4- 第四章
第四章 單變量隨機變數 第四章
本章綜覽 離散隨機變數： 連續隨機變數： 其他指標 才比雪夫不等式 機率函數與累積分配函數 離散隨機變數的動差 白奴里隨機變數 機率分配與累積分配函數 連續隨機變數的動差 其他指標 才比雪夫不等式
隨機變數 隨機變數 (random variable) : 依據函數的定義，一個特定出象只能有一個實現值，不可以對應於兩個或更多的實現值。 依據隨機機制而產生不同實現值的函數。 又稱為單變量隨機變數 (univariate random variable) 。 依據函數的定義，一個特定出象只能有一個實現值，不可以對應於兩個或更多的實現值。
離散隨機變數 離散隨機變數(discrete random variable) ： 一個隨機變數的實現值若為有限多個 (finite) 或可數算但無限多個 (countably infinite) 。 例如: 投擲骰子出現的點數即為離散隨機變數，其實現值為有限多個。 例如: 在某一時段通過特定高速公路收費站的車數也是離散隨機變數，其實現值則為可數算的。
機率函數 X 代表一個離散的隨機變數，其值為 b1，b2，…。 定義 X 的機率函數 fx 為 fX(bi ) = P({：X( ) = bi })， i = 1,2,3… 而在其他值時 fx 為 0 。 機率函數能夠描述 X 各種實現值以及各種事件的可能性，所以代表 X 的隨機機制。 fx 必滿足以下兩個性質:
累積分配函數 累積分配函數 (cumulative distribution function) ：隨機變數 X 的是由實數線 R 映射到 [0 1] 的函數，其函數值為 FX(a) = P({：X( ) a}) 離散隨機變數之機率函數累加後可得到累積分配函數。又稱為離散分配函數(discrete distribution function) 。 累積分配函數也可視為隨機機制的代表。 累積分配函數具有非遞減的性質。 離散分配函數 FX 為階梯函數 (step function) ，且在 X 可能出現的數值 b1,b2…..之上會產生跳躍 (jump) 。跳躍的幅度即為對應的機率值。
離散隨機變數的動差 -- 期望值 隨機變數的動差 (moment) 刻劃了隨機變數的部份特性 (如位置與變動幅度等)。這些動差皆為實數，是隨機變數性質的指標。 令 fX 代表離散隨機變數 X 的機率函數，E 代表期望運算子(expectation operator) 。 E(X) 稱為 X 的均數 (mean) 或期望值 (expected value) ，其計算方式如下: 期望值是隨機變數所有可能實現值的加權平均 (weighted average)，權數就是各實現值的機率。 期望值是一個實數，不具有任何隨機性。
離散隨機變數的動差 -- 期望值 E (aX+b) = a E(X) + b 期望值的線性性質：對任意的實數 a 和 b, 當隨機變數發生位置變動或比例變動時，期望值都會發生對應的改變。 線性函數與期望運算子的運算次序可以互換。 非線性函數與期望運算子的運算次序不可互換。
離散隨機變數的動差 -- 變異數 離散隨機變數 X2 的期望值為 X 所有可能的實現值 bi 平方後的加權平均: E(X2) 又稱為 X 的第二階動差 (second moment): 描述隨機變 數實現值的變異性 (variability) 或變動程度。 第二階動差缺點: 會依隨機變數的位置改變而變動。為了避免此缺點，一般採用 X – E(X) 的第二階動差來衡量隨機變數的變異性： 此動差又稱為第二階中央動差 (second central moment) 或變異數 (variance), 簡記為 var(X) 。
隨機變數的變異數也可以由它自己的前兩階動差求算出來： var(X) =E[X – E(X)]2 = E(X2) [E(X)]2 離散隨機變數的動差 -- 變異數 第二階中央動差: 描述 X 的實現值相對於其均數的變動程度，故為變異性指標。 此指標不受隨機變數均數所影響，故可用來比較不同隨機變數的變動程度。 隨機變數的變異數也可以由它自己的前兩階動差求算出來： var(X) =E[X – E(X)]2 = E(X2) [E(X)]2 變異數的平方根稱為標準差 (standard deviation) 。 令 X 為隨機變數。對任意的實數 a 和 b ， var(aX+b) = var(aX) = a2 var(X) 變異數不受位置改變影響，但會受比例變動的影響。
離散隨機變數的動差 -- 變異數 隨機變數的標準化 (standardization): 將隨機變數減掉其均數後再除以其標準差的準換方式。 對任一隨機變數 X ，令 代表其期望值與變異數。則標準化的變數 的均數必為 0， 變異數必為 1 。
離散隨機變數 -- 實例 考慮兩個隨機變數 X1 與 X2 。它們的機率如下： P({X1 = -2}) = P({X1 = 2}) = 0.5, P({X2 = -2}) = P({X2 = 4}) = 0.5. 此時， E(X1) = (-2)(0.5) + (2)(0.5) = 0, E(X2) = (-2)(0.5) + (4)(0.5) = 1. E(X12) = (-2)2(0.5) + (4)2(0.5) = 10, E(X22) = (-2)2(0.5) + (2)2(0.5) = 4 . var(X1 ) = E(X12) – E(X1) 2 = 4 , var(X2 ) = E(X22) – E(X2) 2 = 9 .
