統 計 方 法 的 順 序 確定目的 蒐集資料 整理資料 分析資料 推論資料 (變量，對象) (方法：普查，抽樣) (圖形、表格) (集中量數、離散量數) (機率、估計、檢定)

第5章 機率導論 5.1　實驗、樣本空間與事件 5.2　事件機率的基本運算 5.3　條件機率 5.4　總合機率法則與貝氏定理

何謂機率？ 所謂的機率是用具體的數字來描述某特定事件發生之可能性的方法。機率可將一個較模糊的程度敘述轉換為一個定量的數值。透過這樣的一個方法，我們能夠更有效地去測量、表達及分析各項不確定性的問題，以作為下決策時之重要參考。

機率定義 機率（probability）：描述某事件發生的相對可能（機會）的值，介於0與1之間，包括0與1。 實驗（experiment）：可產生各種可能結果的過程。 結果（outcome）：一項實驗的特定結果。結果亦稱為出象 事件（event）：是一個實驗中出現的一個或一個以上結果的集合。 樣本空間（sample space）:實驗中所有可能得到的結果所成之集合。

Ex.實驗: 投擲一個公正骰子的實驗 可能的結果: 事件: 出現奇數點的事件 E = 出現偶數點的事件 E = 點數小於 5 的事件 E = 樣本空間: 所有可能的結果 S =

Ex.投擲二個公正硬幣的實驗 可能的結果: 事件:全部為頭的事件 E = 全部為尾的事件 E = 一頭一尾的事件 E = 樣本空間: S =

(1)古典機率 兩種機率方法： (1)古典機率與(2)經驗機率 古典機率 某事件發生機率 = 合乎事件條件的結果數目 所有可能結果總數

Ex.實驗: 投擲一個公正骰子的實驗 可能的結果: 事件: 出現奇數點的事件 E1 = 出現偶數點的事件 E2 = 樣本空間: 所有可能的結果 S =

Ex.投擲二個公正硬幣的實驗 可能的結果: 事件:全部為頭的事件 E1 = 全部為尾的事件 E2 = 一頭一尾的事件 E3 = 樣本空間: S =

(2)經驗機率 兩種機率方法： (1)古典機率與(2)經驗機率 經驗機率 某事件發生機率 = 過去事件發生次數 總觀察次數

例題 一份針對某大學800名企管畢業生的研究指出，800名學生中有377名目前從事的工作領域並非在學校的主修。例如，某主修企管的學生目前是公司的總機。試求任一企管畢業生從事非主修科目及領域工作之機率。 P(A)= =0.47125 P(A)代表畢業生並未從事主修科目領域工作的機率。根據過 去的實驗，企管畢業生從事非主修領域工作的機率0.47125 377 800

餘集規則 給定一事件A，則事件A的餘集（complement of event A，記為Ac）是指樣本空間中不包含在A事件中之所有樣本點所成之集合。 定理：餘集規則 對於任意事件A，P(Ac)＝1-P(A)。 Ac A

互斥 A B A,B為互斥事件： P(A∩B)=0

聯集規則(加法原理) 定理：聯集規則 A B A B (1)A,B為非互斥事件：P(A∪B)＝P(A)+P(B)-P(A∩B)。

例題

例題 由標準撲克牌中隨機抽出一張為老K或紅心的機率為何？

獨 立 A、B為獨立事件，若且唯若 P(A∩B)＝P(A)．P(B)

條件機率 條件機率（conditional probability）是指在某一特定事件B已發生的條件下，另一事件A發生的機率，記為P(A|B)。 條件機率計算的公式如下： P(A|B)＝ P(A∩B)/ P(B) 若A、B為獨立事件 P(A|B)＝ P(A∩B)/ P(B)＝P(A)P(B)/ P(B)==P(A)

例題 箱子中包含有100個蘋果，其中已知三個壞的。依序選出兩個蘋果，則連續選出兩個壞蘋果的機率為何？ 假設由箱中選出第一個壞蘋果的事件為事件A，則P(A)=3/100，因為100個裡面有3個壞的。第2個抽出壞蘋果的事件為事件B，則P(B|A)=2/99

交集規則(乘法原理) P(A∩B)＝P(A|B)．P(B)=P(B|A)．P(A) P(A∩B)＝P(A)P(B) ，若且唯若 A、B為獨立事件 例題 擲硬幣2枚，兩枚皆為反面的機率為何？ 其中一枚硬幣反面的機率P(A)為1/2，另一枚反面的機率P(B)亦為1/2。二者皆為反面向上的機率為 P(A和B)=P(A)P(B)=(1/2)(1/2)=1/2

