第八章 高程測量之誤差傳播 8.1 序言 8.2 直接水準測量之系統誤差 8.3 直接水準測量之偶然誤差 8.4 三角高程測量之誤差傳播 問題

8.1序言 求算點與點間高程差時，直接水準與三角高程測量為最常用的兩種方法，這兩種方法都含有系統誤差與偶然誤差，主要的系統誤差包含地球曲率差、大氣折光差與儀器校正不完整差等；這些系統誤差之影響可利用下述作業程序降低，為了計算，也可將之模式化與改正。直接水準與三角高程測量的偶然誤差常發生於儀器之定平、距離之量測與讀定標尺等。這些都應根據偶然誤差理論來探討。

8.2 直接水準測量之系統誤差 在直接水準測量作業時，視距之長度受限制，也應使前後視距離近似等長，以減低系統誤差之效應，但仍應假設這些誤差依然存在，亦應改正觀測值，以降低誤差之影響，詳如各項下述程序。 8.2.1 視準誤差 若儀器視準線非真正水平時，即產生視準誤差，前後視距離保持相等時，可將視準誤差減至最小。視準誤差如圖8.1所示，任一次擺 設儀器，因視準誤差引致 之高程差誤差為： eC=D1α- D2α (8.1) 式中，D1、D2分別為後視、 前視距離，α為視準誤差，

α的單位為弧度量。應用(8.1)式，整個水準線之視準誤差為：eC=α[(D1- D2)+(D3- D4)+ +(Dn-1- Dn)] (8.2) 式中，D1, D3 ,…,Dn-1 為後視距離，D2, D4 ,…,Dn為前視距離，後視距離與前視距離各自聚集整理得： eC=α(DBS - DFS) (8.3)後視距離和與前視距離和不等時，視準誤差可由式(8.3) 求得，再將觀測之高差減去誤差，可求得改正值。 例8.1 某水準儀之視準誤差為0.04mm/m，應用來測量水準線，後視距離和為863m，前視距離和為932m，若水準線之高差為22.8654m，改正後高差應為若干？ 解：利用(8.3)式，視準誤差為： eC=0.00004(863-932)m =-0.0028m，故改正後高差 為： 22.8654-(-0.0028)=22.8682m

8.2.2 地球曲率與大氣折光差 水準線與儀器之視準線非同一直線，水準線離儀器之後，即呈彎曲向下，因此標尺讀數偏高；此外，因受大氣折光影響，視準線離儀器之後，呈彎曲向下，故標尺讀數偏低；合併兩項誤差，標尺讀數偏高量為： 式中，hCR為尺讀數因兩差引致之誤差，D為各次擺站之視準距離(單位為m)。 若能維持後視距離與前視距離相等，每次設站因兩差引致之誤差可降至最小，否則，宜引用下式求誤差： 式中，eCR為因兩差引致之誤差 (單位為m)，任一次設站，若前後視距離不等，應將測得高差減去上式。

例8.2 山坡上兩點高差測得為：1.256m，若後視距離為100m，前視距離僅有20m，高差之誤差為若干？改正之高差又為若干？ 解：將距離代入(8.6)式，得高差之誤差： eCR=(1002-202)×0.0675/10002 =0.0006m， 改正之高差為： 1.256-0.0006=1.255m 對整個水準線而言，兩差合併影響為： eCR=(D12- D22+D32- D42+)×0.0675/10002 (8.7) 整理得： 若視線經由較低大氣層時，因氣溫垂直梯度引起之折光差會較大，沿著視線去量測溫度又非成本可負擔，故視線通常至少離地0.5m以上，因此可免求算較低大氣層溫度之模式。

8.3 直接水準測量之偶然誤差 8.2.3 高差系統誤差之合併效應 如圖8.1所示，合併(8.1)與 (8.5)式，每次設站改正之高差為： 式中，r1為後視尺讀數，r2為前視尺讀數，其各項如前定義。 8.3 直接水準測量之偶然誤差 直接水準測量有數項隨機誤差來源，包含儀器定平誤差與讀尺誤差等。誤差之大小受大氣條件、望遠鏡光學品質、水準氣泡或補償器之靈敏度、標尺刻畫等影響，如下數小節所分述。

