第 六 章 静定桁架和组合结构

§6-1 桁架的特点和组成分类 一、计算简图及受力特性 1、计算简图 实 际 结 构 计 算 简 图

2、计算假定 （1）各杆两端用绝对光滑而无摩擦的理想铰相互联结。 （2）各杆的轴线都是绝对平直，且在同一平面内并通过铰结点的中心。 （3）荷载和支座反力都作用在结点上并位于桁架平面内。 符合上述假定的桁架称为理想桁架。当桁架各杆轴线和外力都作用在一个平面内时，称为平面桁架。

3、桁架的受力特点 桁架是由链杆组成的格构体系，当荷载仅作用在结点上时，桁架主要承受轴力，杆上的应力分布均匀，材料可充分利用，用料节省，自重轻，大跨度结构常常采用此种结构形式。 桁架的计算简图并不符合实际结构，桁架中存在主内力和次内力。 由铰接计算简图计算出的轴力称为主内力。 实际结构由于不满足计算假定而产生的附加内力（主要为弯矩），称为次内力。

二、桁架介绍 竖杆 上弦杆 桁架高度 下弦杆 d 斜杆 节间长度 桁架的杆件，按其所在位置的不同，可分为弦杆和腹杆两大类。

三、桁架类型 桁架可以有许多种分类方法，如： 空间、平面。 静定、超静定。 外形、支座反力等。 从计算方法入手，一般应按桁架的几何组成方式分类。

按照桁架的几何组成方式分类 1、简单桁架： 由基础或一个基本铰结三角形开始，依次增加二元体所组成的桁架。

2、联合桁架： 由几个简单桁架按照两刚片或三刚片相联的组成规则联成的桁架。

3、复杂桁架： 不是按照上述两种方式组成的其它桁架。

四、桁架的计算方法 （结点法、截面法及其联合应用） 四、桁架的计算方法 （结点法、截面法及其联合应用） 斜杆内力的常用算法： FN B FN l FNy ly A lx FNx FN 注意：计算时，通常都先假定杆件内力为拉力，若所得结果为负，则为压力。

§6-2 结点法 在求桁架的内力时，可截取桁架的结点为隔离体，利用各结点上的荷载和各杆轴力组成的平面汇交力系的平衡条件计算各杆的内力（轴力），此法称为结点法。一个节点可列两个平衡方程，因此，从一个结点可以求解两个杆件的未知力。 对于简单桁架，利用结点法可计算出全部各杆的内力。注意计算按组成的相反顺序。

（1）示例 8kN 用结点法求图示桁架各杆的轴力。 Fx1=8kN 20kN 解： (1) 求反力。 (2) 内力计算。 Fy1=6kN 5 3 用结点法求图示桁架各杆的轴力。 3 1 Fx1=8kN 3 4 2 20kN 解： (1) 求反力。 (2) 内力计算。 Fy1=6kN Fy2=14kN

结点1: ∑y =0 Fy13+Fy1=0 Fy13= - 6kN Fx13= - 6×4/3= - 8kN FN13 Fy13 8kN 20kN Fx1=8kN Fy1=6kN Fy2=14kN 3 4 5 1 2 Fx13 Fx1=8kN FN12 Fy1=6kN 结点1: ∑y =0 Fy13+Fy1=0 Fy13= - 6kN Fx13= - 6×4/3= - 8kN FN13= - 6×5/3= - 10kN ∑x=0 FN12+Fx13 – 8=0 FN12= - ( -8)+8=16kN

结点2: ∑y =0 Fy23 – 20 =0 Fy23= 20kN Fx23= 20×1/3= 6.67kN FN23 8kN 20kN Fx1=8kN Fy1=6kN Fy2=14kN 3 4 5 1 2 Fy23 Fx23 16kN FN24 20kN 结点2: ∑y =0 Fy23 – 20 =0 Fy23= 20kN Fx23= 20×1/3= 6.67kN FN23= 20×√10/3= 21.08kN ∑x=0 FN24+Fx23 – 16=0 FN24=( -6.67)+16=9.33kN

结点3: ∑y =0 -Fy34- 20+6=0 Fy34= - 14kN Fx34= - 14×2/3= - 9.33kN 5 1 2 8 FN34 10kN 6.67 6 20 21.08kN 结点3: ∑y =0 -Fy34- 20+6=0 Fy34= - 14kN Fx34= - 14×2/3= - 9.33kN FN34= - 14×√13/3= - 16.83kN

