二元一次方程式解的圖形 二元一次方程式的圖形 y＝k 的圖形 x＝h 的圖形 二元一次聯立方程式的圖形 自我評量

　上一節中，我們學習利用數對表示坐標平面上某一點的位置。在本節中，我們將透過數對將二元一次方程式以圖形呈現在坐標平面上，並進一步探討二元一次聯立方程式的解與其圖形之間的關係。

一個二元一次方程式的任意一組解，可以記錄成數對的形式，此時這一組解在坐標平面上的圖形就是一個點。 　　例如：x＝0，y＝5是二元一次方程式x＋3y＝15的一組解，這一組解的圖形就是坐標平面上（0 , 5）這一點。

又如 x＝1，y＝ 是二元一次方程式x＋3y＝15的另一組解，這一組解的圖形就是坐標平面上（1 , ）這一點。

求出二元一次方程式 x＋2y＝5 的任意七組解，並在坐標平面上畫出這七個點。 1 二元一次方程式的解與描點 求出二元一次方程式 x＋2y＝5 的任意七組解，並在坐標平面上畫出這七個點。 解 將 y 分別以 0、1、2、……、6 代入，求出對應的 x 值，可得到七組解，如下表： x 5 3 1 －1 －3 －5 －7 y 2 4 6

x＝5，y＝0 這一組解的圖形是點 A (5 , 0)； x＝3，y＝1 這一組解的圖形是點 B (3 , 1)； x＝1，y＝2 這一組解的圖形是點 C (1 , 2)； x＝－1，y＝3 這一組解的圖形是點 D (－1 ,3)； x＝－3，y＝4 這一組解的圖形是點 E (－3 , 4)； x＝－5，y＝5 這一組解的圖形是點 F (－5 , 5)； x＝－7，y＝6 這一組解的圖形是點 G (－7 ,6)。

圖 2-11

1.下表中x與y的值都是二元一次方程式 2x－y＝4 的解，請完成下表，並將這些解的圖形畫在坐標平面上。

1. x －1 3 y －2 6 1 2 5 －6 －4 2

2.下列哪些是二元一次方程式 3x＋y＝4 的解？ （4 , 0）、（0 , 4）、（1 , 1）、（2 , 2）、 （－2 ,－2）、（－2 , 10） （0 , 4）、（1 , 1）、 （－2 , 10）是二元一次方程式 3x＋y＝4 的解。

在第一章，我們學過二元一次方程式的解有無限多組，例如下表中的每一組 x、y 的值都是二元一次方程式 x－y＝1 的一組解： … －3 －2 －1 1 2 3 4 y －4

把這些解的點描繪在坐標平面上，如圖2-12。 圖 2-12

在圖 2-13 中，畫出通過 A（－3 ,－4）、B（4 , 3）兩點的直線，並稱此直線為直線 AB， 如圖2-13。 可以發現，上表中二元一次方程式 x－y＝1 其他解的點都落在直線 AB 上。

我們再來看看下面的例子。下表中，每一組 x、y值都是二元一次方程式2x＋y＝3 的解： x … －2 －1 1 2 3 4 y 7 5 －3 －5

把這些解的點描繪在坐標平面上，如圖2-14。 圖2-14

在圖 2-14 中，畫出通過 P（－2 , 7）、Q（4 ,－5）兩點的直線，並稱此直線為直線 PQ，如圖 2-15。 圖2-15 可以發現，二元一次方程式 2x＋y＝3 其他解的點都落在直線 PQ 上。

如果我們再找出方程式 2x＋y＝3 的其他組解，如下表： x … 6 4 2 －2 －4 －6

把這些解的點描繪在圖 2-15 的坐標平面上，可以得到如圖 2-16 的圖形。 圖2-16

　 如圖 2-16，我們發現這些解的點（以藍點表示）同樣落在直線 PQ 上。 　　事實上，方程式 2x＋y＝3 的所有解描繪出的點都會落在直線 PQ 上。相對地，直線 PQ 上的任一點都代表方程式 2x＋y＝3 的一組解。 　　例如：直線 PQ 上任一點 R 的坐標（m , n）是方程式 2x＋y＝3 的解，即2m＋n＝3，移項後得 n＝3－2m 　　也就是說，在方程式 2x＋y＝3 上任一點R的坐標，都可以寫成（m , 3－2m）的形式。

