本金P元，一年末之複利終值 S=P(1+i)m 一年末實際利息 I=S-P=P[(1+i)m-1] 依定義 α= =(1+i)m-1 上式移項開m次方，得 (1+α) = 1+ ，移項得 j=m﹝(1+α)1/m -1﹞ 上式虛、實利率互為等質率(Equivalent Rate)，吾人常以j(m)表虛利率，m為複利次數。

例3 已知j(4)=0.10，求等值之實利率α？ 解：依題意 i= =0.025，m=4 代入公式 α=(1+0.025)4-1 代入公式 α=(1+0.025)4-1 =0.10381289 即實利率為 10.38%

例4 已知α=0.06，試求每季複利一次之等值虛利率j？ 解：依題意 m=4，α=0.06 代入公式 j=4﹝(1+0.06)1/4 -1﹞ =0.058695384 即虛利率 j(4)=5.87%

若複利次數無限增加(m→∞)，其等值實利率似有極限，稱為連續複利(Continuous Conversion)，連續複利之虛利率，稱為息力(Force of Interest)，以δ表之，息力與實利率之關係如下： 1+α=eδ (∵j∞=δ) ∴α= eδ-1 , δ=ln(1+α)

<證> 公式 α=(1+i) m-1 1+α=(1+i) m=(1+ )m lim(1+ ) m =lim﹝(1+ ) ﹞j =e j∞= eδ (∵lim(1+x) =e)

例5 設年利率5%，連續複利，試求其實利率α？ 解：依題意δ=0.05，代入公式 α= eδ-1= e0.05-1 =0.051271 =5.1271%

例6 設實利率為8%，試求其息力δ？ 解：1+α= eδ，兩邊取其自然對數 得 δ=ln(1+α) α=0.08 代入得 α=0.08 代入得 δ=ln(1.08) =0.076961041

今即知複利終值S=P(1+i)n，其中S、P、i、n四未知數，如今已知其中三個，另一未知數即可代入移項求之。 (1)複利現值之求法： 1準確法：直接代入 P= 2近似法：依複利終值之算法相反為之 P=

(2)利率之求法： 移項 =(1+i) n 開n次方 i= -1 實利率α=(1+i) m-1

(3)期數之求法： 移項 =(1+i) n 取自然對數 ln =n‧ln(1+i) ∴ (2-9)

例7 已知j(4)=0.10，在五年又一個月末，可得複利終值500,000元，試分別用近似法與準確法求其複利現值？ 解：依題意 i= =0.025，n=20 ，S=500,000 (1)近似法：代入公式得

(2)準確法：代入公式得

例8 設本金100,000元，每年複利二次，五年末之複利終值為179,085元，求實利率α？ 解：依題意 P=100,000，S=179,085，m=2， n=5×2=10 代入公式 ∴ α=(1+i)m-1=(1.06)²-1=0.1236=12.36%

例9 設年利率為6%，每年複利二次，若欲得複利終值為複利現值之2倍，求期數n？ 解：依題意 j(2)=0.06，i= =0.03，S=2P 代入公式 註：即須經過11.725年左右