校核: 结点4，可作校核用。 8kN Fx1=8kN 20kN FN34=16.83kN Fy1=6kN Fy2=14kN 5 1 2 结点4，可作校核用。 FN34=16.83kN FN24=9.33kN Fy2=14kN

注： 1、简单桁架，可按不同的结点次序组成，用结点法计算时，可按不同的顺序截取结点脱离体进行计算。 2、利用分力与合力的几何关系，可用分力代替合力，以简化计算。 3、选择适当的投影轴，一个轴垂直于一个（或几个）未知力，避免解联立方程。

（2）结点单杆 （结点汇交力系平衡的特殊情况） （2）结点单杆 （结点汇交力系平衡的特殊情况） 如果在同一结点的所有内力为未知的各杆中，除某一杆外，其余各杆都共线，则称该杆为此结点的单杆。有如下两种情况： ① 结点只包含两个未知力杆，且此两杆不共线，则每杆都是单杆。 ② 结点只包含三个未知力杆，其中有两杆共线，则第三杆都是单杆。 FP FP 单杆 单杆 单杆

关于结点单杆的一些性质： ① 结点单杆的内力，可由该结点的平衡条件直接求出。而非结点单杆的内力不能由该结点的平衡条件直接求出。 ① 结点单杆的内力，可由该结点的平衡条件直接求出。而非结点单杆的内力不能由该结点的平衡条件直接求出。 ② 当结点无荷载时，单杆的内力必为零。或者，无载结点的单杆必为零杆。 FN1 FN2 FN1 FN1 P FN3 FN2 FN3 FN1=P FN3=0 FN1= FN2 FN3=0 FN1= FN2 =0 通常将内力为零的杆称为“零杆”

③ 如果依靠拆结点单杆的方法可以将整个桁架拆完，则此桁架即可应用结点法按照每次只解一个未知力的方式将各杆内力求出。 a 10kN 10kN 2 3 1 6 4 7 5 11 9 10 8 12

例： 应用以上结论，简化下列桁架的计算。 FP

例:判断图示桁架有几根零杆? BE为零杆从B结点看 FP FP

§6-3 截面法 用截面切断拟求杆件，从截断桁架中取截出的一部分作为隔离体，隔离体上所作用的荷载和桁架杆件轴力为平面一般力系，利用平面一般力系的三个独立平衡方程，求截断杆内力。 对于求联合桁架中的联系杆，简单桁架的指定杆，复杂桁架的特殊杆件的轴力等问题，使用截面法计算较简便。

1、一般情况，基本方法 求图示桁架杆13、14、24的轴力。 I h2 h1 I FP FP FP FP FP FyA FyB l= 6d 解： （1）求反力。 I h2 h1 I FP FP FP FP FP FyA FyB l= 6d （2）计算指定杆轴力，作截面 I-I 。

I h2 h1 I FP FP FP FP FP FyA FyB l= 6d ∑M1=0 求出 FN24 ∑M4=0 求出 Fx13 O Fx14 4 ∑MO=0 求出 Fy14 FN24 a FP Fy14 FyA

2、截面单杆 （截面平衡的特殊情况） m a ① 截面上只截断三根杆，且此三杆不交于一点（或不彼此平行），则其中每一杆都是截面单杆。 m m 2、截面单杆 （截面平衡的特殊情况） m a ① 截面上只截断三根杆，且此三杆不交于一点（或不彼此平行），则其中每一杆都是截面单杆。 m m ② 截面上截杆件数大于三根，但除某一杆外，其余各杆都交于一点（或都彼此平行），则此杆也是截面单杆。 a m

关于截面单杆的性质： 上述第一种情况的单杆可以直接利用三个平衡方程求出三根杆件的轴力。 截面单杆的内力可从本截面相应的隔离体的平衡条件直接求出。 上述第一种情况的单杆可以直接利用三个平衡方程求出三根杆件的轴力。 第二种情况，若除一根外，其余各杆都交于一点，则此单杆的轴力可用截面法利用力矩平衡方程求得；若除一根外，其余各杆都互相平行，利用平行杆正交方向的投影方程，直接求出此杆的轴力。

例：求图示桁架杆1轴力。 解： 求反力。 取截面I-I。 由∑MD=0 FN1·2a+2FP(l+a)-FP (2l-a)=0 FN1= - 2FP / 3 B C I I D 1 FN1 FP 2FP A a a l 2l