一個二元一次方程式的所有解在坐標平面上所成的圖形，稱為該方程式的圖形。例如：圖2-16中，直線 PQ 為二元一次方程式 2x＋y＝3 所有的解在坐標平面上形成的圖形，我們就說直線 PQ 是二元一次方程式 2x＋y＝3 的圖形，並將直線 PQ 稱為直線 2x＋y＝3。一般來說， 形如 ax＋by＝c（a≠0，b≠0）的二元一次方程式，其圖形在坐標平面上是一條直線，該直線上任何一點都是原方程式的一組解。

1.有四個數a、b、c、d，且（2 ,a）、（－3 ,b）、（c , 8）、（d ,－4）都在二元一次方程式x＋2y＝6 的圖形上，求 a、b、c、d 這四個數的值。

2.找出二元一次方程式 x－2y＝4的五組解，描繪在坐標平面上，再畫出二元一次方程式 x－2y＝4的圖形。 －2 －4 y －1 －3

3.承上題，若點 A（__ , a）在方程式 x－2y＝4 的圖形上，求 A 點的坐標。（以含 a 的式子表示） A（4＋2a , a）

通過不同的兩點，可以畫出一條直線。因為二元一次方程式的圖形都是一條直線，所以只要求出方程式的兩組解，然後再描出這兩組解在坐標平面上所對應的點，就可以藉由這兩點畫出二元一次方程式的圖形。

在坐標平面上畫出二元一次方程式 2x＋y＝1 的圖形。 2 畫二元一次方程式的圖 在坐標平面上畫出二元一次方程式 2x＋y＝1 的圖形。 解 先求出二元一次方程式 2x＋y＝1 的兩組解。 x 1 y －1

將這兩組解的點描繪在坐標平面上， 並畫出通過此兩點的直線，如圖 2-17。 此直線即為二元一次方程式2x＋y＝1 的圖形。 圖2-17

在坐標平面上畫出二元一次方程式 y＝3x＋1 的圖形。 3畫二元一次方程式的圖 在坐標平面上畫出二元一次方程式 y＝3x＋1 的圖形。 解 先求出二元一次方程式 y＝3x＋1 的兩組解。 x 1 y 4

將這兩組解的點描繪在坐標平面上，並畫出通過此兩點的直線，如圖 2-18。 此直線即為二元一次方程式 y＝3x＋1 的圖形。 圖2-18

1.在右圖的坐標平面上，畫出二元一次方程式2x＋y＝2 的圖形。 y 2

2.在右圖的坐標平面上，畫出二元一次方程式 y＝－x＋3 的圖形。 x 3 y

知足是天賦的財富，奢侈是人為的貧窮。 ——蘇格拉底（Socrates，470B.C.-399B.C.）

在坐標平面上畫出二元一次方程式 3x＋2y＝0 的圖形。 4 畫二元一次方程式的圖 在坐標平面上畫出二元一次方程式 3x＋2y＝0 的圖形。 解 先求出二元一次方程式 3x＋2y＝0 的兩組解。 x 2 y －3

將這兩組解的點描繪在坐標平面上，並畫出通過此兩點的直線，如圖 2-19。 此直線即為二元一次方程式3x＋2y＝0 的圖形。 圖2-19

在右圖的坐標平面上，畫出二元一次方程式 4x－y＝0 的圖形。 x 1 y 4

若方程式 ax＋by＝c 的 a、b 都不為 0 時，其圖形為一條斜直線。 坐標平面上任意一條直線與 x 軸相交時，因為交點在 x 軸上，所以這個交點的 y 坐標必為 0；同樣地，坐標平面上任意一條直線與 y 軸相交時，因為交點在 y 軸上，所以這個交點的 x 坐標必為 0。

在坐標平面上畫出二元一次方程式 3x＋4y＝12 的圖形，並寫出該圖形與x軸、y軸的交點坐標。 5 圖形與兩軸的交點 在坐標平面上畫出二元一次方程式 3x＋4y＝12 的圖形，並寫出該圖形與x軸、y軸的交點坐標。 將 x、y 值分別以 0 代入，並求得對應的值： 解 x 4 y 3

