第二十七章 相 似 27.2.1 相似三角形的判定 第2课时 三边成比例的两个三角形相似
创设情境 温故探新 A 问题 如图，DE∥BC，△ADE∽△ABC？ D E C B 类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
合作交流探究新知 问题：在下面两个三角形中，若 ， △ABC∽△A′B′C′？. A A′ C C′ B B′ 问题：在下面两个三角形中，若 ， △ABC∽△A′B′C′？. A C′ B′ A′ C B 通过画图不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'. 所以△ABC∽△A′B′C′. 试利用前面的定理证明该结论.
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′, 过点D作DE∥BC交AC于点E. ∵ DE∥BC ，∴△ADE∽△ABC. E D ∵A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA, 又∵AD=A′B′,∴AD:AB=A′B′:AB. ∴DE:BC=B′C′:BC, EA:CA=C′A′:CA. C′ B′ A′ 因此DE=B′C′, EA=C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′, ∴△A′B′C′∽△ABC.
归纳 由此得到三角形的判定定理： 三边成比例的两个三角形相似．
解：在△ABC 中，AB>BC>CA,在△DEF中，DE>EF>FD. 范例研讨运用新知 例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． D C 2.4 3.5 E 1.8 3 2.1 F A B 4 解：在△ABC 中，AB>BC>CA,在△DEF中，DE>EF>FD. ∴ △ABC∽ △DEF.
方法归纳 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
练一练 已知△ABC 和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似. (1)AB=3， BC=4， AC＝6. DE＝6， EF＝8， DF＝9. 否 (2)AB=4， BC=8， AC＝10. DE＝20， EF＝16， DF＝8. 是 (3) AB=12， BC=15， AC＝24. DE＝16， EF＝20， DF＝30. 否 （注意：大对大，小对小，中对中．）
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中， ∠C =∠C ′= 90°，且 求证：△ A′B′C′∽△ABC. 证明：由已知条件得AB=2A′B′,AC=2A′C′ 从而 BC2 = AB2-AC2 =(2A′B′)2-(2A′C′)2 = 4A′B′2 – 4A′C′2 =4(A′B′2-A′C′2) = 4B′C′2 =(2B′C′)2. 由此得出，BC=2B′C′, 因此△ A′B′C′∽△ABC. (三边对应成比例的两个三角形相似)
例3 如图，在△ABC和△ADE中， ∠BAD=20°,求∠CAE的度数. 解：∵ ∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似). ∴∠BAC=∠DAE. ∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC. 即 ∠BAD=∠CAE. ∵∠BAD=20°， ∴∠CAE=20°. A B C D E
反馈练习巩固新知 1.根据下列条件，判断△ABC与△A´B´C´是否相似： AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm，A´B´=12cm ， B´C´=18cm ，A´C´=21cm. ∴△ABC与△A´B´C´不相似.
2.如图, △ ABC与△ A′B′C′相似吗?你用什么方法来支持你的判断? 解：这两个三角形相似． 设1个小方格的边长为1，则 C B A A′ B′ C′
3.如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．
课堂小结 利用三边判定两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 相似三角形的判定定理的运用