第三章 随机变量的数字特征 （一）基本内容 一、一维随机变量的数学期望 定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为： 第三章 随机变量的数字特征 （一）基本内容 定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为： 则随机变量X 的数学期望为: 设X是一连续型随机变量，其分布密度为 则随机变量X的数学期望为 一、一维随机变量的数学期望 定义2：

二、二维随机变量的数学期望 （1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则 （2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则 即： 假定级数是绝对收敛的. 假定积分是绝对收敛的. 二、二维随机变量的数学期望

三、一维随机变量函数的数学期望 则定义随机变量函数 的数学期望为： （1）设离散型随机变量X 的概率分布为： 机变量函数 则定义随 其概率密度为

四、二维随机变量的函数的数学期望 （1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则 随机变量函数g(X,Y)的数学期望如下： （2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则 随机变量g(X,Y)的数学期望如下： 假定这个级数是绝对收敛的. 假定这个积分是绝对收敛的. 四、二维随机变量的函数的数学期望

五、关于数学期望的定理 定理1 推论 （1） （2） （3） 定理2 推论： 定理3 若X、Y 独立，则有：

六、方差与标准差 方差的计算公式: 有关方差的定理： 定义 X 的方差： X 的标准差： 若X 为离散型随机变量，则有 定理1 推论： 有关方差的定理： 六、方差与标准差

七、某些常用分布的数学期望及方差 定理2： 若X与Y 独立， 推论： 0 -1分布： 二项分布： Poisson分布 几何分布: 均匀分布: 指数分布: Poisson分布

二维随机变量的方差： 连续型随机变量 离散型随机变量

八、原点矩与中心矩 随机变量X 的 k 阶原点矩： 定义1： 定义2： X 的k 阶中心矩： 对于离散随机变量： 对于连续随机变量： 特别的， 八、原点矩与中心矩

九、协方差与相关系数 1、X与Y 的协方差（或相关矩）： 定义 注 ⑴ 离散型随机变量： ⑵ 连续型随机变量： 定理1 定理2 ⑵ 连续型随机变量： 1、X与Y 的协方差（或相关矩）： 定义 注 九、协方差与相关系数 定理1 定理2 若X与Y 独立，则： 注 设X与Y是任两个随机变量， 逆命题不成立。

2、X与Y 的相关系数 定义 定理3 且 定理4 定理5 如果 X 与Y 独立，则 反之不成立。 即: X 与 Y相互独立 X与 Y 不相关

十、切比雪夫不等式与大数定律 1、切比雪夫不等式 2、切比雪夫大数定律 若方差一致有上界 3、辛钦大数定律 独立同分布 4、伯努利大数定律 在独立试验序列中，事件 A 的频率按概率收敛于事件 A 的概率.

（二）作业题略解 1 一批零件有9个合格品与3个废品，安装机器时从中任取一 个。如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已 设随机变量X表示在取得合格品之前已取得的废品数, 则 1 一批零件有9个合格品与3个废品，安装机器时从中任取一 个。如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已 取出的废品数的数学期望、方差与标准差。

所以X 的概率分布列为

的次品率为p，求每批产品抽查样品的平均数。 都是合格，则也停止检查而认为这批产品合格。设这批产品 立即停止检查而认为这批产品不合格；若连续检查5个产品 2 对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。若发现次品，则 设随机变量X 表示每批产品抽查的样品数，则: ∴X 的概率分布表如下： 解

3 设随机变量X的概率密度为： 求数学期望EX与方差DX. 令 解 则

4 设随机变量X 的概率密度为: 求数学期望EX与方差DX. 解

5 设随机变量X 的概率密度为： 求系数A及EX与D X. 令 解

6 方向盘有整分度 ，如果计算角度时是把零头数化为最 解 与标准差。 靠近的整分度计算的，求测量方位角时误差的数学期望 测量方位角时的误差X～

7 设随机变量X 服从二项分布B(3,0.4),求下列随机变量的数 学期望与方差: 解

8 X 的密度函数为： 解

9 对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间 内, 求球体积的数学期望. 解 设随机变量X，Y 分别表示球的直径和体积， 则 而 10 证明：若随机变量X与Y 独立，则 证 右=

=左 ∵X与Y 独立，∴ X 2 与Y 2 独立， ∴右 也可从左往右证. 解 11 独立，且服从同一分布，数学期望 为 随机变量 学期望及方差. 方差为 求它们的算术平均值 的数

12 N个人同乘一辆长途汽车，沿途有n个车站，每到一个车站 时，如果没有人下车，则不停车.设每个人在任一站下车是 等可能的,求停车次数的数学期望. 解1 且服从分布

解2 设Y 表示停车的次数, 服从分布二项分布B( n,p ) Y 则

解 13 计算二项分布 的三阶原点距，三阶中心距.