將這兩組解的點描在坐標平面上，並畫出通過此兩點的直線，如圖 2-20。 圖2-20 將這兩組解的點描在坐標平面上，並畫出通過此兩點的直線，如圖 2-20。 此直線即為二元一次方程式 3x＋4y＝12 的圖形。 該圖形與 x 軸的交點為（4 , 0），與 y 軸的交點為（0 , 3）。

1.在右圖的坐標平面上，畫出二元一次方程式－3x＋4y＝12 的圖形，並寫出該圖形與 x 軸、y 軸的交點坐標。

1. x －4 y 3 與 x 軸交點為( －4 , 0 )， 與 y 軸交點為( 0 , 3 )。

2.在右圖的坐標平面上，畫出二元一次方程式 y＝－3x－2 的圖形，並寫出該圖形與x 軸、 y軸的交點坐標。

2. x y －2 與 x 軸交點為( , 0 )， 與 y 軸交點為( 0 , －2 )。

在坐標平面上，x軸上的任一點，不論x坐標為任何數，其y坐標必為0，例如：(－2 , 0)、（0 , 0）、（1 , 0）、（3 , 0）、……。這些點的坐標都可以寫成（a , 0）的形式。也就是說，x 軸所代表的直線方程式為 y＝0，如圖 2-21。

圖2-21

如圖2-22，已知坐標平面上一直線通過(0, 3)，且該直線與x軸平行。那麼，這條直線所代表的方程式會是什麼呢？

如同 y＝0 的圖形是 x 軸之情形，這個圖形上的任一點，其 y 坐標都是 3 ，例如：（－2 , 3）、 （－1 , 3）、（0 , 3）、（1 , 3）、（2 , 3）、（3 , 3）、……，這些點的坐標都可以寫成（a , 3）的形式，其中 a 為任意數，此直線的方程式為y＝3，如圖 2-23。

y＝3 也可解釋為 0‧x＋y＝3， 但因 0‧x＝0，所以直接記成 y＝3。 圖 2-23

反過來說，在坐標平面上，滿足方程式y＝3的解，都會在同一條直線上，而且這條直線是由所有 y 坐標都是 3 的點所形成的，它的圖形是一條與 x 軸平行的直線。

由下列數對中找出滿足方程式 y＝－5 的解，並將這些解描在坐標平面上。 （0 ,－5）、（1 ,－5）、（4 ,－5）、 （－2 , －5）、（－5 ,－5）、（－ ,－5）、 （－5 , 0）、（－5 , 5）、（1 , 1）、（0 , 0）

(0,－5)、(1,－5) 、 (4 ,－5)、(－2 ,－5)、(－5 ,－5)、(－ ,－5)

y＝－4 圖形上的任意一點，其 y 坐標皆為－4。 先找出在方程式 y＝－4 圖形上的兩點 A（0 ,－4），B（1 ,－4）， x 1 6 水平直線的畫圖 在坐標平面上畫出方程式 y＝－4 的圖形。 y＝－4 圖形上的任意一點，其 y 坐標皆為－4。 先找出在方程式 y＝－4 圖形上的兩點 A（0 ,－4），B（1 ,－4）， 解 x 1 y －4

並畫出通過 A（0 ,－4），B（1 ,－4）兩點的直線，如圖 2-24。 此直線即為方程式 y＝－4 的圖形。 圖2-24

1.已知一直線通過 C（5 ,－2），且該直線平行 x 軸，試求出這條直線所代表的方程式。 y＝－2

2.在右圖的坐標平面上，畫出方程式 y＝1的圖形。 x 1 y

事實上，y＝0的圖形就是x軸。其他如y＝1， y＝－5，y＝ ，……，這種形如y＝k，k≠0的方程式，在坐標平面上的圖形都是一條與x軸平行的直線。 方程式 ax＋by＝c： (1) 若 a＝0，b≠0，c＝0，則可得 y＝0，其圖形 為 x 軸。 (2) 若 a＝0，b≠0，c≠0，則可得 y＝k，k≠0，其圖形為平行 x 軸的直線。