例題

總合機率法則(全機率法則) A B 總合機率法則 事件A發生的機率正等於A、B同時發生的機率加上A發生而B不發生的機率 總合機率法則（基本型） P(A)＝P(A∩B)+P(A∩Bc)＝P(A|B)P(B)+P(A|Bc) P(Bc) A B

總合機率法則 若B1, B2, …, Bn為樣本空間S中n個彼此互斥的事件，且B1∪B2∪…∪Bn= S，則我們稱{B1, B2, …, Bn}為樣本空間S的一個分割。 將樣本空間S分割為n個事件B1, B2, …, Bn，則可以得到下列之總和機率法則：總合機率法則(一般型)： P(A)＝Σ P(A∩Bi)＝Σ P(A|Bi)P(Bi)

例題 P(A)＝P(A|B)P(B)+P(A|Bc) P(Bc) A:出售；B:改善；Bc:沒改善

貝氏定理 兩個事件A和B的發生機率分別為P(A)和P(B)，若P(A)為事前機率，且可得知額外資訊P(B|A)，依據貝氏定理可求得事後機率P(A|B)，其過程如下： P(A|B)＝P(A∩B)/P(B)＝P(A)．P(B|A)/P(B) 定理：兩事件之貝氏定理 設A、B為任意兩個事件，則

貝氏定理 定理：三事件之貝氏定理

例題

例題

習 題 1 郵政局有2輛服務車常常拋錨。如果第一輛車可使用的機率為0.75，第二輛可使用的機率為0.50，兩者皆可使用的機率為0.3，那麼2輛車都不能使用的機率為何？ P(不能用)＝1－P(能用) ＝1－[P(1車能用)＋P(2車能用) －P(1,2車都能用)] ＝1－[0.75＋0.5－0.3] ＝0.05

習 題 2 徐老師已教授基礎統計學多年。她知道有70%的學生會寫完指派問題，他也決定了在做功課的學生中有90%會通過考試。在那些不做功課的學生中有50%會通過考試。小香上學期修了徐老師的統計學而且通過考試。試問他有寫功課的機率為何？

習 題 3 研發新口香糖來幫助病人戒煙。如果吃口香糖的人中有60%戒煙成功，在使用口香糖組成的10人群組中，至少有一個人成功戒煙的機率為若干？

習 題 4 汽車保險公司將駕駛人分成良好、中等、不良風險。申請者被歸於這三類的機率為30%、50%、20%。良好駕駛人發生意外的機率為0.01；中等駕駛人發生意外的機率為0.08；不良駕駛發生意外的機率則為0.8。公司賣保險給老包，而他出了意外。老包為下列駕駛人的機率為若干？ (1)良好駕駛人。(2)中等駕駛人。 (3)不良駕駛人。

習 題 5 SPA會員的調查，調查記錄其性別與年齡。下表為一總結。 35歲以下 35至54歲之間 54歲以上 總計 男 27 90 26 143 女 20 25 10 55 總數 47 115 36 198 若你隨機選出一會員，下列各項之機率為若干？

35歲以下 35至54歲之間 54歲以上 總計 男 27 90 26 143 女 20 25 10 55 總數 47 115 36 198 (1)男性。 (2)年齡介於35至54歲之間的會員。

35歲以下 35至54歲之間 54歲以上 總計 男 27 90 26 143 女 20 25 10 55 總數 47 115 36 198 (3)年齡介於35至54歲之間的男性。 (4)年齡大於54歲的女性。

35歲以下 35至54歲之間 54歲以上 總計 男 27 90 26 143 女 20 25 10 55 總數 47 115 36 198 (5)男性或年齡大於54歲的會員。 (6)女性或年齡大於54歲的會員。

35歲以下 35至54歲之間 54歲以上 總計 男 27 90 26 143 女 20 25 10 55 總數 47 115 36 198 (7)已知年齡小於35歲，其為男性的機率。 (8)已知年齡大於54歲，其為男性的機率。

35歲以下 35至54歲之間 54歲以上 總計 男 27 90 26 143 女 20 25 10 55 總數 47 115 36 198 (9)已知為男性，其年齡大於54歲的機率。 (10)已知為女性，其年齡大於54歲的機率。

35歲以下 35至54歲之間 54歲以上 總計 男 27 90 26 143 女 20 25 10 55 總數 47 115 36 198 (11)「男性」及「年齡介於35至54歲之間」的事件為獨立事件嗎？

35歲以下 35至54歲之間 54歲以上 總計 男 27 90 26 143 女 20 25 10 55 總數 47 115 36 198 (12)「女性」及「年齡大於54歲」的事件為獨立事件嗎？

35歲以下 35至54歲之間 54歲以上 總計 男 27 90 26 143 女 20 25 10 55 總數 47 115 36 198

35歲以下 35至54歲之間 54歲以上 總計 男 27 90 26 143 女 20 25 10 55 總數 47 115 36 198