離散隨機變數 -- 實例 若 X3=X1 + 2，則 E(X3) = (0)(0.5) + (4)(0.5) = 2, E(X32)=8 var(X3 )= E(X32) – [E(X3)]2 = 4 .
白奴里隨機變數 白奴里試驗 (Bernoulli experiment): 隨機試驗只有兩個出象。 例如：拋擲銅板或是品質管制。 白奴里隨機變數 (Bernoulli random variable) X 為： X = 1, 當出象為「成功」, X = 0, 當出象為「失敗」.
白奴里隨機變數 令 p 代表 P({ X=1 }), 則白奴里隨機變數的機率函數為： fX(b ; p) = P({ X = b }) = pb (1 p)(1b)，b = 0,1 fX 的值決定於參數 (parameter) p，而 p 值的大小則決定了 {X=1} 這個事件發生的機會。 E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p. var(X) = (1 p)2 p + p2 (1 p) = p(1 – p) 標準化的白奴里隨機變數為:
連續隨機變數 連續隨機變數 (continuous random variable ) 或稱具有連續分配函數 (continuous distribution function) 的隨機變數: 隨機變數 X 的累積分配函數 FX 是連續函數 (continuous function)，而且除了最多在有限多個點之外也是可微的(differentiable) 。 當 X 為連續隨機變數時，對任何一個實數 a ，P({X=a})=0 。即 X 對於任一特定值 a 的機率必定為 0 。 當 X 為連續隨機變數時，FX可表示為 FX (a) = a- fX(b) db 。 其中 fX 為 FX 的導函數，又稱作機率密度函數。 fX 與橫軸所夾的面積即為 FX (a) 。連續隨機變數的累積分配函數和機率密度函數都代表其隨機機制。
連續隨機變數 當 X 為連續隨機變數， fX (a) 和 P({X=a}) 是不一樣的；後者不一定為 0，而前者必然等於 0。 一個連續隨機變數必然具有不可數算的數值，反之卻未必成立。
連續隨機變數的動差 連續隨機變數和離散隨機變數的動差，兩者意義相同，但是計算方式不同。 令 fx 代表機率密度函數。X 的均數(期望值)為 離散隨機變數的動差: 以機率為權數的加總。 連續隨機變數的動差: 以機率密度函數為加權函數。 令 fx 代表機率密度函數。X 的均數(期望值)為 E(X)為 X 所有可能數值的加權平均，但此處是以機率密度函數為加權函數。 X 的變異數為第二階中央動差：
連續隨機變數的動差 位置變動與比例變動對連續隨機變數均數與變異數的影響依舊適用，而前已討論過的期望運算子的性質，在此也同樣成立。 計算隨機變數的期望值時不一定會得到有限的數值。 若 E(X) 為無窮大，則我們說 E(X) 不存在，或說 X 並無有限的均數。 有些隨機變數雖然有某些低階動差(如變異數) ，但是高階動差則不存在。
連續隨機變數—實例 從區間 [r,s] 中隨機抽取一點所形成的隨機變數，其機率密度函數為： 累積分配函數： 均數: 變異數:
其他指標 令 q 為介於 0 和 1 之間的實數。累積分配函數 Fx 的 q 分位數(quantile) 為能滿足 的最小 d 值；以 dq 表示 q 分位數，即 由於 q 分位數可以對分配函數做無窮細分，所以較適合用來描述連續分配函數。 令 d* 為連續隨機變數的中位數，則 d* 必使下式成立： 眾數是機率密度函數最高的點所對應的隨機變數實現值。一個分配可能不只一個眾數，也可能沒有眾數。
才比雪夫不等式 若隨機變數 X 具有有限的變異數，則對所有的實數 c > 0， P({|X E(X)| c}) var(X)/c2. 例如：取 k = 2，則至少有 3/4 = 75% 的機率會落在距期望值兩個標準差之內。 例如：取 k = 3，則至少有 8/9 = 88.9% 的機率會落在距期望值三個標準差之內。