几何画板5.03教 程 第三章 用变换菜单作图

个图形都是由一些基本图形经过旋转变换得到的

“变换”，是指从一个图形（或表达式）到另一个图形（或表达式）的演变，在几何画板中，研究的是图形的演变。 我们能对图形进行平移、旋转、缩放、反射、迭代等变换，后面我们还介绍利用自定义变换来作图。 几何画板中实现图形的变换，有两种方法，一种是利用前面介绍的移动箭头工具，另一种方法就是变换菜单。

（一）旋转对象 例1 画一个正方形 运行结果：画一个正方形，拖动任一顶点改变边长或改变位置，都能动态地保持图形是一个正方形。 基本思路： 1、画一条线段，用来做正方形的一边； 2、双击左端点，标记为中心，选中线段和右端点，绕标记的中心旋转900（正值表示逆时针旋转，反之负值就是顺时针旋转），得第二条边； 3、双击第一条线段的右端点，标记为中心，选择第一条线段和它的左端点，绕标记的中心旋转－900（顺时针方向），得第三条边； 4、连结出第四条边。

操作步骤： 1、画线段AB。 2、用移动箭头工具双击点A，点A 被标记为中心（或者选中点A 后，利用变化【变换】→【标记中心】。 3、用移动箭头工具选取点B 和线段AB，由菜单“变换”→“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中作如图1 的设置。 4、双击点B，标记新的中心。 5、用移动箭头工具选取点A 和线段AB，由菜单“变换”→“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中作如图2 的设置 6、连结上方两个顶点得第四边。

拓展应用： 1、本例的方法可以用来作任意的正多边形，只要计算出正多边形的内角，旋转时按内角度数进行即可，但这并不是最方便的方法，具体请参阅后面“正多边形”的制作。 2、并不是每次用正方形都要从头来画，事实上可以把这个画图的过程创建成一个自定义工具。 3、画正方形的方法比较多，本例介绍的是较为简便的一种，其余方法请自行尝试。

例2 中心对称 运行结果 中间结果

基本思路： 本例将在前面学习的基础上，学习“按标记的角”旋转对象，同时能通过改变角的大小来动态演示对象的旋转过程。 1、为了方便观察，连结对称中心和各关键点间的虚线段，让研究对象和虚线段绕对称中心旋转1800，形成中心对称， 2、画一个角并标记这个角； 3、再次选择原来的对象及虚线段，按标记的角旋转； 4、拖动标记的角为1800，观察到的图形为中心对称，拖动标记的角从00 到1800，可以看到旋转的过程。

操作步骤： 1、准备工作，完成到下图。 说明：做好左边的基本图形后，在右边绘制一条线段，构造线段的中点E，依次选中中点E、线段的右端点和左端点，点击“构造”→“圆上的弧”，在弧上任意取一点F，连接EF、ED（这样做的目的是使得角DEF 在0°-180°范围内变化），隐藏圆弧、直径和左端点捷键Ctrl+H）。

2、用移动箭头工具双击点O，标记为中心。 3、用移动箭头工具确保按顺序点D、E、F 选中这三点，并注意不要多选其它对象，由菜单“变换”→“标记角”，如果标记成功，会看到一段小动画。 4、同时选择点A、B、C，线段AB、AC、BC、OA、OB、OC（可以使用框选），由菜单“变换”→“旋转”，在弹出的对话框中作如下的设置。 5、 为便于观察，改按角度旋转所得的所有对象为红色。点击旋转后，此时旋转后的图形处于被选中状态，我们通过“显示”→“颜色”来修改颜色。 6、拖动点F，可以看到红色三角形旋转过程。 说明：本例中标记的角度是图形，这种情况要注意选取三个点的顺序，按“边上的点、顶点、边上的点”来选，如果选择时按逆时针方向，标记的是正角；按顺时针方向，标记的是负角，这将影响对象的旋转方向。标记的角也可以是度量角所得的度数或者是新建个参数，但参数的单位必须是度

（二）平移对象 平移是指：对于两个几何图形，如果在它们的所有点与点之间可以建立起一一对应关系，并且以一个图形上任一点为起点，另一个图形上的对应点为终点作向量，所得的一切向量都彼此相等，那么 其中一个图形到另一个图形的变换叫做平移。平移是一个保距变换，又是一个保角变换。 几何画板中，平移可以按三大类九种方法来进行，其中“标记向量”要事先标记。

在极坐标系中最多可以组合出四种方法, 在直角坐标系中可以组合出四种方法, 按标记的向量平移有一种方法

得到一个半径为2 cm 的圆，无论如何移动位置，半径保持不变。 方法一：极坐标状态下平移 运行结果： 得到一个半径为2 cm 的圆，无论如何移动位置，半径保持不变。 方法一：极坐标状态下平移 1、 在画板面上新建一个点，选中点，点击“变换”→“平移”如图所示 2、把固定距离 1 改成2 ^0.5， 3、点击平移，得到两个点的距离 就是 2 ^0.5cm，利用画圆工具构 造一个圆。

