上讲回顾 晶体的宏观对称性的描述： —— 对称操作 (旋转、反演)：使物体自身重合的几何操作。 数学上可用正交变换表达 物体的对称操作越多，其对称性越高 —— 对称素 (一个物体的旋转轴、旋转－反演轴) 任何晶体的宏观对称性只能有以下10种对称素： 晶面 中心反演 晶体中可以独立存在8个对称元素：

点对称操作加上平移操作构成空间群。全部晶体构有230种空间群，即有230种对称类型。 对称操作群：一个物体的全部对称操作的集合 封闭性、单位元素、逆元素、结合律 点群 —— 由晶体的点对称操作(旋转、中心反演、镜面和 旋转-反演)构成的群 —— 在晶体的10种对称操作素的基础上构成的群 理论证明: 10种对称素只能组成32种不同的点群 —— 晶体的宏观对称只有32个不同类型 空间群 —— 晶格全部对称操作 (平移、旋转) 的集合 点对称操作加上平移操作构成空间群。全部晶体构有230种空间群，即有230种对称类型。

§1.6 晶格的对称性 —— 32种点群描述的晶体对称性 —— 对应的布拉伐格子只有14种 —— 分为7个晶系 (晶体学原胞是按照晶系确定的) —— 晶体学原胞的三个基矢 沿晶体的对称轴或 对称面的法向，在一般情况下，它们构成斜坐标系 三个晶轴之间的夹角

14种布拉伐单胞 1) 简单三斜 β α γ

2) 简单单斜 3) 底心单斜 α α

4) 简单正交 5) 底心正交 6) 体心正交 7) 面心正交

8) 三角 γ α β

9) 简单四方（四角） 10) 体心四方（四角）

11) 六角

12) 简单立方 13) 体心立方 14) 面心立方

七大晶系的布拉伐格子、晶胞和所属点群 晶系 单胞基矢的特性 布拉伐 格子 所属点群 三斜晶系 简单三斜 单斜晶系 简单单斜底心单斜

正交晶系 简单正交 底心正交 体心正交 面心正交 三角晶系 三角

四方晶系 简单四方 体心四方 六角晶系 六 角 立方晶系 简单立方 体心立方 面心立方

为什么没有底心立方和底心四方布拉伐格子？

7大晶系的形成和转化

二维晶格的点群表示 晶格周期性在Z轴方向受到限制，二维晶格的对称素只有6个 垂直于表面的n重转轴 —— 5个 垂直于表面的镜面反演m —— 1个 为什么没有中心反演？ n = 2 —— 由6种对称素可以组成10种二维点群， 按照点群对基矢的要求划分，二维格子有4个晶系， 5种布拉伐格子

二维晶格的晶系和布拉伐格子 晶系 轴和角度 布拉伐格子 斜方 简单斜方 长方 简单长方 中心长方 正方 简单正方 六角 简单六方

物体的物理性质，常通过两个可观测物理量间的关系来表征 § 1.7 晶体物理性质的对称性 Neumann定理：晶体的宏观性质一定具有(大于或等于) 它所属点群的一切对称性 物体的物理性质，常通过两个可观测物理量间的关系来表征 张量表示 即： 介电常数 —— 二阶张量

对立方晶体： 晶体对称性导致介电常数张量为： 电位移 立方晶体介电常数看作一个简单的标量

六角对称晶体: 将坐标轴取在六角轴和垂直于六角轴的平面内 六角晶体对称性导致介电常数张量具有如下形式：

电位移 平行轴（六角轴）的分量 垂直于六角轴平面的分量 —— 由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象 —— 立方晶体的光学性质则是各向同性的

三维情况下，几何操作(正交变换)的表示： 概括晶体物理性质对称性的方法： ——考察晶体在正交变换下的不变性 三维情况下，几何操作(正交变换)的表示： 经过某一几何操作，把晶体中任一点 变为 可以用正交变换来表示。 操作前后，两点间的距离保持不变 —— 矩阵A是正交矩阵 A为正交矩阵，其矩阵行列式

—— 不动操作的正交矩阵 —— 中心反演的正交矩阵 —— z=0的晶面反射的正交矩阵 空间转动，矩阵行列式等于＋1 空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－1

绕z轴转角的正交矩阵: R 绕z轴转角的正交矩阵 ——

绕空间任意一单位向量ON = ( a , b, c) 转角的正交矩阵： 绕x轴转角的正交矩阵: 绕y轴转角的正交矩阵: 绕空间任意一单位向量ON = ( a , b, c) 转角的正交矩阵：

立方对称晶体的介电常数 证明—1 X，Y，Z轴为立方体的三个立方轴方向 假设电场沿Y轴方向

—— 此转动为对称操作，晶体转动前后没有任何差别 坐标轴不动，将晶体和电场同时 绕Y轴转动/2，D也绕Y轴转动/2 D 转动实施后 —— 电场没变 —— 此转动为对称操作，晶体转动前后没有任何差别 应有

将晶体和电场同时绕Z轴转动/2, D也绕Z轴转动/2 同理，将晶体和电场同时绕X轴转动/2

—— 再取电场方向沿[111]方向 绕[111]轴转动2/3 D 晶体经历的一个对称操作

证明—2 —— 正四面体也具有以上对称操作，正四面体晶体对于上 述结论亦然成立 —— 介电常数的论证和推导也适合于一切具有二阶张量形 式的宏观性质：如导电率、热导率……等 证明—2 对称操作前： 对称操作后：

设对称操作对应的正交变换 介电常数张量 A为对称变换:

—— 对于立方晶体，选取对称操作A为绕Z轴旋转/2 代入

选取对称操作B为绕X轴旋转/2 选取对称操作C为绕Y轴旋转/2 选取对称操作D为绕[111]轴转动2/3 代入 最后得到

三阶张量： 四阶张量： 对于n阶张量形式的物理量 在正交变换A下 A为对称操作 —— 这样可以简化n阶张量

§1.8 晶体中的衍射 1. 晶体衍射的介绍 虽然点群和空间群理论以及晶体点阵学说都是19世纪提出的，但直到1912年Laue发现了晶体X射线衍射现象之后才得以从实验上观测到晶体结构，并证实了上述理论。 普通光学显微镜受分辨率的限制，无法观测原子排列。使用X光源可提高分辨率，但至今又没有可以使X光聚焦的透镜，所以只能依靠衍射现象来间接观测晶体中的原子排列。

晶体衍射现象的重要性可以从多次获得Nobel物理学奖来说明： 1914 Laue —— 晶体X射线衍射现象 1915 Bragg父子 —— X射线晶体结构分析 1937 Davisson —— 发现电子衍射现象 1986 Binnig和Rohrer —— 扫描隧道显微镜和原子力显微镜 1994 Brockhouse和Shull —— 中子衍射技术

—— 晶格周期性特征和原子之间 的距离约为10－10m —— 晶格可以作为波的衍射光栅 —— 用相同数量级的波照射晶体，则可以产生衍射 —— X射线、电子、中子通过晶格衍射产生的花样 可以用来确定晶格常数以及晶体内部结构特征

1) X射线衍射 X射线光子 —— 高压加速了的电子撞击靶材，将靶材原子的 内层电子撞出。 内层形成空穴，外层电子跃迁回内层(能量 相差悬殊)填补空穴，而产生的一种电磁波。

X光子的能量 X光子的波长 (在晶体衍射中， 常取U—40KV) 原子间距和X射线波长具有相同的量级