解 ： 设事件 Ai( i=1,2,3,4 ) 为“第 i 个继电器接点闭合”, L 至 R 为通路这一事件可表示为： 例 10 设有电路如图，其中 1, 2, 3, 4 为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为 p。求 L至 R 为通路的概率。 解 ： 设事件 Ai( i=1,2,3,4 ) 为“第 i 个继电器接点闭合”, L 至 R 为通路这一事件可表示为： 2 1 L R 3 4

由和事件的概率公式及 A1, A2, A3, A4的相互独立性，得到

第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量 直观定义：一个变量，若其取值随着试验的结果的变化而变化，即其取值具有随机性，且①能事先知道它的所有可能取值，②不能事先确定它将要取哪一个值；则称这个变量为随机变量，常用大写字母X、Y或ξ 、η 、ζ等表示。 数学定义： 设E是一个随机试验,其样本空间为S={e}.如果对每一个样本点eS ，总存在一个实数X (e)与之对应,则得到一个从样本空间S到实数集RX的单值实函数X= X(e),我们称X为E的一个随机变量. 简记为 R.v. X (Random variable)

例1 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。 例1 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。 讨论：取球结果为: 两个白球;两个红球;一红一白 如果用ξ表示抽得的红球数，则ξ的取值为0，1，2。此时， “两只红球”= “ξ取到值2”, 可记为 {ξ =2} “一红一白”= {ξ =1}, “两只白球”＝｛ ξ =0} 特点：试验结果数量化了，结果与数建立了一一对应关系

例2 某灯泡厂所产的一批灯泡中灯泡的寿命ξ 。 例3 某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数ξ. 例4 在[0，1]区间上随机取点，该点的坐标ξ. ξ 的可能取值为 [0,+) ξ 的可能取值为 0，1，2，3，... ξ的可能取值为 [0，1]上的全体实数。

Ω ξ = ξ(e) ξ(e) 随机变量是一个特殊的函数 随机变量的取值可看作是数轴上的点 （ ）

 反之，E中的事件通常都可以用ξ的不同取值来表示.  {X =1}, {X <a}, {a≤ X <b} ,{X =2k,k∈N}及 {X ∈[a,b]} 等都表示E中的事件；  反之，E中的事件通常都可以用ξ的不同取值来表示. 如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则 “出现偶数点”可表示为：｛X=2} {X=4}{X=6} “出现的点数小于４”可表示为：｛X<4｝或｛X3｝

§2.2 离散型随机变量及其分布律 P{X=xk} = pk,k=1,2,… 1.定义: 如果随机变量X的所有可能的取值是有限多个或无限可列多个，则称X为离散型随机变量,可简记为D.R.v.X(Discrete R.v.)。 又设ξ的可能取值是 x1,x2,…,xk,…，若有 P{X=xk} = pk,k=1,2,… 称此式为X的概率函数（概率分布、分布律）.

1、随机变量X的概率分布全面表达了X的可能取值以及取各个值的概率情况； 2、分布率的常见形式，除公式法（如定义中所用）外，还有更为形象的表格法如下： p1 ， p2 ，… p K … pk x1， x2， … xk， … ξ

2、性质： 1>． pk≥0，（k=1，2,…） 2>． ∑pk = 1. （若是无穷可列情形，就表示无穷级数∑pk要收敛于1）

例 1 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令： X：取出的5个数字中的最大值． 试求 X 的分布律．

例2 从一批次品率为p的产品中，放回抽样，直到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取产品的次数X的分布律。 分析：若记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,… 则 Ai , i=1,2,3,… 是相互独立的！ 且 k A 1 2 - L { X=k }对应着事件 所以，X的可能取值为 1，2，3，… ,k,… = - ) ( 1 2 k A P L P{X=k}= (1-p)k-1p ,k=1,2,…

0-1分布：只取0和 1 两个值的随机变量所服从的分布，称为 0-1分布。其概率函数为 P{ξ =k}=pk（1-p）1-k （k=0，1） 两点分布：只有两个可能取值的随机变量所服从的分布，称 为两点分布。其慨率函数为 P{ξ =xk}=pk (k＝1，2)

