第10章 Z-变换 The Z-Transform

本章主要内容 1. 双边Z变换及其收敛域ROC。 2. ROC的特征，各类信号的ROC，零极点图。 4. 由零极点图分析系统的特性。 5. 常用信号的Z变换，Z变换的性质。 6. 用Z变换表征LTI系统，系统函数，LTI系统 的Z变换分析法，系统的级联与并联型结构。 7. 单边Z变换，增量线性系统的分析。

10.0 引言 (Introduction) Z 变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅立叶变换的推广。 Z 变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。当然，Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。

10.1 双边 Z 变换 The z-Transform 一.双边Z变换的定义: 其中 是一个复数。 当 时， 即为离散时间傅立叶变换。 其中 是一个复数。 当 时， 即为离散时间傅立叶变换。 这表明：DTFT就是在单位圆上进行的Z变换。

可见：对 做 Z 变换就等于对 做DTFT。 因此，Z 变换是对DTFT的推广。 二. Z变换的ROC： Z变换与DTFT一样存在着收敛的问题。 1. 并非任何信号的Z变换都存在。 2. 并非Z平面上的任何复数都能使 收敛。Z平面上那些能使 收敛的点的集合，就构成了 的ROC。

例1. 时收敛 当 时， 单位圆 1 Z平面 a 的DTFT存在 此时，ROC包括了单位圆。

此时，ROC不包括单位圆，所以不能从 简单通过将 得到 。 例2. 此时，ROC不包括单位圆，所以不能从 简单通过将 得到 。 Z平面 1 （例2的ROC）

例3. a 1 Z平面 单位圆

一般情况下， 的ROC是 Z 平面上一个以原点为中心的圆环。 例4. 2 1/2 Z平面 一般情况下， 的ROC是 Z 平面上一个以原点为中心的圆环。

结 论： 1）Z变换存在着收敛的问题，不是任何信号都存在Z变换，也不是任何复数Z都能使 收敛。 2）仅仅由 的表达式不能唯一地确定一个信号，只有 连同相应的ROC一道，才能与信号 建立一一对应的关系。 3）Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心的环形区域。

4）如果 ，则其ROC是各个 的ROC的公共区域。若没有公共区域则表明 的Z变换不存在。

三. 的几何表示—零极点图： 如果 是有理函数，将其分子多项式与分母多项式分别因式分解可以得到： 由其全部的零、极点即可确定出 ，最多相差一个常数因子 。

因此，若在 Z 平面上表示出 全部的零极点，即构成 的几何表示——零极点图。 如果在零极点图上同时标出ROC，则由该零极点图可以唯一地确定一个信号。 零极点图对描述LTI系统和分析LTI系统的特性，具有重要的用途。

10.2 Z 变换的ROC The Region of Convergence for the z-Transform ROC的特征： 1. 的ROC是Z平面上以原点为中心的环形区域。 2. 在ROC内 无极点。 3. 有限长序列的ROC是整个有限Z平面（可能不包括 ，或 ）。

由 当 时，在 的展开式中，只有z的负幂项，故z不能为0，但可以取 。 当 时，在 的展开式中，只有z的正幂项，故z不能为 ，但可以取0。 当 时，在 的展开式中，既有z的正幂项，也有负幂项，故z既不能为 也不能取0。

4. 右边序列的ROC是某个圆的外部，但可能不包括 。 设 是右边序列， 由 ， 有 若 则， 则 如果 ，

当 时,由于 展开式中有若干个Z的正幂项，此时 不能为 。 5. 左边序列的ROC是某个圆的内部，但可能不包括 。 若 ， ，则

当 时，由于 的展开式中包括有Z的负幂项，所以Z不能为零。 6. 双边序列的Z变换如果存在，则ROC必是一个环形区域。 例1. 其他

极点： （一阶） （N－1阶） 零点： 在 处，零极点抵消，使有限 z平面内无极点。

在 时，两个子收敛域无公共部分，表明此时 不存在。 例2. b 1/b Z平面 在 时，两个子收敛域无公共部分，表明此时 不存在。 时，ROC为

则 为右边序列，且是因果的，但其傅立叶变换不存在。 例3. 零点： （二阶） 在有限Z平面上极点总数与零点总数相同 极点： 若其ROC为： 1 则 为右边序列，且是因果的，但其傅立叶变换不存在。