8.3.1 讀數誤差 讀尺之估計誤差可以每單位視線長讀尺時之標準誤差比率表示，譬如：假設觀測者每100m可讀尺至±0.005m，則r/D=±0.00005；因此，每次觀測視距D之讀尺誤差可預估為： r = Dr/D (8.10) 式中，r/D為每單位視距長讀尺之估計誤差，D為視距長。 8.3.2 儀器定平誤差 不論自動補償器或水準氣泡，儀器常備有關定平估計誤差之技術資料；譬如精密水準儀，技術資料列有一段固定距離若干高程估計誤差，如載為±1.5mm/km，以弧秒表示，則載為±(1.5/1×106)×"=±0.3"。通常精密水準儀之補償器或設定精度約±0.3"，較差之水準儀，精度有可能達±10"。

8.3.3 標尺扶直誤差 標尺若未扶直，將使尺讀數偏高，在水準網測量時，這項誤差為隨機出現，若將之模式化，如圖8.2所示，尺未扶直引致之讀尺差約為：eLS=r-r´ (8.11) 式中，r為尺傾斜時讀數，r´為尺直立時應有讀數，如圖，d為尺傾斜在水平方向位移量， d之大小與標尺定平氣泡居中誤差及讀數位置有關，若氣泡偏移角，則 r´=rcos (8.12) 將(8.12)式代入 (8.11)式，得： eLS=r(1-cos) (8.13)

例8.3 假設標尺水準氣泡偏移水平約±1´，尺讀數為3m， 則尺讀數之估計誤差為： eLS=r(1-cos1´)=0.000000127m=0.0001mm 因為每次照準尺時都有可能發生這種誤差，後視誤差可與前視誤差抵銷，故誤差之合併影響如下式： eLS=r1(1-cos)-r2(1-cos)+r3(1-cos)-r4(1-cos)+ =(1-cos)(r1-r2+r3-r4+) (8.15) 上式最後括弧項為整個水準線之高差，故可改寫： eLS=Elev(1-cos) (8.16)例8.4 假設標尺水準氣泡維持偏移±1´，水準線之高 差為22.8654m，則高差之誤差為： eLS=22.8654×(1-cos1´) =0.001mm 若小心扶持標尺，通常這類誤差很小，甚至可以忽略。

8.3.4 直接水準測量的估計誤差 直接水準測量的主要誤差來源有：讀尺誤差與儀器定平誤差；視準軸誤差與兩差應考慮為系統誤差，若使前後視距離等長，可互相抵銷。但無論用那一種量距方法，視距必存在隨機誤差，測量所得高差也會因兩差與儀器視準軸誤差之效應，仍存有隨機誤差。故可引用(5.16)式至(8.9)式，以模式化讀尺、儀器定平與視距長等隨機誤差之影響。為模式化，先求下列偏導數： 將(8.17)式與其對應之標準誤差代入(5.16)式，則單一高差之標準誤差可估計為：

式中，r/D為讀尺估計誤差，α1與α2分別為後視與前視之視準誤差，D1與D2分別為後視與前視之視距誤差。正常直接水準測量時，D1=D2=D，又假設距離之估計誤差相等，或D1=D2=D，另假設前後視之視準估計誤差相等，或α1=α2=α。則(8.18)式可簡化成： 若前後視距離維持相等，(8.19)式適用於單一次高差，一般而論，對設站N次之水準線，仍維持前後視距離相等，則高差之整體估計誤差為：

上式中，通常因兩差與視準誤差引致之高差誤差非常小，最後一項可忽略後，直接水準測量之標準誤差公式可簡化為： 例8.5 某水準線自水準點A測至水準點B，讀尺估計誤差為±0.01mm/m，儀器定平維持在±2.0"，視準檢驗發現儀器每100m差在4mm內，每50m視距也約有±2m差， A至B水準線長1000m，A與B高差之估計誤差為若干？假設A點高程為212.345±0.005m，B點高程之誤差為若干？ 解：設站次數為：N=1000/(2×50)=10，相關數值代入(8.20)式，得：