方法二：直角坐标状态下平移 基本思路：根据勾股定理，让一个点在直角坐标系中按水平方向、垂直方向都平移 1cm，得到的点与原来的点总是相距 ，然后以圆心和圆周上的点画圆即可。

操作步骤： 1、画一个点A。 2、选取点A，由菜单“变换”→“平移”， 在弹出的对话框中作如下图的设置后，点击平移。 3、选中这两点，（先选的为圆心），由菜单“构造”→“以圆心和圆周上的点做圆”。 4、最后得一个圆的半径固定为 。

例4 全等三角形 运行结果：拖动点F 在线段DE 上移动，可演示两个三角形重合和分开，可用来说明全等形。

基本思路： 本例学习按“标记的向量”平移对象， 1、画好一个三角形。 2、另画一条线段（为方便观察，画成水平线）。 3、在线段上画一点。 4、标记线段左端点到线段上一点的向量。 5、将三角形按标记的向量平移。

操作步骤： 1、画△ABC。 2、画线段DE，在DE 上画一点F（按住shift 键，再利用线段直尺工具画出线段，这样的线段是水平的）。 3、用移动箭头工具先选取点D，后选取点F，由菜单“变换”→“标记向量”，标记从点D 到F 的向量。 4、选取△ABC 的三边和三个顶点，由菜单“变换”→“平移”，在弹出的对话框中作如上图的设置（如果标记好向量，会自动设置为按标记的向量平移）。 5、用文本工具标记新三角形的三个顶点（也可以选中平移后的三个点，利用快捷键Ctrl+K）

例5 平行四边形的画法 原理：根据标记的向量平移的方法来画平行四边形，这样的平行四边形可以正确演示向量加法的平行四边形法则。

操作步骤： 1、新建一个几何画板文件。 2、用“线段直尺工具”和“文本工具”先完成如图。 3、用“移动箭头工具”按顺序选取点B、A，由菜单“变换”→“标记向量”标记一个从点B 指向点A 的向量。 4、确保只选中线段BC 和点C，由菜单“变换”→“平移”，线段BC 和点C 按向量BA 平移 5、作出第四条边，利用“文本工具”把第四顶点标签命名为D

（三）缩放对象 缩放是指对象关于“标记的中心”按“标记的比”进行位似变换。 其中标记比的方法有： （1）选中两条线段，由菜单“变换”→-“标记线段比例”（此命令会根据选中的对象而改变），标记以第一条线段长为分子，第二条线段长为分母的一个比，这种方法也可以事先不标记，在弹出“缩放”对话框后依次单击两条线段来标记。 （2）选中度量得的值（无单位）或选中一个参数（无单位），由菜单“变换”→“表记比值”，可以标记一个比。在弹出“缩放”对话框后单击工作区中的相应数值也可以“现场”标记这个比值。 （3）选中同一直线上的三点，由菜单“变换”→“标记比”，可以标记以一、三点距离为分子，一、二点距离为分母的一个比。这种方法控制比最为方便，根据方向的变化，比值可以是正、零、负等。

例6 相似三角形 运行结果： 通过拖动点F，让图形动态发生变化，以下三图是F 点所在三个不同位置对相似三角形位置的影响：

基本思路： 1、由在同一直线上的三个点标记一个比。 2、让三角形以其中一个顶点为中心，按标记的比缩放。 3、拖动比值控制点让图形在“A”形和“X”型中转变。

1、画△ABC。 2、画一条直线（按住shift 键可以使直线保持水平），隐藏直线上的两个控制点 3、在直线上画三个点D、E、F，用移动箭头工具依次选取点D、E、F，由菜单“变换”→“标记比例”，标记一个比。 4、选取三角形的三边和三个顶点，由菜单“变”→“缩放”弹出缩放对话框后如下图设置。单击点A，确保对话框中的旋转中心为A（可以事先击点A 标记中心） 5、拖动点F 在直线上移动，可以看到相似三角形的变化，还可以通过度量相关的值来帮助理解。

（四）反射对象 反射是指将选中的对象按标记的镜面（即对称轴，可以是直线、射线或线段）构造轴对称关系。 但并不是所有的对象都可以反射，例如轨迹和绘制出来的函数图像都不能反射。 反射命令不会弹出对话框，反射前必须标记镜面，否则系统会随机的标记一个线段、射线或直线作为反射镜面。

例7 轴对称 运行结果： 从左到右演示了拖动三角形顶点改变其位置和形状，可以观察到动态保持的对称关系和相关性质。

基本思路： 1、画一条直线并标记它为镜面； 2、在直线的一旁画一个三角形； 3、选取这个三角形的全部，进行反射； 4、拖动其中一个三角形的顶点改变它的形状和位置，可以观察到轴对称的相关性质。

