第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分 二、不定积分的基本性质 三、不定积分的性质 四、不定积分的几何意义
一、原函数与不定积分 定义 1 设函数 y = f (x) 在某区间上有定义， 使 如果存在函数 F (x)， 对于该区间上任一点 x， F (x)= f (x) 或 dF(x) = f (x)dx ， 则称函数 F (x) 是已知函数 f (x) 在该区间上的一个原函数.
例如，因为在区间 ( , ) 内有(x3) = 3x2， ( x3 + C ) = 3x2 (C 为任意常数)， 所以 x3 + 1， x3 + C 都是 3x2 在区间 ( , ) 内的原函数. 若 F(x) 是 f (x) 在某区间上的一个原函数， 一般地， 则函数族 F(x) + C (C 为任意常数)都是 f (x) 在该区间上的原函数.
设 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个确定的原函数， (x) 是 f (x) 在区间 I 上的任一个原函数， 即 F (x) = f (x)， (x) = f (x). 因为 [(x) - F(x)] = (x) – F (x) = f (x) - f (x) = 0， 由微分中值定理的推论得 (x) -F(x) = C (C为常数)， 移项得 (x) = F(x) + C . 所以 F (x) + C 是 f (x) 在区间 I 上的全体原函数的一般表达式. 因为 (x) 是 f (x) 的任一个原函数，
定义 2 若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数， 则 F(x) + C (C为任意常数)称为 f (x) 在该区间上的不定积分， 记为 即 其中符号 称为积分号， f(x) 称为被积函数， x 称为积分变量， f (x) dx 称为被积表达式，或称被积分式， C 称为积分常数.
例 1 求下列不定积分
解 根据不定积分的定义，只要求出被积函数一个原函数之后，再加上一个积分常数 C 即可. (1)被积函数 f ( x ) = 2x， 因为 ( x2 ) = 2x， 即 x2 是 2x 的一个原函数 ， 所以，不定积分 (2)被积函数 f (x) = sin x， 因为 (- cos x) = sinx， 即 - cos x 是 sin x 的一个原函数， 所以，不定积分
所以得 所以得
例 2 求不定积分 解 当 x > 0 时， 所以 当 x < 0 时， 所以 合并以上两种情况，当 x 0 时，得
二、不定积分的基本性质 (1) (2) 或
基本积分表
例 3 求不定积分 解 先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基本积分公式， 得 (1) (2)
例 4 求不定积分 解
三、不定积分的性质 性质 1 两个函数和的不定积分等于各个函数不定积分的和， 即
证 根据不定积分定义，只须验证上式右端的导数等于左端的被积函数. 性质 1 可推广到有限多个函数代数和的情况， 即 性质 1 称为分项积分.
性质 2 被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号外， 即 (k 为不等于零的常数) 证 类似性质 1 的证法， 有
例 5 求不定积分 解 其中 C = C1- 2C2 + 2C3， 即各积分常数可以合并. 只需在最后写出一个积分常数 C 即可. 因此，求代数和的不定积分时，
例 6 求 解
例 7 求 解
四、不定积分的几何意义 则称 y = F (x) 的图形是 f (x) 的积分曲线. 若 y = F (x) 是 f (x) 的一个原函数， 因为不定积分 所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族. 是 f (x) 的原函数的一般表达式，
积分曲线族 y = F (x) + C 的特点是： 可由其中某一条(例如，曲线 y = F(x) ) (1)积分曲线族中任意一条曲线， 沿 y 轴平行移动|C|单位而得到. 当 C > 0 时，向上移动； 当 C < 0 时，向下移动； 即横坐标相同点 x 处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相等， (2)由于 [F (x) + C] = F (x) = f (x)， 从而使相应点的切线相互平行(如图)． 都等于 f (x)，
x y O y = f (x) y = f (x)+C
例 8 已知曲线上任一点的切线斜率等于该点处横坐标平方的 3 倍，且过点 (0,1)，求此曲线方程. 解 设所求曲线为 y = f (x). 按题意，得 得 由条件 y|x = 0 = 1 得 C = 1， 于是所求曲线为 y = x3 + 1.
例 9 设一质点以速度 v = 2cos t 作直线运动，开始时，质点的位移为 s0，求质点的运动规律. 解 质点的运动规律是指位移 s 是时间 t 的函数 s = s(t)， 按题意有 得 于是质点运动规律为 由条件 s|t=0 = s0， 代入上式中，得 C = s0， s = 2sin t + s0 .