定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数 §2.3 随机变量的分布函数 1. 概 念 定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数 x X 称为 X 的分布函数． 对于任意的实数 x1, x2 (x1< x2) ，有： x1 x2 x X o

分别观察离散型、连续型分布函数的图象， 可以看出， 2. 分 布 函 数 的 性 质 分别观察离散型、连续型分布函数的图象， 可以看出， 分布函数 F(x) 具有以下基本性质： 10 F (x) 是一个不减的函数． 0 1 2 3 1 F(x) x ). ( ) 1 2 x F ³ > 时， 即当

20 30 . ) ( ), 是右连续的 即 x F = + -1 0 1 2 3 x 1

(2) P﹛a<X≤b﹜=F(b) ﹣F(a); (3) P﹛X<b﹜=F(b﹣0); 引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用F(x)的 函数值来表示。 (1) P﹛ X ≤b﹜=F(b); (2) P﹛a<X≤b﹜=F(b) ﹣F(a); (3) P﹛X<b﹜=F(b﹣0); (4) P﹛X>b﹜=1﹣ P﹛X≤b﹜ =1 - F(b); (5) P﹛X≥b﹜=1﹣ P﹛X<b﹜ =1 ﹣ F(b﹣0) （ ] a b

(一)连续型随机变量的概念与性质 定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)， 存在非负函数 f (x)，使得对于任意 实数 x，有

由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质： x 1

f (x) x

例 3 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为 ； 求：⑴．常数 c 解： ⑴．由密度函数的性质

例 3（续）

[ ] (二)一些常用的连续型随机变量 1．均 匀 分 布 ， b a X 若随机变量 X 的密度函数为 上的均匀分布． 服从区间 则称随机变量 b a X 记作 X ~ U [a , b]

均匀分布的分布函数 a b x F (x) 1

2．指 数 分 布 如果随机变量 X 的密度函数为 的指数分布． 为常数，则称随机变量服从参数为 其中 l >

( ) ( ) ( ) s ， 3．正 态 分 布 ~ s m ， N X x f (x) +¥ < ¥ - = x e f 1 p 的密度函数为 如果连续型随机变量 X ( ) +¥ < ¥ - = x e f 2 1 s m p ( ) 为参数 ， 其中 > +¥ < ¥ - s m 的正态分布． 服从参数为 则称随机变量 ( ) ， 2 s m X 记作 ( ) 2 ~ s m ， N X x f (x)

标准正态分布

> h 正态分布密度函数的图形性质 f (x) x x = m ，有 对于正态分布的密度函数 由高等数学中的知识，我们有： 对称， x = m 对称， ⑴ 曲线关于直线 ，有 这表明：对于任意的 > h

取到最大值 时， ⑵ 当 x m = 落在该区间中的概率就越小． 越远时，随机变量 同样长度的区间，当区间离 的值就越小．这表明，对于 X ) ( f 落在该区间中的概率就越小． 越远时，随机变量 同样长度的区间，当区间离 的值就越小．这表明，对于 X m 越远， 离 x ) ( f

m s x f y = (3)曲线 轴为渐近线，在 处有拐点. 以 ( ) 确定． 所 图形的位置完全由参数 因此 其形状． 轴平行移动，但不改变 图形沿 的 的值，则 固定，而改变 ⑷ 若 m s x f y =

f (x) x (5)若 的值，由于 固定， 而改变 的最大值为 可知，当 越小时， 图形越陡，因而 落在 附近的概率越大；反之，当 越大时， 的图 形越平坦，这表明 的取值越分散． x f (x)

{ } ( ) { } { } 例4 ，试求： X ~ N 2 ， 9 ⑴． P 1 £ X < 5 ；⑵． P X - 2 > 设随机变量 X ~ N 2 ， 9 { } { } { } ⑴． P 1 £ X < 5 ；⑵． P X - 2 > 6 ；⑶． P X > ． 解：