在坐標平面上，y軸上的任一點，不論y坐標為任何數，其x坐標必為0，例如：（0 ,－2）、（0 , 0）、（0 , 3）、……，這些點的坐標都可以寫成（0 , b）的形式。也就是說，y軸所表示的直線方程式為 x＝0 ，如圖 2-25。

圖2-25

如圖2-26，已知坐標平面上一直線通過（－3 , 2），且該直線與y軸平行。那麼，這條直線所代表的方程式會是什麼呢？

如同方程式 x＝0 的圖形是y軸之情形，這個圖形上的任一點，其x坐標都是－3，例如：（－3 ,－1）、（－3 , 0）、（－3 , 1）、（－3 , 2）、（－3 , 3）、……，這些點的坐標都可以寫成（－3 , b）的形式，其中b為任意數，此直線的方程式為 x＝－3，如圖 2-27。

x＝－3 也可解釋為 x＋0‧y＝－3， 但因 0‧y＝0，所以 直接記成 x＝－3。 圖2-27

反過來說，在坐標平面上，滿足方程式x＝－3的解，都會在同一條直線上，而且這條直線是由所有x坐標都是－3的點所形成的，它的圖形是一條與y軸平行的直線。

7 鉛垂直線的畫圖 在坐標平面上畫出方程式 x＝5 的圖形。 x＝5 圖形上的任一點，其 x 坐標皆為 5。 A（5 , 0）、B（5 , 1）， 解 x 5 y 1

並畫出通過 A（5 , 0），B（5 , 1）兩點的 直線，如圖 2-28。 此直線即為方程式 x＝5 的圖形。 圖2-28

1.已知一直線通過 A（4 ,－2），且該直線平行 y 軸，試求出這條直線所代表的方程式。 x＝4

2.在右圖的坐標平面上，畫出方程式 x＝ 的圖形。 1 y x

事實上，x＝0 的圖形就是 y 軸。其他如x＝1，x＝－5，x＝ ，……，這種形如x＝h，h≠0 的方程式，在坐標平面上的圖形都是一條與 y 軸平行的直線。 方程式 ax＋by＝c： 若 a≠0，b＝0，c＝0，則可得 x＝0，其圖形 為 y 軸。 (2) 若 a≠0，b＝0，c≠0，則可得 x＝h，h≠0， 其圖形為平行 y 軸的直線。

只要先找出滿足二元一次方程式的兩點，就可以畫出這個方程式在坐標平面上的圖形。那麼，如果在坐標平面上，已知一條直線上的兩個點的坐標，可不可以求出這條直線的方程式呢？

8 求過已知兩點的直線方程式 已知方程式 ax＋by＝1 的圖形通過 A（3 , 5）、B（1 , 1）兩點，試求出這條直線的方程式。

因為方程式 ax＋by＝1 的圖形通過 A（3 ,5）、B（1 , 1）兩點，所以 A（3 , 5）、B（1 , 1） 將 A（3 , 5）、B（1 , 1）代入 ax＋by＝1 得 解得 a＝2，b＝－1。 所以通過A、B兩點的直線方程式為2x－y＝1。 解 3a＋5b＝1 a＋b＝1

已知方程式 y＝ax＋b 的圖形通過 A（0 , 1）、B（1 ,－2）兩點，試求出這條直線的方程式。 y＝－3x＋1

提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決問題也許僅是一個數學上或實驗上的技能而已。而提出新的問題，新的可能，從新的角度去看舊的問題，都需要有創造性的想像力，而且標誌著科學的真正進步。 ——培根（Francis Bacon，1561-1626）

上一章我們學過二元一次聯立方程式，例 如： 。其中包含兩個二元一次方程式 x－y＝1 與 x＋2y＝4，我們可以在坐標平面上 分別畫出它們的圖形： x－y＝1 x＋2y＝4

則 x－y＝1 的圖形是通過A（0 ,－1）、B（1 , 0）兩點的直線 L1。（如圖2-29） 1 y －1 先選定 x 值或 y 值為 0，會比較容易畫圖。 則 x－y＝1 的圖形是通過A（0 ,－1）、B（1 , 0）兩點的直線 L1。（如圖2-29）

則 x＋2y＝4 的圖形是通過C（0 , 2）、D（4 , 0）兩點的直線 L2。（如圖2-29） 4 y 2 則 x＋2y＝4 的圖形是通過C（0 , 2）、D（4 , 0）兩點的直線 L2。（如圖2-29） 圖2-29

由圖2-29可以發現，直線L1與L2於一點P(2 , 1)。 因為P（2 , 1）在直線 L1上，所以 x＝2，y＝1 是方程式 x－y＝1 的解， 又P（2 , 1）也在直線 L2上，所以 x＝2，y＝1 也是方程式 x＋2y＝4 的解。 也就是說， 兩直線的交點坐標就是二元一次聯立方程式的解，反過來說，二元一次聯立方程式的解，在坐標平面上的位置就是此兩直線的交點。

在坐標平面上，不一定每次都容易描述所看到兩直線的交點坐標，此時可配合二元一次聯立方程式的求解法，找出兩直線的交點坐標。

9 兩直線的交點坐標 在坐標平面上分別畫出二元一次方程式 6x＋y＝6 與 3x－2y＝－7 的圖形，若此兩直線相交於一點 A，試求出交點的坐標。

再找出3x－2y＝－7 的兩組解，畫出直線 L2。（如圖 2-30） x 1 y 5 2 1 y 6 再找出3x－2y＝－7 的兩組解，畫出直線 L2。（如圖 2-30） x 1 －1 y 5 2 圖2-30

6x＋y＝6 ………  3x－2y＝－7 ……  (2)解聯立方程式 由式×2＋式得： 15x＝5 x＝ 將x＝ 代入式得： 2＋y＝6 y＝4 所以直線 L1與 L2的交點坐標為 A（ ,4）。 兩直線的交點坐標就是二元一次聯立方程式的解。

1.若坐標平面上直線 2x＋y＝－2 與直線 x＋2y＝5 交於一點 P，試畫出兩直線的圖形，並求出 P 點的坐標。 －1 y －2 x 5 1 y 2

1. 由 解得 x＝－3，y＝ 4 所以 P 點坐標為（－3 , 4）

程式 所表示的兩條直線，並求出這兩條直線的交點坐標。 2.在下圖的坐標平面上，畫出二元一次聯立方 程式 所表示的兩條直線，並求出這兩條直線的交點坐標。 2x＋3y＝5 x－6y＝0 x 4 －2 y －1 3 x 6 y 1

2. 由 解得 x＝2，y＝ 所以交點坐標為（2 , ）

有時，二元一次聯立方程式可能無解。 例如解聯立方程式 由式×2－式，即出現不合理的等式0＝－12。所以這個聯立方程式無解。 2x＋y＝－2 …… 4x＋2y＝8 ……

二元一次聯立方程式的解，在坐標平面上的位置，就是兩直線的交點。因此，聯立方程式 無解時，它在坐標平面上的圖形為互相平行的兩直線，即L1與L2平行，如圖2-31所示。 2x＋y＝－2 4x＋2y＝8

2x＋y＝－2 的圖形為通過A(0,－2)、B(1,－4) 兩點的直線 L1； 4x＋2y＝8 的圖形為通過P(0 ,4)、 Q(1 ,2)兩點的直線 L2。 圖2-31 如果二元一次聯立方程式無解（沒有解）， 則表示它所代表的兩條直線平行（沒有交點）。

解二元一次聯立方程式 ，並在坐標平面上畫出此聯立方程式所表示的兩條直線。 10聯立方程式與平行線 2x－y＝6 6x－3y＝2 解二元一次聯立方程式 ，並在坐標平面上畫出此聯立方程式所表示的兩條直線。 2x－y＝6 …… 6x－3y＝2 …… (1)解聯立方程式 由式×3－式得： 0＝16。 所以聯立方程式無解（沒有解）。 解

再找出 6x－3y＝2 的兩組解，畫出直線 L2。（如圖2-32） x 3 y －6 再找出 6x－3y＝2 的兩組解，畫出直線 L2。（如圖2-32） x y － 圖2-32

