第六节 无穷小的比较
一、无穷小的比较 例如, 观察各极限 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
定义:
例如，
例1 解
证 必要性 充分性
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, 常用等价无穷小:
二、等价无穷小代换 定理２(等价无穷小代换定理) 证
例３ 解 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．
例４ 解 注意 不能滥用等价无穷小代换. 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小不能分别代换.
例５ 错 解 解
三、小结 1. 无穷小的比较 2. 等价无穷小的代换: 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 1. 无穷小的比较 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶. 2. 等价无穷小的代换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件.
思考题 任何两个无穷小都可以比较吗？
思考题解答 不能． 例当 时 都是无穷小量 但 不存在且不为无穷大 故当 时
练 习 题
7. ) ( > - + a x 对于 是 _______ 阶无穷小 . 8. 无穷小 cos 1 与 mx 等价，则 ( 3 > - + a x 对于 是 _______ 阶无穷小 . 8. 无穷小 cos 1 与 n mx 等价，则 _______, m = 二、求下列各极限： sin tan lim ； 2 b e
4 . a x - tan lim
练习题答案