正态分布的重要性 正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明： ⑴．正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布． ⑵．正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的． ⑶．正态分布可以作为许多分布的近似分布．

§2.4 随机变量的函数的分布 随机变量的函数

= g ，则 (一)、离散型随机变量的函数 是离散型随机变量，其分布律为 设 X ( ) 量，它的取值为 也是离散型随机变 的函数： 是 Y

例 5

这些取值两两互不相同，由此得随机变量

(二).连续型随机变量函数的分布 解 题 思 路

解：(1) 先求 Y =2X+8 的分布函数 FY(y)： 例 6 设随机变量 X 具有概率密度： 试求 Y=2X+8 的概率密度. 解：(1) 先求 Y =2X+8 的分布函数 FY(y)：

ò 整理得 Y=2X+8 的概率密度为： ). ( )] [ ) , x f F dt t y j ¢ - = 本例用到变限的定积分的求导公式 ). ( )] [ ) , x f F dt t y j ¢ - = ò 则 如果

例如,设 X~N(0,1),其概率密度为： 则 Y = X 2 的概率密度为： 分布。 的 服从自由度为 此时称 2 1 c Y

定理 设随机变量 X 具有概率密度 ). ) ( < ¢ > x g 或恒有 处处可导，且有 又设函数 ) ( < ¢ > x g 或恒有 处处可导，且有 又设函数 则 Y =g(X ) 是一个连续型随机变量 Y，其概率密度为 其中 h(y) 是 g(x) 的反函数， 即

定理（续） ), ) ( ] , [ < ¢ > x g b a f )}. ( ), max{ )}, min{ b g a 此时仍有： 或恒有 上恒有 在 设 以外等于零，则只须假 在有限区间 若 ), ) ( ] , [ < ¢ > x g b a f )}. ( ), max{ )}, min{ b g a = 这里

{ } ( ) { } ( ) ， X = y X g P Y F £ = y h X P g F £ = 证明： 的分布函数为 设随机变量 则有 由题设，不妨假设 ) ( > ¢ x g ，则 是严格增 加的函数． ( ) { } y h X P g F Y £ = - 1 因此，

ò ( ) ( ) ( ) ， b a Î y ， b a Y X ¥ + - ø ö ç è æ = ¢ dx x f dy d F 上变化． ， 在区间 随机变量 上变化时， 由题设，当随机变量 b a Y X ¥ + - 其中， ( ) 时， ， 当 因此， b a Î y ( ) ø ö ç è æ = ¢ ò ¥ - y h X Y dx x f dy d F 所以，

ò ( ) ( ) ( ) ，则 x g < ¢ ， b a Î y 是严格减少的函数． 若 因此， ø ö ç è æ = ¢ dx < ¢ ( ) 时， ， 当 因此， b a Î y ( ) ø ö ç è æ = ¢ ò +¥ y h X Y dx x f dy d F 所以，

综上所述，得 Y g 的密度函数为 = ( X )

e y = y x ln = 例 7 ~ ， ， = e ，试求随机变量 Y f y ． 设随机变量 X ( m s ) N Y 的密度函数 2 ) N ， ， Y = e X ，试求随机变量 Y 的密度函数 f y ( ) ． Y 的密度函数为 知 由题设， X 函数为 是严格增加的，它的反 因为函数 e y x = y x ln =

( ) 上变化． ， 在区间 上变化时 并且当随机变量 ¥ + = - X e Y 的密度函数为 由此得随机变量 X e Y =

1 引进了随机变量的概念，要求会用随机变量 表示随机事件。 2 给出了分布函数的定义及性质要会利用分布 函数示事件的概率。 3 给出了离散型随机变量及其分布率的定义、性质，要会求离散型随机变量的分布率及分布函数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分布、二项分布、泊松分布。 4 给出了连续型随机变量及概率密度的定义、性质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀分布、指数分布和正态分布。 5 会求随机变量的简单函数的分布。