解二元一次聯立方程式 ，並在右圖的坐標平面上，畫出其所表示的兩條直線。 3x－3y＝12 2x－2y＝6   式×2－式×3 得︰0＝6 所以此二元一次聯立方程式無解

3x－3y＝12 x 4 y －4 2x－2y＝6 x 3 y －3

有時，二元一次聯立方程式有解，但它的解不一定只有一組。 例如解聯立方程式　 　　 將式各項乘以 2 可得： 6x－2y＝12， 所以 3x－y＝6 的所有解，就是 6x－2y＝12 的所有解。 在坐標平面上畫出的圖形 ，如圖2-33 所示，  

3x－y＝6 的圖形為通過 A（0 ,－6）、B（2 , 0）兩點的直線 L； 圖2-33

換句話說，聯立方程式 表面上看起來是兩個方程式，但其實只有一個方程式，其圖形就是一條直線。 　　也可以說 3x－y＝6 和 6x－2y＝12 所代表的直線重合。一條直線上有無限多個點，因此上述聯立方程式有無限多組解。 　　也就是說， 如果二元一次聯立方程式有無限多組解，則表示它所代表的兩條直線重合（即一條直線）。

11聯立方程式與重合直線 1.解二元一次聯立方程式 2.在坐標平面上，畫出二元一次聯立方程式 　所表示的圖形。

 1.解二元一次聯立方程式 式÷3 得： 2x＋3y＝6…… 因為式與式完全相同，所以它們的解就 是 2x＋3y＝6 的所有解。 一些解，如下表：  x 1 2 3 4 ….. y －

表中的每一組 x、y 值都滿足二元一次方程式 6x＋9y＝18，故二元一次聯立方程式 有無限多組解。

找出 2x＋3y＝6 的兩組解，畫出直線 L 。（如 圖 2-34） x 3 y 2 2.因為6x＋9y＝18 和2x＋3y＝6 的解完全相同， 所以只要畫出 2x＋3y＝6的圖形即可。 找出 2x＋3y＝6 的兩組解，畫出直線 L 。（如 圖 2-34） x 3 y 2 圖2-34

1.解二元一次聯立方程式   式÷3 得 x＋y＝2 與式相同 所以此二元一次聯立方程式有無限多組解

2.在下圖的坐標平面上，畫出二元一次聯立方程 式 所表示的圖形。 x＋y＝2 x 2 y

綜合上面的結論， 在坐標平面上，一個二元一次聯立方程式的圖形有下列三種情形： (1)圖形為相交於一點的兩直線，代表此聯立方程 式有解且僅有一組解。 (2)圖形為平行的兩直線，代表此聯立方程式無解 （沒有解）。 (3)圖形為重合成一直線的兩直線，代表此聯立方 程式有無限多組解。

1.二元一次方程式的解：如果一數對代入一個二 元一次方程式，能使此方程式的等號成立，則 此數對就是該二元一次方程式的解。

2.二元一次方程式的圖形與畫法：一個二元一次方程式的所有解在坐標平面上所成的圖形，稱為該方程式的圖形。二元一次方程式的圖形都是一條直線，所以二元一次方程式又稱直線方程式。畫二元一次方程式的圖形，只要先找出二元一次方程式中兩組不同的解，然後在坐標平面描出此兩點並以直線連接之，即為該方程式的圖形。

3.直線方程式圖形的類型：（ax＋by＝c） (1)若 a、b 都不為 0 時，其圖形為一條斜直 線，例如：2x－y＝4。 特別當 c＝0 時，該直線會通過原點，例 如：3x－2y＝0。

(2) 若 a＝0，b≠0，c＝0，則可得 y＝0， 其圖形為 x 軸。 若 a＝0，b≠0，c≠0，則可得 y＝k， k≠0，其圖形為平行 x 軸的直線。 (3) 若 a≠0，b＝0，c＝0，則可得 x＝0， 其圖形為 y 軸。 若 a≠0，b＝0，c≠0，則可得 x＝h， h≠0，其圖形為平行 y 軸的直線。

4.「二元一次聯立方程式的解」與「兩直線的交點坐標」： 二元一次聯立方程式的解 這兩個方程式的圖形的交點坐標； 兩直線的交點坐標 這兩條直線所代表的兩個方程式的共同解。 就是 就是