例：求图示桁架杆1轴力。 解： 取截面I-I。 由∑MB=0 FN1·d+FP·3d=0 FN1= - 3FP I B d FN1 A I

例：求图示桁架杆1轴力。 解： 求反力。 取截面I-I右部。 由∑x’=0 - FN1·cos45o+FBy· cos45o=0 FP 解： 求反力。 取截面I-I右部。 由∑x’=0 - FN1·cos45o+FBy· cos45o=0 FN1= FBy =0.75 FP I a/2 x’ a A FN1 B 1 I FBy= 3FP /4 FAy= FP /4 a/2 a/2 a/2 a/2

3、用截面法计算联合桁架 求联合桁架的轴力，必须先用截面法先截断连接杆，用平面一般力系的平衡方程，求出连接杆的内力；然后再用结点法或截面法计算其他杆件的轴力。 联合桁架可分为两种类型。 一类是按两刚片相联规则组成的联合桁架。另一类是按三刚片相联规则组成的联合桁架。

例：分析图示桁架。 ① 按两刚片规则组成的联合桁架 求支座反力。 求出FN1。 两刚片通过铰C和杆AB相连。 I FP1 FP2 C 解： FxA B I A FyB FN3 作截面 I—I FAy FP2 FN2 由∑MC=0 求出FN1。 FN1 FyB

例： 分析图示桁架。 FP 刚片BCD和刚片AEF通过三个链杆AC、DE和BF相连 解：求支座反力。 作截面切断杆AC、DE、BF。 FyB=3FP /4 FyA=FP /4 ∑x=0 FN1=0 FN1 ∑M0=0 FN3= - FBy O ∑y=0 FN2=0 FN3 再由结点法计算其余杆轴力。 FN2 FyB 切到的杆AE和AF上的力是平衡的

② 按三刚片规则组成的联合桁架 例：分析图示桁架。 FP1 FP2 解：先求支座反力。 E 用双截面法求联接处内力。 D Ⅰ Ⅰ Ⅰ E 用双截面法求联接处内力。 D Ⅱ ∑MD=0 ∑ME=0 ，求出FyD、 FyE FP1 FP2 Ⅱ A FxA Ⅲ B FxD Ⅰ FxE C FyB FyA FyD FyE Ⅱ FyD FEy FyC Ⅲ Ⅱ ∑MC=0，求出FxD、 FxE FxA FxC FyB FyA

§6-4 结点法与截面法的联合应用 在桁架计算中，对于某一杆件的内力，如果只用一个的平衡条件或只作一次截面均无法解决时，可把结点法和截面法联合起来应用，往往能收到良好的结果。 实例说明。

例：截面隔离体与结点隔离体联合求解杆内力 FP 求a ,b两杆轴力。 Ⅱ A C FNb Ⅰ b 作截面 I - I FNa ∑y=0 d a K FNa cos45o-FNc cos45o+FP=0 FNc d B 取结点K： ∑x=0 FNa = - FNc D Ⅰ Ⅱ 2FNa cos45o= - FP d d d FNa FNa = - 0.707FP K 作截面Ⅱ-Ⅱ ∑MD=0 →FNb FNc

例：多个截面隔离体与结点隔离体联合求解 求a 杆轴力。 FP 此桁架为复杂桁架。 由结点B FNa b a FyA ∑x=0 FNa=FNb Ⅰ 此桁架为复杂桁架。 D A C 由结点B FNa b a FyA ∑x=0 FNa=FNb FyC B Ⅰ ∑y=0 FNa sin450+ FNbsin450+ FyB=0 FyB FyB = - √2 FNa ① FNa FNb 由截面I-I右 ∑MD=0 FyC = Fna√2/3 ② FyB

FP FNa b a FyA FyC FyB 由整体平衡: ∑MA=0 FyB+2FyC - FP=0 ③ ①、②→③ Ⅰ D A C B

§6-5 组合结构 一、组合结构 由仅受轴力的二力杆和承受弯矩、剪力和轴力的梁式杆组成的结构。 三 铰 式 屋 架

下撑式五角形屋架 加劲式吊车梁

静定组合结构

二、组合结构的计算 用截面平衡条件计算组合结构时，应注意被截断的杆是二力杆，还是梁式杆。二力杆只有轴力，梁式杆一般应包括有弯矩、剪力、轴力。 分析时一般应先分析体系的几何组成，以便选择恰当的计算方法（顺序）。 计算时，一般先求出支座反力和各链杆（二力杆）的轴力，然后计算梁式杆的内力，并作弯矩、剪力和轴力图。

