能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.

1.数列综合应用题的解题步骤 (1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每 个数学内容中，各是什么问题. (2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”， 每个小题或每个“步骤”分别是数列问题、函数问题、 解析几何问题、不等式问题等.

(3)求解——分别求解这些小题或这些“步骤”，从而得到 整个问题的解答. 具体解题步骤如下框图：

2.常见的数列模型 (1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数 列，利用等差数列有关知识解决问题. (2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数 列，利用等比数列有关知识解决问题. (3)递推公式模型：通过读题分析，由题意把所给条件用 数列递推式表达出来，然后通过分析递推关系式求解.

[思考探究] 　　银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？ 提示：单利公式是等差数列模型；复利公式是等比数列模型.

1.设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2， A.1　　　　　　　　　　　B.2 C.3 D.4

解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d. ∵ ＝S1·S4， ∴(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)， ∴4 ＋4a1d＋d2＝4 ＋6a1d， ∴d2＝2a1d. 又∵d≠0，∴d＝2a1， 答案：C

2.随着计算机技术的迅猛发展，电脑的价格不断降低，若 每隔4年电脑的价格降低三分之一，则现在价格为8 100 元的电脑12年后的价格可降为 (　　) A.2 400元 B.2 700元 C.3 000元 D.3 600元 解析：12年后的价格可降为8 100×(1－ )3＝2 400 元. 答案：A

3.已知函数f(x)＝ ，其对称中心是( ，0)，若an＝ (n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn>0的n 的最小值为 (　　) A.10 B.11 C.12 D.13 解析：因为函数f(x)＝ ，且函数关于点P( ，0) 对称，故f(1)＋f(2)＋…＋f(10)＝0，即S10＝0.当n≥6时，f(n)>0，∴a11＝f(11)>0，∴S11>0. 答案：B

4.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数 解析：设等比数列的首项为a1，公比为q，则S1＝a1，S2＝a1＋a2＝a1＋a1q，S3＝a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q2. 由S1,2S2,3S3成等差数列，得2·2S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，可得3q2－q＝0，得q＝0，q＝ ，因为q≠0，所以q＝ . 答案：

5.若数列{an}是正项递增等比数列，Tn表示其前n项的积， 且T8＝T4，则当Tn取最小值时，n的值＝　　　　. 解析：由T8＝T4，得a1a2a3a4a5a6a7a8＝a1a2a3a4，所以a5a6a7a8＝1，又a5a8＝a6a7＝1，且数列{an}是正项递增数列，所以a5<a6<1<a7<a8，因此T6取最小值. 答案：6

1.解决等差、等比数列综合问题的关键是将已知转化成 基本量的关系，求出首项与公差(公比)后，再进行其他 运算. 2.利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值，同时 对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好 性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件 联立方程求解.

设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列. (2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn. [思路点拨]

[课堂笔记]　(1)由已知得 解得a2＝2. 设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝ ，a3＝2q. 又S3＝7，可知 ＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0. 解得q1＝2，q2＝ .由题意得q＞1，∴q＝2，∴a1＝1. 故数列{an}的通项为an＝2n－1.

(2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…， 由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2. 又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差数列， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ·ln2. 故Tn＝ ln2.

若将“S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列”改为“Sn＝2an－1，n∈N*”. (2)令bn＝log2a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.

解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，a1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)， ∴an＝2an－1， ∴数列{an}是首项为a1＝1，公比为2的等比数列， ∴数列{an}的通项公式是an＝2n－1.

(2)由于bn＝log2a3n＋1，n＝1,2，… 由(1)可得a3n＋1＝23n ∴bn＝log223n＝3n， ∴{bn}是等差数列， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝

1.解等差数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问 题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应 用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、 标准化，然后用等差数列知识求解.这其中体现了把实 际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力.

