§8.3 不变因子 一、行列式因子 二、不变因子
一、行列式因子 1. 定义： 注： 设 －矩阵 的秩为 ，对于正整数 ， 中必有非零的 级子式， 中全部 级子式 设 －矩阵 的秩为 ，对于正整数 ， 中必有非零的 级子式， 中全部 级子式 的首项系数为1的最大公因式 称为 的 阶行列式因子. 注： 若 秩 ，则 有 个行列式因子.
2. 有关结论 1) （定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级 行列式因子. （即初等变换不改变 －矩阵的秩与行列式因子） （即初等变换不改变 －矩阵的秩与行列式因子） 证：只需证， －矩阵经过一次初等变换，秩与行 列式因子是不变的． 设 经过一次初等变换变成 ， 与 分别是 与 的 k 级行列式因子． 下证 ，分三种情形：
① 此时 的每个 级子式或 者等于 的某个 级子式， 或者与 的某个 级子式反号. 因此， 是 的 级子式的 公因式， 从而 ② 此时 的每个 级子式或 者等于 的某个 级子式，或者等于 的某个 级子式的 c 倍. 因此， 是 的 级子式的 公因式， 从而
③ 此时 中包含 两行 的和不包含 行的那些 级子式与 中对应的 级子式相等； 中包含 行但不包含 行的 级 子式，按 行分成 的一个 级子式与另一个 级子式的 倍的和， 即为 的两个 级子式 的组合， 因此 是 的 级子式的公因式， 从而 同理可得，
2）若 矩阵 的标准形为 其中 为首1多项式，且 则 的 级行列式因子为
证： 与 等价， 与 有相的秩与行列式因子. 在 中，若一个 级子式包含的行、列指标不 完全相同，则这个 级子式为零. 所以只需考虑由 行与 列组成的 级子式 即 而这种 级子式的最大公因式为 所以， 的 级行列式因子
3）（定理4） 矩阵的标准形是唯一的. 证：设 矩阵 的标准形为 其中 为首1多项式，且
由2）， 的 级行列式因子为 于是 即 由 的行列式因子所唯一确定. 所以 的标准形唯一. 4）秩为 的 矩阵的 个行列式因子满足：
二、不变因子 1. 定义： 矩阵 的标准形 的主对角线上的非零元素 称为 的不变因子.
2. 有关结论 1)（定理5） 矩阵 、 等价 、 有相同的不变因子. 、 有相同的行列因子. 证：必要性显然. 只证充分性. 1)（定理5） 矩阵 、 等价 、 有相同的不变因子. 、 有相同的行列因子. 证：必要性显然. 只证充分性. 若 与 有相同的行列式因子，则 与 也有相同的不变因子， 从而 与 有相同的标准形， 所以 与 等价.
2）若 的 矩阵 可逆，则 的不变 因子全部为1， 的标准形为单位矩阵 ，即 与 等价. 证；若 可逆， 则 ， 为一非零常数. 的第n个行列式因子 又 的n个行列式因子满足:
从而不变因子 所以， 的标准形为 注： 可逆 与 等价. 3)（定理6） 可逆 可表成一些初等 矩阵的乘积.
证： 可逆 与 等价 存在初等矩阵 使 推论：两个 的 矩阵 、 等价 存在一个 可逆矩阵 与一个 可逆 矩阵 ，使
例、求 矩阵的不变因子
解：1） 的非零1级子式为: 的非零二级子式为:
又 所以， 的不变因子为 ：
2） 又 而 的不变因子为
练习：求 的不变因子 答案:
作业： P352 2 (2) (3)，3