§1.3 条件概率 条件概率与乘法公式 引例 袋中有7只白球，3只红球，白球中有4只木球，3只塑料球；红球中有2只木球，1只塑料球．现从袋中任取1球，假设每个球被取到的可能性相同．若已知取到的球是白球，问它是木球的概率是多少？ 古典概型 设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球．
所求的概率称为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率．记为 解 列表
从而有 定义 设A、B为两事件，P ( A ) > 0，则称 为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率，记为 条件概率的计算方法 (1) 古典概型 可用缩减样本空间法； (2) 其他概型 用定义与有关公式．
条件概率也是概率，故具有概率的性质： 非负性 ； 规范性 ； 可列可加性 ； ； ； ．
乘法公式 利用条件概率求积事件的概率即乘法公式． 推广
例1 某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0.8，能用1500小时的概率为0.4，求已用1000小时的灯泡能用到1500小时的概率． 解 令 A 灯泡能用到1000小时； B 灯泡能用到1500小时． 所求概率为
例2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞．求2张都是假钞的概率． 解 令A表示“抽到2 张都是假钞”； B表示“2张中至少有1张假钞”． 则所求概率是 （而不是 ！）. 所以
例3 盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，从中不放回地取产品，每次1个，求 (1) 取两次，两次都取得一等品的概率； (2) 取两次，第二次取得一等品的概率； (3) 取三次，第三次才取得一等品的概率； (4) 取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率． 解 令 Ai 为第 i 次取到一等品． (1)
例3 盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，从中不放回地取产品，每次1个，求 (1) 取两次，两次都取得一等品的概率； (2) 取两次，第二次取得一等品的概率； (3) 取三次，第三次才取得一等品的概率； (4) 取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率． 解 令 Ai 为第 i 次取到一等品． (1)
(4)
例4 某人外出旅游两天，需知道两天的天气情况，据预报，第一天下雨的概率为0. 6，第二天下雨的概率为0. 3，两天都下雨的概率为0 例4 某人外出旅游两天，需知道两天的天气情况，据预报，第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1．求第一天下雨时，第二天不下雨的概率． 解 设A1与A2 分别表示第一与第二天下雨．
一般地条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系． 上例中 若
例5 为了防止意外，矿井内同时装有A与B两种报警设备，已知设备A单独使用时有效的概率为0. 92，设备B单独使用时有效的概率为0 例5 为了防止意外，矿井内同时装有A与B两种报警设备，已知设备A单独使用时有效的概率为0.92，设备B单独使用时有效的概率为0.93， 在设备A失效的条件下，设备B有效的概率为0.85，求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率． 解 设事件A, B分别表示设备A, B有效． 已知 求
解法一 即 故 解法二
全概率公式与Bayes 公式 B1 Bn AB1 AB2 ABn A B2 全概率公式 Bayes公式
例6 每100件产品为一批，已知每批产品中次品数不超过4件，每批产品中有 i 件次品的概率为： P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 从每批产品中不放回地取10件进行检验，若 发现有不合格产品，则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格．求 (1) 一批产品通过检验的概率； (2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率．
解 设一批产品中有 i 件次品为事件Bi (i = 0,1,…,4), A 为一批产品通过检验． 则 已知P( Bi )如表中所示，且 由全概率公式与Bayes 公式可计算P( A )与
结果如下表所示
称 P( Bi ) 为先验概率，它是由以往的经验得到的，它是事件 A 的原因． 为后验概率，它 是得到了信息— A 发生，再对导致 A 发生的原因发生的可能性大小重新加以修正． 本例中， i 较小时， i 较大时，
例7 由于随机干扰，在无线电通讯中发出 信号“•”，收到信号“•”，“不清”，“—” 的概率分别为0.7，0.2，0.1；发出信号“—”， 收到信号“•”，“不清”，“—”的概率分别 为0.0，0.1，0.9．已知在发出的信号中，“•” 和“—”出现的概率分别为0.6和0.4，试分析， 当收到信号“不清”时，原发信号为“•”还是 “—”的概率哪个大？ 解 设原发信号为“•”为事件 B1 ； 原发信号为“—”为事件 B2； 收到信号“不清”为事件 A．
已知： 可见，当收到信号“不清”时，原发信号为“•”的可能性大．
作业 P57 习题一 34，35，37，38，39