2.解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是： 从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模 型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：

用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交50元，并加付欠款利息，月利率为1%，若付150元之后的第一个月算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部付清后，实际共花了多少钱？ [思路点拨]

[课堂笔记]　购买当天付了150元，余欠款1 000元，按题意分20次还清. 设每次付款依次构成数列{an}，则a1＝50＋1 000×0.01＝60元， a2＝50＋(1 000－50)×0.01＝59.5元， a3＝50＋(1 000－50×2)×0.01＝59元， …

an＝60－(n－1)×0.5， ∴{an}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列. ∴a10＝60－9×0.5＝55.5元. 20期共还款S20＝20×60－ ×0.5＝1 105， 故共花了1 105＋150＝1 255元.

与等比数列联系较大的是“增长率”、“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题.这都与等比数列有关.

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业. 根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年度减少 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年度减少 .本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业有促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年度增加 . (1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式； (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

[思路点拨]

[课堂笔记]　(1)第1年投入为800万元，第2年投入800× 万元，…，第n年投入800× 万元， 总投入an＝800＋800× ＋…＋800× ＝4 000× . 同理，第1年收400万元，第2年收400× 万元，…，第n年收入400× 万元， 总收入bn＝400＋400× …＋400× ＝1 600× .

(2)由题意知bn－an＞0， 即1 600× －4 000× ＞0， 化简，得5× ＋2× －7＞0， 设x＝ <1，则5x2－7x＋2＞0， 解得x＜ 或x＞1(舍去)， 即 ＜ ，∴n≥5. 至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.

以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列构造问题是高考对本节内容的常规考法，09年广东高考将函数、数列、不等式、导数等知识综合命题考查学生推理论证能力、函数与方程思想、转化与化归思想和放缩法的应用，是高考考查的一个新方向.

(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式； (2)证明：x1·x3·x5·…·x2n－1＜ 　 [考题印证] (2009·广东高考)(14分)已知曲线Cn：x2－2nx＋y2＝0(n＝1,2，…).从点P(－1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn＞0)的切线ln，切点为Pn(xn，yn). (1)求数列{xn}与{yn}的通项公式； (2)证明：x1·x3·x5·…·x2n－1＜

【解】　(1)直线ln的方程为y＝kn(x＋1)，kn＞0. 代入曲线Cn的方程得： ( ＋1)x2－2(n－ )x＋ ＝0. ∵ln与Cn相切， ∴方程有等根xn， Δ＝4(n－ )2－4( ＋1) ＝0⇒kn＝ ┄(2分) ┄┄┄(4分)

(2)证明：由(1)知，xn＝ 于是所证明的不等式变为 (a)先证明：

∵4n2－1＜4n2， ∴(2n－1)(2n＋1)＜4n2 ⇒(2n－1)2(2n＋1)＜4n2(2n－1)，┄┄┄┄┄┄┄(8分) (b)再证明 ＜ sin .

令f(x)＝sinx－ x，则f′(x)＝cosx－ . 又xn＝ ∈(0， )(n≥1)， ∴f(xn)＝sin ＞f(0)＝0. 所以 故x1·x3·x5·…·x2n－1＜ (14分)

(文)已知数列{an}的前n项和为Sn，点Pn( ， ) (n∈N*)在函数f(x)＝ ＋4的图象上，且a1＝1，an>0. 　 [自主体验] (文)已知数列{an}的前n项和为Sn，点Pn( ， ) (n∈N*)在函数f(x)＝ ＋4的图象上，且a1＝1，an>0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：Sn> ，n∈N*.

解：(1)由于点Pn( )，n∈N*，在函数f(x)＝ ＋4的图象上， ∴数列{ }是等差数列，首项为 ＝1，公差为4.

∴ ＝1＋4(n－1)＝4n－3，n∈N*， ∴ ，n∈N*. ∵an>0， ∴an＝ ，n∈N*.