操作步骤： 1、用画直线工具画一条直线（按住shift 键，可使线段竖直）。 2、选中这条直线，由菜单“变换”→“标记镜面”（或者直接双击这条线段），标记这条直线为对称轴。 3、在直线的一旁画一个△ABC。 4、选取△ABC 的全部（可以使用框选），由菜单“变换”→“反射”，并用文本工具标记反射所得的三角形的顶点。

例8 用对称变换画一个等腰三角形。 操作步骤： 1、新建一个几何画板文件。 2、先用线段直尺工具完成到 3、用“移动箭头工具”双击线段AD，标记为镜面。 4、确保只选取了点B 和线段AB，由菜单“变换”→“反射”， 5、选中点C 和线段AC，按Ctrl+H，隐藏这两个对象。 6、画出第三条边，并改第三个顶点的标签为C，如

（五）迭代与深度迭代 我们用旋转变换不难画出正多边形，但边数太多，如要画正十七边型，如图所示，得用旋转变换16 次，有简单的方法，那就是“迭代”

例9、正十七边形的画法 操作步骤： 1、画两个点，让B 点围绕点A 旋转3600/17得B’，连接BB’。

3、单击B’ ，对话框变为上图，注意到“迭代规则数：3”，图形在原有的基础上，增加了3 条线段。 4、重复按小键盘上的“＋”键，直到迭代规则数变为16

例10、正n 边形的画法 运行结果： 如图，选定参数n，按小键盘上的“＋”或“－”键，可改变n 的值，从而改变多边形的边数，即得到正n 边形（这在黑板上是画不出的）。

基本思路： 1、画两个点，标记其中一个点作为正n 边形的中心。另一个点为最基本的第一顶点； 2、“新建参数”n，用3600 除以n，得正n 边形的圆心角； 3、选取圆心角后“标记角度”，让第一顶点绕中心按“标记的角度”旋转，得第二顶点； 4、选取参数n-1、进行第一顶点到第二顶点的“深度迭代”； 5、选取参数n，按小键盘上的“+、－”键可以改变参数，得到动态的正n 边形。

操作步骤： 一、准备工作（确定旋转角的度数和迭代的深度） 1、 单击“数据”菜单，新建应该参数n，并改参数的值为5 4、 画出点A 和点B，如下图所示： 5、让B点，绕点A旋转“3600/n”，得B’，连接BB’。

二、深度迭代 1、同时选取点B、“n－1＝4”； 2、按住Shift 键不放，单击菜单“变换”→“深度迭代”弹出如下图的迭代对话框； 说明：此步如不按住Shift 键，菜单中的命令项是“迭代”，几何画板中部分菜单项会根据按键、工具按钮的选取状态而改变。本例中为了能动态地构造正n 边形，必须用深度迭代。 3、单击工作区中的点B’ ，使深度迭代中“初象”下面框中的问号变成B’（只要用鼠标点击B’），单击话框中的“迭代”按钮。 4、本例至此基本完成，选取工作区中的参数n，用小键盘上的“+、－”键可以改变n 的大小。 说明：参数可以减少到2 以下甚至负数，这时已不能构成多边形，在进阶实例中，大家会学习到控制参数大于或等于3 的技巧。

(六)、创建自定义变换 例11、创建滑步反射变换 运行结果： 操作步骤： 1、 在画板面上画一条竖直的直线AB，并且在右边取一点C 2、 选中点A、点B 标记向量，把点C 按标记向量平移得到C‘，再标记直线AB 为反射镜面，把C‘进行反射得到C’’。

4、 隐藏点C、C’、C”，并且把这个图片复制到画板面内（复制→粘贴） 5、 选中刚才粘贴的图片，单击“变换”→“滑步反射” 6、 反复多次进行滑步反射（注意快键键Ctrl+1 的使用），就可以得到了图

例12、利用自定义变换绘制椭圆 运行结果：

操作步骤： 1、 做一条水平的直线AB，在直线AB 上方任取一点C，选中点C 和直线AB 作垂线，作出交点D 2、 双击点D 标记中心，把点C 缩放0.5，得到点E，并把点E旋转- 450，得到点F 3、 依次选中点C、点F，创建自定义变换，修改名字为“斜二测图形”

4、 框选所有点和线，利用快捷键Ctrl+H 进行隐藏，现在可以在画板中任意的进行绘制图形，然后点击“斜二测图形”进行变换。

“创建自定义变换”的入口条件是两个点，其中第二个点与第一个点有关联。 例1 中，我们是先平移再反射，然后选中第一个点和反射得到的点，创建自定义变换，这个自定义变换其实就是两个基础变换“平移”和“反射”的叠加。 例2 中，创建的自定义变换其实就是“缩放”和“旋转”两个变换的叠加。通过这样两个例子，可以把自定义变换理解为，按照开始时定义的变换（从一点变到另一点，类似与映射），因此，对图形上每一个点逐一作变换，变换后类似“轨迹线”了

谢谢