时 是左边序列，且是反因果的，其傅立叶变换不存在。 2 时 是双边序列，其傅立叶变换存在。 3 ROC是否包括 ，是 是否因果的标志。 ROC是否包括 ，是 是否反因果的标志。

注意 对于双边z变换，不同的收敛域对应的原函数不同，所以求解反变换时要注明收敛域； 收敛域中不包括任何极点; 收敛域以极点为界； 对于多个极点的情况，右边序列的收敛域是从最大的极点向外至无穷远（可能包括无穷远）；反之，左边序列的收敛域由最小的极点向内至原点（可能包括原点）；双边序列的收敛域若存在则为圆环；有限序列的收敛域为整个平面（0与无穷远位置是否包括在内要视信号的形式）； 收敛域判断的注意事项 信号与系统

10.3 Z-反变换 The Inverse Z-Transform 一.Z-反变换： 令

当 从 时，z沿着ROC内半径为 r 的圆变化一周。 其中 C 是 ROC 中逆时针方向的圆周。 二. 反变换的求取： 1. 部分分式展开法： 当 是有理函数时，可将其展开为部分分式

步骤 ：1. 求出 的所有极点 ； 2. 将 展开为部分分式； 3. 根据总的ROC，确定每一项的ROC； 4. 利用常用变换对和Z变换性质求出每一项的反变换。 例： 将 展开为部分分式有：

例题 例 计算 的z反变换。 例题5-15 信号与系统

Z逆变换 重极点情况： 设 在 处有m重极点，如拉氏反变换那样， 的部分分式展开式中关于重极点 的分项，然后计算相应的z反变换。 信号与系统

例题 例 计算 的z反变换。 z反变换 信号与系统

2. 幂级数展开法:（长除法） 由 的定义，将其展开为幂级数，有

展开式中 项的系数即为 。当 是有理函数时，可以通过长除的方法将其展开为幂级数。 由于右边序列的展开式中应包含无数多个Z的负幂项，所以要按降幂长除。 由于左边序列的展开式中应包含无数多个Z的正幂项，所以要按升幂长除。 双边序列要先将其分成分别对应信号的右边和左边的两部分，再分别按上述原则长除。

例： 所以前式按降幂长除，后式按升幂长除。 幂级数展开法的缺点是当 较复杂（含多个极点时）难以得出 的闭式。

幂级数展开法适合用来求解非有理函数形式 的反变换。 3. 留数法： 对有理函数的 由留数定理有： 是C内的极点。 是C内的极点。 时， 是C外的极点。 时，

Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot 10.4. 由零极点图对离散时间傅立叶变换几何求值 Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot 当ROC包括 时，Z 变换在单位圆上的情况就是 ，因此也可以利用零极点图对其进行几何求值。 其方法与拉氏变换时完全类似：

考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，即可反映系统的频率特性。 例1. 一阶系统 a 1 当 时，ROC包括单位圆。

显然， 取决于 的变化。 当 时， 在 处， 有最大值。 当 时， 有最小值。 随 呈单调变化。

一阶系统的频率特性：

a 1 当 时，

可以看出： 越小，极点靠原点越近，系统的频率响应越平缓，系统的带宽越宽；此时 衰减越快， 上升越快。 越大，极点靠单位圆越近，系统频响越尖锐，频响的极大值越大，系统带宽越窄，相位的非线性程度越厉害。

例2. 二阶系统： （系统欠阻尼） 极点： 零点： （二阶）

考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢量和零点矢量的长度与幅角的变化情况，即可得到二阶系统的频率特性。 1 考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢量和零点矢量的长度与幅角的变化情况，即可得到二阶系统的频率特性。

当 从 时，在靠近 处频率响应会出现极大值。 若r越接近于1， 的峰值越尖锐。由于极点远离原点， 和 的变化速率越慢。 随着r减小，极点逐步靠近原点，频率响应趋 于平坦，而 和 的变化速率会加快。

二阶系统的频率特性：

当极点很靠近单位圆时，也可以从零极点图粗略确定系统的带宽。 更一般的情况，二阶系统也可能 有两个实数极点，此时系统处于过阻尼状态。其特性相当于两个一阶系统级联的结果。 （二阶系统具有重阶实数极点的情况）