(2)证明：∵an＝ ，n∈N*，

(理)已知曲线C：y＝x2(x>0)，过C上的点A1(1,1)作曲线C的切线l1交x轴于点B1，再过点B1作y轴的平行线交曲线C于点A2，再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2，再过点B2作y轴的平行线交曲线C于点A3，…，依次作下去，记点An的横坐标为an(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，求证：anSn≤1； (3)求证：

解：(1)∵曲线C在点An(an， )处的切线ln的斜率是2an，∴切线ln的方程是y－ ＝2an(x－an)， 由于点Bn的横坐标等于点An＋1的横坐标an＋1， ∴令y＝0，得an＋1＝ an， ∴数列{an}是首项为1，公比为 的等比数列， ∴an＝ .

(2)证明：∵Sn＝ ＝2(1－ )， ∴anSn＝4× (1－ ).令t＝ ，则0<t≤ ， ∴anSn＝4t(1－t)＝－4(t－ )2＋1. 当t＝ ，即n＝1时，－4(t－ )2＋1有最大值1，即anSn≤1.

(3)证明：∵Sk≥ak，k∈N*，∴akSk≥ ，即 ∵数列{ }是首项为1，公比为4的等比数列， 故

1.若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等 比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝ ( ) A.4 B.2 C.－2 D.－4   1.若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等 比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝ (　　) A.4　　　　　　　　　　　　B.2 C.－2 D.－4

解析：∵a，b，c成等差，∴a＋c＝2b. 又∵a＋c＋3b＝10，∴b＝2. ∴ 由①②知a＋ ＝4，解之得a＝－4或a＝2.由a，b，c互不相等知a＝－4. 答案：D

2.某厂在2010年底制订生产计划，要使2020年底的总产 量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为 (　　) 解析：设年平均增长率为x.则(1＋x)10＝4，∴x＝ －1. 答案：A

3.(2010·黄冈模拟)数列{an}满足a1＝ ，an＋1＝ －an＋ 1(n∈N*)，则m＝ 的整数部分是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3

解析：由题an＋1＝an(an－1)＋1，则 ⇒ ，故有m＝ ＝2－ ，由于a3＝ >2且an＋1>an，故 ∈ (0,1)，所以m∈(1,2)其整数部分是1. 答案：B

4.设x，y为正数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2， 解析：由等差数列的性质知：a1＋a2＝x＋y； 由等比数列的性质知：b1b2＝xy， 所以 ＝4，当且仅当x＝y时取等号. 答案：4

5.已知数列{an}，定义其倒均数是Vn＝ ， n∈N*.若数列{an} 的倒均数是Vn＝ ，则an＝　　.

解析：由于数列{an}的倒均数是Vn＝ ， 所以＝ ，得 当n≥2时，有 所以两式相减得 ＝n，即an＝ ，又当n＝1时， ＝1， 所以a1＝1，适合an＝ ，所以an＝ (n∈N*). 答案：

6.已知数列{an}中，a1＝ ，点(n,2an＋1－an)在直线y＝x (1)令bn＝an＋1－an－1，求证数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在 实数λ，使得数列为 等差数列？若存在，试 求出λ；若不存在，请说明理由.

解：(1)证明：由已知得a1＝ ，2an＋1＝an＋n， ∴a2＝ ，a2－a1－1＝ － －1＝－ ， 又bn＝an＋1－an－1，bn＋1＝an＋2－an＋1－1， ∴ ＝ ∴{bn}是以－ 为首项，以 为公比的等比数列.

(2)由(1)知，bn＝－ × n－1＝－ × ， ∴an＋1－an－1＝－ × ，∴a2－a1－1＝－ × ， a3－a2－1＝－ × ，…，∴an－an－1－1＝－ × 将以上各式相加得： ∴an－a1－(n－1)＝－ ， ∴an＝a1＋n－1－ × ＝ ＋(n－1)－ ＋n－2.即an＝ ＋n－2.

(3)存在λ＝2，使数列 是等差数列. ∵Sn＝a1＋a2＋…an＝3 ＋(1＋2＋…＋n)－2n ＝3× －2n＝3 ＝ ＋3. Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝

数列 是等差数列的充要条件是 ＝An＋B(A、B是常数)，即Sn＋λTn＝An2＋Bn， ∴当且仅当1－ ＝0，即λ＝2时，数列 为等差数列.