14 二维随机变量（X,Y）在区域R： （2）数学期望E(X)及E(Y)、方差D(X)及D(Y)； 及相关系数 解 （1）设（X,Y）的概率密度 其中C 为常数. 则 服从均匀分布，求：（1）的概率密度； （3）相关矩 上

（2） （3）

15 解

16 利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于 三倍标准差的概率. 解

17 为了确定事件 A 的概率, 进行了10000次重复独立试验. 解 设事件A 在每次试验中发生的概率为 p， 在这10000次试验 中发生了X 次, 则 因此，所求事件的概率为

设 ∴仪器误差的数学期望及方差分别是： 18 利用某仪器测量已知量a 时，所发生的随机误差的概率密 度在独立试验过程中保持不变。设 是各 次测量的结果，可否取 作为仪器误差的方 差的近似值？ 解

若系统没有误差，即 则 据切比雪夫定理的推论，得 即

若次品率不大于0.01， 则任取200件，发现6件次品的概率 应不大于 利用泊松定理， 取λ=200×0.01=2 此概率很小， 据小概率事件的实际不可能性原理， ∴不能相信该工厂的次品率不大于0.01。 解 19 从某工厂的产品中任取200件，检查结果发现其中有6件次 品，能否相信该工厂的次品率不大于0.01。

（三）其它习题略解: 5,19 帕斯克分布:设事件A在每次实验中发生的概率为 p，进 行重复独立实验，直至事件A发生r 次为止，需要进行的 实验总次数的概率分布: 求: X 的期望与方差. 解 X 表示直到事件A发生r 次需要进行的实验总次数， 表示直到事件A发生第1 次进行的实验次数， 表示事件A发生第i-1 次后到第i次发生时进行的实验次数， 则: 且 相互独立,服从几何分布G(p).

15 过半径为R的圆周上任意点作这圆的弦,求这弦的平均长度. x L T O 2R A 解 如图示: 设T 表示过圆周上定点O所作的弦OA 与x 轴的夹角, 则 T 在 上服从均匀分布, 设L 表示所作的弦的长度, 则:L=2RcosT E(L)=E(2RcosT)=

22 计算均匀分布U(a,b)的k阶原点矩及k阶中心矩. 解 设随机变量 X ~ U(a,b), 则其概率密度: 为奇数 为偶数

26 设 是任意 n个随机变量, 证明: 若 相互独立, 证明:

27 设 X ~ H( n, M, N ) 求: E( X ), D( X ). 解 表示第i 次抽样时取得的次品数, 设 则 则n次抽样共抽到的次品数为： 且 1 所以：

1 1

31 证明: 若不独立的随机变量 满足条件 (马尔可夫) 则对任意的正数 恒有 证明: 由切比雪夫不等式, 对任意的正数 恒有 因概率不能大于1,

补例1: 设二维随机变量(X,Y)在矩形区域: 上服从均匀分布, 记 求(1)U与V的联合分布, (2)U与V的相关系数. • 1 2 y x 2y= x y= x O 解: 由题意(X,Y) 的联合概率密度: 如图示: P(U=0,V=0)=

P(U=0,V=1) P(U=1,V=0) P(U=1,V=1) 所以(U,V )的联合分布: 1

1 因U,V 分别服从“0-1”分布,

例2: 设随机变量U 在区间[-2,2]上服从均匀分布,随机变量: 求(1) ( X, Y ) 的联合分布, (2) D(X+Y). 解: 由题意随机变量U 的概率密度: P(X=-1,Y=-1) =P (U≤-1,U≤1) =P (U≤-1) P(X=-1,Y=1) =P (U≤-1,U>1)=0 P(X=1,Y=-1) =P (U>-1,U≤1)=P(-1<U≤1) P(X=1,Y=1) =P (U>-1,U>1)=P(U>1)

所以(X,Y )的联合分布: -1 1 Z=X+Y 的概率分布: 2 P(Z=z) -2

例3: 设 A,B 为随机事件,且P(A) = P(B/A)= P(A/B)= 发生 不发生, 发生 不发生 令 (1) (X,Y) 的联合分布; (2) X与Y的相关系数; 求: (3) 的概率分布. 解: (1) P(X=0,Y=0) P(X=0,Y=1) P(X=1,Y=0) P(X=1,Y=1)

(X,Y)的联合分布: 1 1 2) X的边缘分布: Y的边缘分布: P(X= ) 1 P(Y= ) 1 因X,Y 分别服从“0-1”分布,

3) 随机变量 的可能取值:0,1,2. 1 2 P(Z= )

例4: 某流水生产线上每个产品不合格的概率为: p (0<p<1), 各产品合格与否相互独立,当出现一个不合格产品时即停机检修. 设开机后第一次停机时已生产的产品个数为X , 求X的数学期望 E(X)与方差D(X). 解: 由题意 随机变量X 的概率函数:

例5: 已知甲, 乙两个箱子装有同种产品, 其中甲箱中装有3件合格品, 3件次品, 乙箱中仅装有3件合格品, 从甲箱中任取3件产品装入, 乙箱中后,求: (1)乙箱中次品件数X的数学期望; (2) 从乙箱中任取1件产品是次品的概率. 解: (1) X 的一切可能取值:x =0,1,2,3. X 的概率函数: 2 P(X=x) 1 3

(2) 设 表示从甲箱任取的产品中有i 件次品(i = 0,1,2,3), A 表示从乙箱中任取1件产品是次品. 则: