第3章 多维随机向量及其分布 3.1 随机向量及其联合分布函数 3.2 二维离散型随机向量 3.3 二维连续型随机向量 第3章 多维随机向量及其分布 3.1 随机向量及其联合分布函数 3.2 二维离散型随机向量 3.3 二维连续型随机向量 3.4 条件分布与随机向量的独立性 3.5 两个随机向量函数的分布

3.1 随机向量及其联合分布函数 一、多维随机向量 二、联合分布函数及其性质 三、边缘分布函数

实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量. 实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W ). 说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.

一、多维随机向量 定义 以后除非特别声明，一般只讨论二维随机向量

二、联合分布函数的性质

二元分布函数的几何意义

联合分布函数的基本性质：

y (x1 , y2) (x2 , y2) y2 (X, Y ) y1 (x2 , y1) (x1 , y1) o x x1 x2

证明

x+ y = 1 例1 设 讨论F (x, y)能否成为二维随机变量的分布函数？ 解: x y • (0,2) • (2,2) • (0,0) • (2,0) x+ y = 1 故F(x, y)不能作为某二维 随机变量的分布函数.

注意: 对于二维 随机变量（X,Y） (+,+) (a,+) x y c (a,c) (+,c) a

三、边缘分布函数 边缘分布函数也称为边际分布函数或边沿分布函数

联合分布函数 边缘分布函数； 反之不真. x y x 反之

例2 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为 其中A , B , C 为常数. 确定A , B , C ； 求X 和Y 的边缘分布函数； 求概率P (X > 2); 求概率P (X > 2,Y>2)。 2019年5月3日6时13分

确定A , B , C ； 解 (1) 2019年5月3日6时13分

（2）求X 和Y 的边缘分布函数； 解(2) 2019年5月3日6时13分

解(3)

作业 P57练习3.1 1

3.2 二维离散型随机向量 一、联合分布列 二、边际分布列

定义 若随机变量X和Y的所有可能取值为有限个或可列个，则称(X,Y)为二维离散型随机向量.

一、二维离散型随机向量 联合概率函数的表格形式，称为(X,Y)的联合分布律或联合分布列 二维离散型随机向量的联合概率函数具有下列性质: 二维离散型随机向量的联合分布函数为

例1 一袋中装有2只白球和3只黑球,进行有放回取球 若进行不放回取球

例2 一袋中装有4只球,依次标有号码1,2,2,3,从袋中有放回取球两次,X,Y分别表示两次取得球上的号码,则(X,Y)的联合概率分布为 思考 将本例中有放回取球改为不放回取球,结果会如何?

二、边缘分布列

例3 在本节例1.中 若进行放回取球 若进行不放回取球

的求法 (1) 利用古典概型直接求。 (2) 利用乘法公式 2019年5月3日6时13分

联合分布律表略。 例1 设随机变量Y~N(0，1),令 解: (X1,X2)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1) P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2) =P(|Y|≥2) =1 ﹣ P(|Y|<2) =2 ﹣ 2Φ(2)=0.0455 P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|<2) =P(1≤|Y|<2) =0.2719 P(X1=1,X2=0)=P(|Y|<1,|Y|≥2) =0 P(X1=1,X2=1)=P(|Y|<1,|Y|<2) =P(|Y|<1) =0.6826 联合分布律表略。

作业 P61练习3.2 2

3.3 二维连续型随机向量 一、联合密度函数 二、边缘密度函数 三、两个常用的分布

一、联合密度函数 定义

二维随机向量的联合密度函数具有以下性质

例1 解 由密度函数性质,有

例2 解

(2)

二、边缘密度函数 定义

同理可得 Y 的边缘分布函数 Y 的边缘概率密度.

边缘密度函数为 例2 求随机向量(X,Y)的边缘分布函数和边缘密度函数，已知其联合分布函数为 解 边缘分布函数分别为

例3 设(X,Y)的概率密度是 求( X,Y )关于 X 和 Y 的边缘概率密度. 解 暂时固定 当 时, 当 时, 故 暂时固定

暂时固定 当 时, 当 时, 故 暂时固定

例4 设 随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 其中k 为常数.求: 常数 k ; P ( X + Y  1) ； 边缘概率密度 ； 联合分布函数F (x,y)。

解: 令 (1) y = x 1 x y D 2019年5月3日6时13分

y = x 1 x y (2) x+y=1 y = x 1 x y x+y=1 0.5 2019年5月3日6时13分

(3) y=x 1 x y 2019年5月3日6时13分

有六个区域 y = x 1 x y D 2019年5月3日6时13分

v v=u 1 u (4) 1 ①当x<0 或 y<0 时, F(x,y) = 0 u v ②当0 x< 1, 0 y< x 时， 1 ③当0 x<1, x y<1时， 2019年5月3日6时13分

④当0  x <1, y  1时， v=u 1 u v 2019年5月3日6时13分

⑤当x  1, 0  y < 1时， v=u 1 u v ⑥当 x  1, y  1 时， 2019年5月3日6时13分

0, x < 0 或 y < 0 y4 , 0  x <1, 0  y < x F (x,y) = 0, x < 0 或 y < 0 y4 , 0  x <1, 0  y < x 2x2y2–y4, 0  x <1, x  y <1 2x2–x4 , 0  x <1, y  1 y4 , x  1, 0  y < 1 1, x  1, y  1 2019年5月3日6时13分

三、两个常用的分布 1.二维均匀分布 设G是平面上的有界区域, 其面积为μ(G).若二维随机变量(X, Y)具有概率密度 则称(X, Y)在G上服从均匀分布.

向平面上有界区域G上任投一质点, 若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比, 而与B的形状及位置无关 向平面上有界区域G上任投一质点, 若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比, 而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标( X, Y)在G上服从均匀分布.

若G1是G 内面积为A1的子区域, 则 即: 此概率仅与G1的面积有关(成正比), 而与G1在G内的位置无关.

2.二维正态分布 若二维随机向量 ( X,Y ) 具有概率密度

二维正态分布的图形

例5

解 由于 于是

则有 即 同理可得 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,

性质 二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布. 由此性质看到, (X, Y)的边缘分布都与无关, 说明不同, 得到的二维正态分布也不同, 但其边缘分布相同. 因此边缘分布是不能唯一确定联合分布的, 即使X, Y都是服从正态分布的随机变量, (X, Y)不一定是服从二维正态分布. （下面举例验证） 2019年5月3日6时13分

2019年5月3日6时13分

分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形. 事实上, 对n维随机变量(X1, X2, … , Xn), 2019年5月3日6时13分 分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形. 事实上, 对n维随机变量(X1, X2, … , Xn), 称为的n维随机变量(X1, X2, … , Xn)的分布函数, 或随机变量X1, X2, …, Xn的联合分布函数.

作业 P67练习3.3 2, 5

一维随机变量与二维随机向量的比较 一维随机变量 二维随机向量 F(x,y) 关于x,y右连续 X x x F(x) 右连续

一维离散型随机变量 二维离散型随机向量

一维离散型随机变量 二维离散型随机向量 两点分布 二项分布 X ~ B(n, p) 泊松分布

一维连续型随机变量 二维连续型随机向量

3.3 条件分布与随机变量的独立性 一、离散型随机变量的条件分布律 二、连续型随机变量的条件概率密度 三、随机变量的独立性

在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 . 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率 推广到随机变量 设有两个随机变量 X,Y， 在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布. 这个分布就是条件分布.

一、离散型随机变量的条件分布律

类似乘法公式，有 类似全概率公式，有

2019年5月3日6时13分 例1 把三个球等可能地放入编号为 1, 2, 3 的三个盒子中, 每盒可容球数无限制（独立重复） . 记 X 为落入 1 号盒的球数, Y 为落入 2 号盒的球数，求： (1) 在Y = 0 的条件下，X 的分布律； (2) 在 X = 2 的条件下，Y 的分布律. 解 先求联合分布律， 其联合分布律与边缘分布律如下表所示：

Y X pij pi• 0 1 2 3 1 2 3 p•j 1

(1) 将表中第一列数据代入得条件分布，得 X 0 1 2 3

(2) 当 X = 2 时，Y 只可能取 0 与 1. 将表中第三行数据代入下式 得Y 的条件分布 Y 0 1

二、连续型随机变量的条件概率密度 当X 连续时, 条件分布不能用 来定义, 因为 , 而应该用 来定义.

