高斯定律 Gauss’s Law.

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高斯定律 Gauss’s Law.
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高斯定律 Gauss’s Law

電力線在空間中數目守恆! 能不能把這守恆性質寫成一個有關電場 E 的定律? 首先必須找到辦法,將電力線數目以電場來計算: 先嘗試計算通過一個無限小的平面的電力線數目

由電力線的定義,此事並不難! 2. 電場強度與當地電力線的密度成正比! 當小平面與電場垂直: 通過此平面的電力線數目 通過當地一個垂直面的單位面積電力線數目。 2. 電場強度與當地電力線的密度成正比! 當小平面與電場垂直: 通過此平面的電力線數目 Electric Flux電通量

若表面與電場不垂直: 將平面投影於電場的垂直方向: 通過 A 的電力線必通過此投影平面 通過此投影平面的電力線數目可以算: 也是通過 A 的電力線數目。

定義面積向量 大小就是面積,方向是垂直平面的方向。 電場通量是順著 的方向通過平面的電力線數

這樣的定義下,電力線數目有可能是負的! 若電力線是逆著 的方向, 則通量 為負!

一般曲面的電通量 對一個一般曲面,可將曲面視為由許多無限小的平面組成。 通過它的電力線數,可以構成此曲面的小平面的電通量的和來算: 當小平面趨近無限小,和就變為一個積分! 面積分

封閉曲面的電通量 如果是封閉曲面(稱高斯面),空間會被分成內外兩部分, 可以定義 dA 的方向一律是由內指向外: 如此 為正時,電力線為離開曲面 為負時,電力線為進入曲面

總通量就有一個很簡單的物理意義; 電力線數目守恆

任一曲面,若其內沒有電荷:

若曲面內有電荷: 電力線不能中斷,只能由正電荷發出,由負電荷吸收! 包圍一個電荷的高斯面的電通量不為零 而且,因總電力線數不變,故電通量與高斯面大小無關

由一個點電荷發出的電力線總數,可以選一個封閉球面來算電通量: 由一個點電荷發出的電力線總數與球半徑無關

因為電力線守恆,通過任何包圍 q 的高斯面的電通量與通過球高斯面的電通量相等:

反過來說,一個電荷對電通量的貢獻,只和它是否位於曲面內有關,而與它的具體位置無關 位於曲面外的電荷,對曲面處的電場有貢獻,但對該曲面的電場通量沒有影響

負電荷周圍電力線是入射的,電通量為負 正電荷發出的電力線可以消失於負電荷 曲面內的負電荷會減少電通量!

高斯定律 一個封閉曲面的電場通量,正比於曲面所包圍的總電量

電通量的計算 電場垂直於表面,通量為電場乘上面積 電場平行於表面,通量為零!

電通量等於垂直於平面的電場分量乘上面積 以右方的平面為例: 左方的平面

帶電平面板 電場垂直於平面 選擇一個上下對稱圓柱高斯面 電場是均勻的

兩片等電荷密度之平行帶電板 兩片電板間的電場是均勻電場 電板外電場為零

均勻的帶電棒(軸對稱):

均勻的帶電球(球對稱): 電荷分布以外 電場如同所有電荷集中在球心的點電荷 平方反比是三度空間的性質 電荷分布以內

電場越來越有個性, 本身越來越像就是物理實體

高斯定律就是下述性質的數學表示: 電力線是不間斷的,只能在正電荷產生,在負電荷消失。 高斯定律描述的電場形狀:放射狀 這與庫倫定律是一致的。

高斯定律可以取代庫倫定律嗎? 放射狀的電力線 想像電力線是一條一條的封閉曲線(不一定是圓) 我們把它們稱為漩渦狀的電力線 這樣的漩渦狀電力線,它的電場通量永遠為零! 高斯定律無法捕捉到這樣的電場!

+ + = 如果只有高斯定律: 我就可以在放射狀的電場上疊加一個漩渦狀的電場 結果依舊滿足高斯定律。但這卻是庫倫定律不容許的。 高斯定律可以取代庫倫定律嗎?答案是不能。 + = 高斯定律 一個可以禁止漩渦狀電場的定律 庫倫定律

考慮一個無限小的立方體高斯面 xxx xx+Δx 先計算垂直於 x 軸左右兩個面的通量 電通量等於垂直於平面的電場分量乘上面積 總通量為 散度,一個純量,由向量場計算出的一個純量場

將積分形式的高斯定律適用於此小方塊: 高斯定律的微分形式,對任一個點成立

此式對任何一個向量場都成立: 此式從立方體內的空間的性質來算立方體表面的通量 這個結果可以推廣到任一曲面: 任一曲面內的空間可以切割為無限多個無限小立方體 加總所有立方體的通量: 加總通量時,相鄰立方體相接面的通量會互相抵消, 只留下最外圍曲面本身的通量 對任何向量場都對 數學上的高斯定律

將微分形式的高斯定律 代入上述數學的高斯定律: 可得積分形式的高斯定律 可見積分形式的高斯定律與微分形式的高斯定律是等價的。