10.5 Z变换的性质 Properties of the Z-transform Z变换的许多性质与DTFT的性质相似，其推 论方法也相同。这里主要讨论其ROC的变化。 1. 线性： 则 ：包括

如果在线性组合过程中出现零极点相抵消，则ROC可能会扩大。 2. 时移： 若 则 但在 和 可能会有增删。 由于信号时移可能会改变其因果性，故会使ROC 在 ， 有可能改变。

z变换时移性质 单边z变换： 位移只会使得z变换在原点和无穷远的零、极点情况发生变化。 z变换的性质 信号与系统

z变换时移性质 因果序列右移： 双边z变换： 位移性质可用于求解系统的各个响应。 z变换的性质 信号与系统

z变换时移性质 例 求输入为 的一阶LTI离散系统 在初始条件 下的系统响应。 例题5-9 信号与系统

z变换时移性质 例 求输入为 的一阶LTI离散系统 在初始条件 下的系统响应。 例题5-9 信号与系统

3. Z域尺度变换： 若 则 时 收敛，故 时， 收敛。 当 时，即为移频特性。 若 是一般复数 ，则 的零极点不仅要将 的零极点逆时针旋转一个角度 ，而且在径向有 倍的尺度变化。

信号在时域反转，会引起 的零、极点分布按倒量对称发生改变。 1/2 4. 时域反转： 若 (收敛域边界倒置) 则 信号在时域反转，会引起 的零、极点分布按倒量对称发生改变。

如果 是 的零/极点,则 就是 的零/极点。由于 也是 的零/极点，因此 也是 的零/极点。 即： 与 的零极点呈共轭倒量对称。 例： 的ROC为 若 则 的ROC为

5. 时域内插: 若 为 的整数倍 其他 则 证明：

6. 共轭对称性： 若 则 当 是实信号时， 于是有 表明如果 有复数零极点，必共轭成对出现。 7. 卷积性质： 若

包括 则 如果在相乘时出现零极点抵消的情况则ROC 可能会扩大。 该性质是LTI系统Z变换分析法的理论基础。

例题 例 计算卷和 例题 5-11 信号与系统

例题 例 计算 的z变换 例题5-12 信号与系统

8. Z域微分： 若 则 利用该性质可以方便地求出某些非有理函数 的反变换，或具有高阶极点的 的反变换。 例1.

例2：

9. 初值定理： 若 是因果信号，且 则 证明：将 按定义式展开有： 时有 显然当

10. 终值定理 ： 若 是因果信号，且 ， 除了在 可以有一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则 证明： 除了在 可以有 单阶极点外，其它极点均在单位圆内， 在单位圆上无极点.

这其实表明：如果 有终值存在，则其终 值等于 在 处的留数。

Z平面上极点位置与信号模式的关系示意图

Analysis and Characterization of LTI Systems Using Z-Transforms Some Common Z-Transform Pairs （自学） 10.7 利用Z变换分析与表征LTI系统 Analysis and Characterization of LTI Systems Using Z-Transforms 一.系统特性与 的关系: LTI系统的特性可以由 或 描述，因而也可以由 连同ROC来表征。

称为系统函数。系统的特性应该在系统函数中有所表现。 所以 , 的ROC是最外部极点的外部， 并且包括 。 1. 因果性：如果LTI系统是因果的，则 时 2. 稳定性：若LTI系统稳定，则 ， 的DTFT存在。表明单位圆在 的ROC内。 即 的ROC必包括单位圆。

因此，因果稳定的LTI系统其 的全部极 点必须位于单位圆内，反之亦然。 当 是关于 Z 的有理函数时，因果性要 求 的分子阶数不能高于分母阶数。

例题 例 图示出了一个离散反馈控制系统。已知它的正向传输 ，而它的反向传输 ，求使系统稳定的K值范围。 系统稳定性：例题5-20 信号与系统

二. LTI系统的Z变换分析法： 1） 由 求得 及其 2）由系统的描述求得 及其

3） 由 得出 并确定它 的ROC包括 。 4） 对 做反变换得到 。 三. 由LCCDE描述的LTI系统的 : 由差分方程描述的LTI系统，其方程为 对方程两边做Z变换可得：