分析上式各項，除非是精密水準測量，根號內最後項中，因前後視距差引致之誤差通常小至可忽略，故可應用(8.21)式解此問題： 由上可見：應用(8.20)式或(8.21)式所得相同，應用(5.18)式，B點高程之誤差為：

8.4 三角高程測量之誤差傳播 引進全測站儀器之後，利用三角高程測量方式量測高差已日漸方便，但是這種作業中，因前後視距離無法維持相等，故應設法去除兩差與儀器視準軸差引致之系統誤差，如圖8.3所示，兩點間高差之改正高差為： h = hi + hCR + Ssinv – hr (8.22) 若觀測為天頂距，則為： h = hi + hCR + Scosz – hr (8.23) 式中，hi為儀器離地面高，S為兩點斜距，v或z分別為儀器與稜鏡間之垂直角或天頂距， hCR為兩差改正，如式(8.4)所示， hr為稜鏡高。

將兩差改正式代入(8.23)式，得： h = hi + 0.0675(Ssinz/1000)2 + Scosz – hr (8.24)若推導(8.24)式之誤差傳播式，則需考慮儀器高誤差、覘標高誤差，另需考慮如第六章所討論之定平誤差、照準誤差、讀數誤差與斜距S之誤差等。將(5.16)式引用至(8.24)式，需先推得下列偏導數： 將上列偏導數與觀測之標準誤差代入(5.16)式，得三角高程測量之整體誤差為：

上式中，天頂距有數項誤差來源，如：照準誤差、讀數誤差、垂直補償器精度或垂直度盤氣泡居中程度、補償器或垂直度盤氣泡之靈敏度等。為求最佳成果，應正倒鏡觀測天頂距，並求其平均值；利用(6.4)與(6.6)式，經緯儀正倒鏡觀測之天頂距估計誤差為： 式中，r為度盤讀數誤差，p為照準誤差， B為垂直補償器或垂直度盤氣泡之定平誤差， N為正倒鏡觀測天頂距次數。

若利用數值經緯儀或全測站儀器，則(8.26a)應改為： 式中，DIN為儀器之DIN18723值，其餘如前所述。 若僅觀測一個天頂距(僅一個倒鏡)，二式應分別改為： 斜距S之估計誤差應類似(6.36)式求得：

例8. 6 某全測站儀器之垂直補償器精度約±0. 3"，數值讀數精度±5"，距離觀測精度±(5mm+5ppm)，斜距量得為383 例8.6 某全測站儀器之垂直補償器精度約±0.3"，數值讀數精度±5"，距離觀測精度±(5mm+5ppm)，斜距量得為383.067m，儀器定心誤差±0.002mm，覘標定心誤差±0.003mm ，儀器高為1.561m ±0.003mm，覘標高為2.067m ±0.003mm，僅觀測一次天頂距：88º13´15"，改正後高差與其估計誤差如何？ 解：利用(8.24)式，得： h=1.561+ 0.0675(383.067sin 88º13´15" /1000)2 + 383.067cos 88º13´15" – 2.067=11.397m 利用(8.27a)式，天頂距估計誤差為： 利用(6.36)式，距離之估計誤差為：

各項數值代入(8.25)式，得高差之估計誤差為： 由上例可見：因距離誤差(±0.000186m)引致之高差誤差小至可忽略，但因天頂距誤差(±0.013m)引致之高差誤差為最大，探究原因，因未採正倒鏡觀測天頂距，不能補償之系統誤差傳播至最後計算之高程誤差內。舉例來說：若垂直度盤指標差為10"，若採正倒鏡觀測，此項誤差之影響可互相抵銷，若僅倒鏡觀測一次，因指標差引致之系統誤差將達：382.881×sin10"=0.019m ；由此可見：在利用三角高程測量方法時，應盡可能正倒鏡觀測天頂距或垂直角。

問題 第8.3、8.5、8.7、8.8題，各題中單位更改為公制。檔名：Adjlab8_姓名.doc，請標明原題號。