设 y ﹣ y y x y

x y -y y

定义 称 为 Y = y 的条件下 X 的条件分布函数； 称 为 Y = y 的条件下 X 的条件概率密度。

例3 设 求 y = x 1 解

y = x 1 y = x 1 当0 < y < 1 时， y x 当0 < x < 1 时，

三、 随机变量的独立性 在多维随机向量中，各分量之间有的相互影响，有的毫无关系。譬如在研究父子身高时，父亲的身高Y往往会影响儿子的身高X.假如让父子各掷一个骰子，出现的点数Y1与X1之间就看不出任何关系.这种相互之间没有任何影响的随机变量称为相互独立的随机变量.

1.定义

2.说明 (1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为

y 例1 设(X, Y)的概率密度为 问X和Y是否独立? x 解： x>0 即： 对一切x, y, 均有： 故X,Y 独立 对一切x, y, 均有： 故X,Y 独立 x 解： x>0 y >0 即： 2019年5月3日6时13分

1 x y 若(X, Y)的概率密度为 (1,1) 1 情况又怎样? x 解： 0<x<1 0<y<1 x x 解： 0<x<1 0<y<1 故X和Y不独立. 2019年5月3日6时13分

例2 设随机向量(X,Y)的联合密度函数为： 判断X与Y是否独立。 y = x 1 解： 2019年5月3日6时13分

y = x 1 2019年5月3日6时13分

例3 解 由于X 与Y 相互独立, 2019年5月3日6时13分

例4. 设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为 其中参数 ,这个分布称为二维指数分布,试讨 论X和Y的独立性. 解: 由已知可得边缘分布函数 2019年5月3日6时13分

2019年5月3日6时13分

D 例5 设(X,Y)在圆域D={(x, y)| x2+y2r 2}上服从均匀分布。(1) 判断X与Y是否相互独立. 解 (1) 解 (1) x2+y2=r 2 D 2019年5月3日6时13分

x2+y2=r 2 2019年5月3日6时13分

x2+y2=r 2 2019年5月3日6时13分

(2) x2+y2=r 2 2019年5月3日6时13分

例6 设随机变量X和Y相互独立,试将下表补充完整. Xx1 x2 Y y1 y2 y3 1/8 1/6 1 1/24 1/12 1/4 3/8 1/4 3/4 1/2 1/3 2019年5月3日6时13分

例7 解（1） 2019年5月3日6时13分

（2）由于 所以X,Y不相互独立 2019年5月3日6时13分

相互独立 命题 证 对任何 x,y 有 取 故 2019年5月3日6时13分

将 代入 即得 2019年5月3日6时13分

若两随机变量相互独立,且又有相同 ﹣ 1 0.25 0.25 1 0.25 0.25 注意 的分布, 不能说这两个随机变量相等. 如 Y P ﹣ 1 1 0.5 0.5 X P ﹣ 1 1 0.5 0.5 X ,Y 相互独立，则 由左表易得 ： Y ﹣ 1 1 ﹣ 1 1 0.25 0.25 X pij 0.25 0.25 故不能说 X = Y . 2019年5月3日6时13分

设 X ,Y 为相互独立的 随机变量 u(x),v(y) 判断独立的一个重要命题 设 X ,Y 为相互独立的 随机变量 u(x),v(y) 为连续函数, 则 U=u ( X ) , V=v (Y ) 也相互独立. 独立 随机变量的连续函数仍独立. 2019年5月3日6时13分

随机变量相互独立的概念可以推广到n维随机变量 由命题知 若 X ,Y 为相互独立的 随机变量 则aX + b, cY + d 也相互独立； X 2, Y 2 也相互独立； 随机变量相互独立的概念可以推广到n维随机变量 若 则称 随机变量X 1, X 2 , , X n 相互独立 2019年5月3日6时13分