例：作图示组合结构的内力图 解：1、反力计算。 2、链杆内力计算。 ∑MC=0 FNDE1.5- 0.75×4=0 1kN 1kN 解：1、反力计算。 2、链杆内力计算。 I ∑MC=0 FyA=1.25kN FyB=0.75kN FNDE1.5- 0.75×4=0 I C FNDE=2kN (拉力) FNDA=2×2.5/2=2.5kN （拉力） FNDF FNDA FNDE FyB=0.75kN FNDF= - 1.5kN （压力） 2kN

1、能否用图示结点受力图计算杆FD、GE的轴力？ 同理可得： FNEB=2.5kN （拉力） 1kN 1kN FNEG= -1.5kN （压力） 提问： 1、能否用图示结点受力图计算杆FD、GE的轴力？ FyA=1.25kN FyB=0.75kN 1kN FNGE FNFD 2、图示A结点受力图是否正确? 为什么？ FQAC FNAC FyA=1.25kN FNDA=2.5kN

各杆轴力: - 2.0 - 2.0 + 2.5 + 2.5 - 1.5 - 1.5 + 2.0 FN图 ( kN )

(1)、用分段叠加法作杆AC、CB的弯矩图。 3、计算梁式杆的内力,并作内力图。 (1)、用分段叠加法作杆AC、CB的弯矩图。 1kN 1kN FyA=1.25kN FyB=0.75kN 1kN C C 2.5kN A B FQCA 1.25kN FQCB 2.5kN 0.75 1.5kN 2.5kN 1.5kN M 图 (kN·m)

（2）、作杆AC、CB的剪力图 AC杆: ∑y =0 FQCA =0.25kN FQAC = ? -0.25 BC杆: ∑y=0 FQCB =-0.75kN FQBC = ? 0.75 1kN C C 2.0 2.5kN A B 1.5 FQCA FQCB 0.75 1.5kN 2.5kN 1.5kN 1.25kN FQ图 (kN)

习题：作图示组合结构的内力图。 a FP a a a

FQDB=FNDC+FNFE+FP=3FP FBy =3FP FNDG a D B a a a MB =3FP a FQDG =-FP FP 4FP FNDB=0 D F G FQDB FP FNCD = 4FP FNFE = -2FP 2FP FNDC ∑MA=0 ∑MD=0 FNHG =FP A E C H 2FP FP

作弯矩图，并标出各杆轴力 3FP a FP a +4FP 2FP a +FP -2FP 弯矩 轴力

复习：静定平面桁架 重点：用结点法，截面法求解静定平面桁架的内力。 要求： 1、掌握静定平面桁架的内力分析方法（结点法，截面法及其联合应用）。会准确地使用结点、截面平衡的特殊情况，会利用对称性求桁架内力。 2、了解平面桁架结构的组成和分类，会根据桁架类型选择适当的分析方法。 3、会计算组合结构的内力。

习题1：求a、b、c三杆轴力，注意截面选择。 3 c a b B 1 a 1 3 a 2 2 1-1截面→b杆轴力 FP FP a 2-2截面→a杆轴力 3-3截面→c杆轴力（取左边为研究对象，列y向投影方程） a A a a a a/2 a/2 a

习题2：求图示桁架各杆轴力。 注意结构的组成方式及解题顺序。 习题2：求图示桁架各杆轴力。 注意结构的组成方式及解题顺序。 FP a FP FP a a a a

FP I FP -FP FP FP -√2 FP FP FP FP FP FP

习题3：求图示桁架各杆轴力。 注意结构的组成方式及反力特点。 习题3：求图示桁架各杆轴力。 注意结构的组成方式及反力特点。 D 3m B C F 3m FP A E 4m 4m 4m 4m

FP 4m 3m A B C D E F I I I FNED FBx B FNBF A E FAy =0 I

习题4：求a、b、两杆轴力。 注意特殊截面选择。 FP=40kN a 4m b 3m 3m 3m 3m

特殊截面： Ⅱ I FP=40kN Ⅱ 4m I 3m 3m 3m 3m

O I FNa FNEA FNBF I FCy

O1 Ⅱ FP=40kN Ⅱ FNb FNAD FBy

第六章作业： 题6.2、题6.9中的题6.5图 题6.12、题6.13 题6.18、题6.24 题6.28