§5.2 中心极限定理 人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到的大量随机 变量都服从或近似服从正态分布，正因如此，正态分布占有 §5.2 中心极限定理 人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到的大量随机 变量都服从或近似服从正态分布，正因如此，正态分布占有 特别重要的地位。那么，如何判断一个随机变量服从正态分 布显得尤为重要。如经过长期的观测，人们已经知道，很多 工程测量中产生的误差X都是服从正态分布的随机变量。分 析起来，造成误差的原因有仪器偏差X1、大气折射偏差X2, 温度变化偏差X3、估读误差造成的偏差X4等等，这些偏差Xi 对总误差 的影响都很微小，没有一个起到特别突出 的影响，虽然每个Xi的分布并不知道，但 却服从正态 分布。类似的例子不胜枚举。 设 为一随机变量序列，其标准化随机变量
. （5-6） 在什么条件下， , 这是十八世纪以来概率论研究 的中心课题，因而，从二十世纪二十年代开始，习惯上把研究 随机变量和的分布收敛到正态分布的这类定理称为中心极限定 理（Central Limit Theorems）。这里仅介绍独立同分布场合 下的中心极限定理。 定理5.2 (林德伯格—莱维（Lindeberg-Lévy）中心极限定 理) 设 是一相互独立同分布随机变量序列， 则对任意的实数，总有
. (5-7) 本定理的证明在20世纪20年代由林德伯格和莱维给出，因 证明较复杂，在此从略。 由定理5.2可知，当n充分大时， ， (5-8) 从而，
或 另外，对于任意的实数 和较大的n，由（5-8）可知 . (5-10) 定理5.2在概率论中占有特别重要的地位，由于它对 的 分布形式没有要求，因而得到广泛使用。对于应用者来讲，只 要能把问题抽象为独立同分布的随机变量之和，且这些随机变 量的均值和方差均存在，便可用（5-9）式近似计算概率。
推论1 (棣莫佛—拉普拉斯（De Moivre - Laplace）定理) ，则对任意实数 ，有 . （5-11） 证明 只需将 ， , ,代入( 5-7 ) 式便得（5-11）式. 这是历史上最早的中心极限定理，棣莫佛在1716年证明了 的情形，后来拉普拉斯将结果推广到一般情形。对较大 的n，由（5-11）或（5-8）可知
. （5-12） 令 , 则 . 于是，对于任意的实数 和较 大的n，有 ， （5-13） 其中 . 因为对较大的n， 和 的值很小,可忽略不计,所以 我们还有
， . 关于这些近似公式的使用，现作如下说明： （1）注意到 ，则（5-13）表明，对固定的p和较 大的n，二项分布可用正态分布逼近； （2）“较大的n”是一个较为模糊的概念，究竟多大才是较 “大”要依据实际问题来定。一般地,如果n≥50（有时亦可放 宽到n≥30），就可认为是较大的n； （3）第二章泊松定理表明，当p很小（可设想成p随n的变 化趋于0）、n较大且np不太大时，二项分布可用泊松分布逼 近。在实际中，当p≤0.1、n较大且np≤5时，常用泊松分布 (见附表1)逼近二项分布；当n较大且np>5时，常用正态分布 做二项分布的近似计算。
最后，我们指出大数定律与中心极限定理的区别： 设 为独立同分布随机变量序列，且 , , 则由定理5.1的推论1，对于任意的ε＞0有 . 大数定律并未给出 的表达式,但保证了其极限是1. 而在以上条件下，中心极限定理5.2（林德伯格—莱维）亦 成立，这时，对于任意的ε＞0及某固定的n，有 由于 ，因此，在所给条件下，中心极限定理不 仅给出了概率的近似表达式，而且也能保证了其极限是1，可 见中心极限定理的结论更为深入。