第二章 特殊三角形 综合练习 (一) Hqez wjl321 制作

(一) 等腰三角形的性质与判定 1.性质 (1)：等腰三角形的两个底角相等。 (2)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 2.判定 定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 等腰三角形: 1 , 三个角都相等的三角形是等边三角形。 2 , 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 3 , 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

等腰三角形性质与判定的应用 （1）计算角的度数 　　利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。 ①已知角的度数，求其它角的度数 ②已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组） （2）证明线段或角相等

以等腰三角形为条件时的常用辅助线: 如图：若AB=AC ①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，BD=DC ②若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2，AD⊥BC ③作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC，BD=DC 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.

例题分析 例1 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。 已知：线段a、h 求作：△ABC，使AB=AC=a，高AD=h 作法： 例1 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。 分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程…… 已知：线段a、h 求作：△ABC，使AB=AC=a，高AD=h 作法： 1、作PQ⊥MN，垂足为D 2、在DM上截取DA=h 3、以点A为圆心，以a为半径作弧，交PQ于点B、C 4、连结AB、AC 则△ABC为所求的三角形。

例2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。 例题分析 例2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。 证明：∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角） ∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E ∴∠BEC=∠CDB=90° ∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90°（直角三角形两个锐角互余） ∴∠1=∠2（等角的余角相等） ∴BM=CM（等角对等边） 说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。

例3.已知：如图，∠A=90°，∠B=15°，BD=DC. 请说明AC=1/2 BD的理由. 例题分析 例3.已知：如图，∠A=90°，∠B=15°，BD=DC. 请说明AC=1/2 BD的理由. 解∵BD=DC，∠B=15° ∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边） ∴∠ADC=∠B+∠DCB=30° （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∵∠A=90° ∴AC= DC ∴AC= BD

例4.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点. 求证：△MDE是等腰三角形. 例题分析 例4.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点. 求证：△MDE是等腰三角形. 分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用△BMD≌△CME得到结果。 证明：连结CM ∵∠C=90°，BC=AC ∴∠A=∠B=45° ∵M是AB的中点 ∴CM平分∠BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合） ∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45° ∴∠B=∠MCE=∠MCB ∴CM=MB（等角对等边） 在△BDE和△CEM中 ∴△BDM≌△CEM（SAS） ∴MD=ME ∴△MDE是等腰三角形

例5.如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE， 请说明△DEF也是等边三角形的理由. 例题分析 例5.如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE， 请说明△DEF也是等边三角形的理由. 解：∵△ABC是等边三角形 ∴AC=BC，∠A=∠C ∵CE=BD ∴BC－BC=AC－CE ∴CD=AE 在△AEF和△CDE中 ∴△AEF≌△CDE（SAS） ∴EF=DE 同理可证EF=DF ∴EF=DE=DF ∴△DEF是等边三角形 说明：证明等边三角形有三种思路： ①证明三边相等 ②证明三角相等 ③证明三角形是有一个角为60°的等腰三角形。 具体问题中可利用不同的方式进行求解。

例6 .如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G 请说明DG=EG的理由. 例题分析 　例6 .如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G 请说明DG=EG的理由. 思路 因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在△GDB内作出一个与△GEC全等的三角形。 说明 本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过E作EF∥BD，交BC的延长线于F，证明△DBG≌△EFG，同学们不妨试一试。

例7. 如图2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD， AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q. 请说明BP=2PQ的理由. 例题分析 例7. 如图2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD， AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q. 请说明BP=2PQ的理由. 思路 在Rt△BPQ中，本题的结论等价于证明∠PBQ=30° 　证明 ∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD， 　　∴△BAE≌△ACD 　　∴∠ABE=∠CAD 　　∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP 　　=∠CAD+∠BAP=60° 　　又∵BQ⊥AD 　　∴∠PBQ=30° 　　∴BP=2PQ 说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。

例题分析 例8：如图、在△ABC中，D，E在 直线BC上，且AB=BC=AC=CE=BD， 求∠EAC的度数。 在直线BC上，且AB=AC=CE=BD， ∠DAE=100°，求∠EAC的度数。

练习 1. 下列结论叙述正确的个数为（ ） （ 1）等腰三角形高、中 线、角平分线重合； （ 2）等腰三角形两底角 的外角相等； 1. 下列结论叙述正确的个数为（ ） （ 1）等腰三角形高、中 线、角平分线重合； （ 2）等腰三角形两底角 的外角相等；  （ 3）等腰三角形有且只有一条对称轴； （ 4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个

2.等腰三角形顶角为36°，底角为_________。 3.等腰三角形顶角和一个底角之和为100°，则顶角度数为_____________。 4.等腰三角形两个角之比为4:1，则顶角为__________，底角为___________。 5.等腰三角形两边长为4、6，这个三角形周长为_____________。 6.已知△ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E，交AB于D，连结BE，若∠A=50°，∠EBC=__________。 7.△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC的周长为50，△ABD的周长为40，则AD=____________。 8.若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底边的夹角为_____________。

a 9. 如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个? Ｄ Ｈ ∠ 150° ⌒ Ｈ Ｏ a Ｃ Ｅ Ｆ

9.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成２：１两部分，已知三角形底边长为５，求腰长？ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 解：如图，令CD＝x，则AD＝x，AB＝2x x 2x ∵底边BC＝5 x ∴BC＋CD＝5＋x AB＋AD＝3x 5 ∴(5+x)：3x＝2:1 　或3x：(5+x)=2:1

10、如图，D是正△ABC边AC上的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，请说明BD=DE的理由. ∴ ∠ABC= ∠ACB=600 （ ） ∵ D是AC边上的中点 ∴∠1= ∠ABC=300（ ） A B C E D 2 1 ∵CE=CD ∴∠2= ∠E（ ） ∵ ∠2+ ∠E= ∠ACB=600（ ） ∴ ∠E=300， ∴ ∠1= ∠E ∴BD=DE（ ）

3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900， ∠CAB的平分线AD交BC于D，AB边上的高线CE交AB于E，交AD于F，求证：CD=CF 分析： CD=CF B A C E D ∠1=∠2 ∠1=∠B+∠BAD ∠1=90°－∠BAD 1 F ∠２=90°－∠CAD ∠2=∠3+∠DAC 2 3 ∠3=∠B ∠ACB =90°，CE是AC边上高

小结 1、等腰三角形的有关概念。 2、等腰三角形的识别。 3、应用等腰三角形的性质定理和三线合一性质解决有关问题。 4、通过习题，能总结代数法求几何角的大小、线段长度的方法。

布置作业 课本第51页(目标与评定)