5.二元一次聯立方程式的解與圖形的類型： (1)圖形為相交於一點的兩直線，代表此聯立 方程式有解且僅有一組解。 (2)圖形為平行的兩直線，代表此聯立方程式 無解（沒有解）。 (3)圖形為重合成一直線的兩直線，代表此聯 立方程式有無限多組解。

2-2 自我評量 1.下列哪些是二元一次方程式 3x＋y＝－4 的解？ （2 , －2）、（－1 , －1）、（ ,－6）、 （0 , －4） （－1 ,－1）、（ ,－6）、（0 ,－4）

2.在坐標平面上畫出下列各二元一次方程式的圖形： (1) y＝3x－1 x 1 y －1 2

(2) x＋2y＝4 x 4 y 2

(3) 3x＋y＝0 x 1 y －3

(4) 3x－4y－12＝0 x 4 y －3

(5) y＝－4 x －1 y －4

(6) 2x－5＝0 1 y x

3.下列哪些點在直線 x＝0（y 軸）上？ （4 , 0）、（0 , 4）、（0 , 0）、（－ , 0）、（0 ,－ ）、（1 , 1） （0 , 4）、（0 , 0）、（0 ,－ ）

4.在下圖的坐標平面上，畫出通過（－4 , 3）且平 行 y 軸的直線，並求出代表此直線的方程式。 x＝－4

5.二元一次方程式 y＝4x－8 的圖形與 x 軸交於 P 點，與 y 軸交於 Q 點，試求P、Q 兩點的坐標。 P（2 , 0）、Q（0 , －8）

6.已知 x、y 的二元一次方程式 ax＋by＝2 的圖形 通過 P（1 , 1）、Q（4 ,－2）兩點，試求： (1) a、b 之值。 (2)此直線方程式。 (1) a＝1，b＝1 (2) x＋y＝2

7.已知 x、y 的二元一次方程式 ax＋y＝3 和 x＋by＝4 的圖形都通過點（2 ,－1），試求出 a、b 之值。 a＝2，b＝－2

8.在坐標平面上，畫出下列各二元一次聯立方 程式的圖形，並判斷其解為「只有一組解」 、「無解」或「無限多組解」：

(1) x 3 y x 1 4 y －5 －2 ˇ □只有一組解 □無解　 □無限多組解

(2) x 3 y －2 x －3 y 2 □只有一組解 □無解　 □無限多組解 ˇ

(3) x 2 1 y －2 x 1 y －5 －2 □只有一組解 □無解　 □無限多組解 ˇ

(4) x 1 2 y －3 x －1 －2 y 2 ˇ □只有一組解 □無解　 □無限多組解

笛卡兒 笛卡兒（René Descartes，1596-1650）生於法國的拉艾鎮（La Haye），父親是地方法院的評議員，家境富裕。求學時代，笛卡兒身體孱弱，因此養成了每天早上待在床上思考、作功課、11 點才起床的習慣，並且終身奉行不渝。

他 20 歲畢業於 Poitiers 大學法律系，之後，前往巴黎追隨 Mydorde 和 Mersenne 學了一年數學，由於解決了荷蘭 Bredas公開挑戰的一道難題，而信心大增，從此認真學習並研究數學。 笛卡兒說：「希臘幾何太過抽象，它只是用來訓練理解，使想像力大為疲勞的工具罷了！而代數太過於遵守原則和公式，計算過於繁雜， 不是一門改良心智的科學。」

為了讓幾何問題有一定的思考方法，笛卡兒發明了坐標幾何。在此之前，算術或從算術衍生的未知數概念產生的代數學是和研究圖形的幾何學獨立發展的。到了笛卡兒建立坐標平面後，幾何圖形便可以透過代數學來研究。反過來說，代數學也可以透過幾何學來研究了。這個想法大大刺激了數學的發展，後來微積分的發明，乃至萬有引力定律的發現，都可以回溯到坐標幾何的原始想法。

我們常用的電腦軟體—Microsoft Photo Editor 或小畫家，同樣應用了坐標平面的想法。不過，這些軟體都是以圖片的左上角為原點，x 軸正向向右，y 軸正向向下。