是一个有理函数。 的ROC需要通过其它条件确定，如： 1.系统的因果性或稳定性。 2.系统是否具有零初始条件等。

例：由下列差分方程做出网络结构，并求其系统函数 H(z) 和单位脉冲响应 h(n)。 解：由方程可得 FIR

解：由方程可得 利用Z变换的性质可得 IIR

10.8 系统函数的代数属性与系统的级联、并联结构 System Function Algebra and Block Diagram Representations 一. 系统互联的系统函数: 1. 级联： ROC包括

2. 并联： ROC包括 3. 反馈联接： 由系统框图可列出如下方程：

ROC：包括 二. LTI系统的级联与并联结构： 由LCCDE描述的LTI系统，其系统函数为有理函数，可以将其因式分解或展开为部分分式。

1 .级联型： 将 因式分解，在无重阶零极点时可得: N为偶数时 其中 是二阶（或一阶）系统函数。 由此即可得系统的级联结构：

D LTI系统的级联型结构

2. 并联型： 将 展开为部分分式，在无重阶极点时有 N为偶数时

D LTI系统的并联型结构

例题 例 求下列二阶离散系统的z域模拟 例题5-21 信号与系统

例题 例 求M阶滑动平均离散系统 的z域模拟图。 这是一般系统在 时的特殊情况，它构成长M的FIR数字滤波器。此时反馈系统函数 ，使得系统仅有前馈环节，即 例题5-22 信号与系统

10.9 单边Z变换： The Unilateral Z-Transform 一. 单边Z变换： 单边Z变换是双边Z变换的特例，也就是因果信号的双边Z变换。因此单边Z变换 的ROC一定是最外部极点的外部，并且包括 。

所以在讨论单边Z变换时，不再强调其ROC。它的反变换也一定与双边Z变换的反变换一致。 如果信号 不是因果序列，则其双边Z变换 与单边Z变换 不同。 例1: 对其做双边Z变换有：

对其做单边Z变换有： 显然 例2. 对其做双边Z变换有： 对其做单边Z变换有：

显然 这是因为 在 的部分对双边Z变换起作用，而对单边Z变换不起作用所致。 二. 单边Z变换的性质： 只要所涉及的信号是因果信号，单边Z变换除了时移特性与双边Z变换略显不同外，其它性质与双边Z变换的情况是一致的。

时移特性： 若 则 Proof:

同理可得： Proof： 同理可得：

单边Z变换在将LCCDE变换为代数方程时，可以自动将方程的初始条件引入，因而在解决增量线性系统问题时特别有用。 则

自然响应 强迫响应

离散系统的z域分析 零输入响应Z域求解的一般形式： 1）对差分方程进行Z变换(用移序性质) ； 2）由Z域方程求出响应；     3）求反变换，得差分方程时域解。 信号与系统

例： 已知某线性时不变系统数学模型如下： y(n)-5y(n-1)+6y(n-2)=0 ,初始状态y(-1)=4，y(-2)=1，求零输入响应y(n)。 解： 对差分方程进行Z变换(用移序性质) ； 例题 信号与系统

离散系统的z域分析 1.用z变换计算离散系统的零输入响应、零状态响应和全响应 利用z变换的时移性质可以方便的求解各系统响应 例 求输入为 的二阶LTI离散系统 在初始条件 下的零输入响应、零状态响应和全响应。 z变换计算离散系统的零输入响应、零状态响应和全响应 信号与系统

离散系统的z域分析 1.用z变换计算离散系统的零输入响应、零状态响应和全响应 例 例题5-17 信号与系统

离散系统的z域分析 2. LTI离散系统的系统函数 定义为离散系统单位采样响应的z变换。 由于系统零状态响应等于输入激励与系统单位采样响应的卷和，使得零状态响应的z变换等于输入激励的z变换乘以系统函数，即 LTI离散系统的系统函数 信号与系统

离散系统的z域分析 2. LTI离散系统的系统函数 设描述N阶LTI离散系统的差分方程为 当一个物理可实现系统（其单位采样响应一定是因果的）的输入为因果信号时，系统零状态响应一定也是因果的 LTI离散系统的系统函数 信号与系统

离散系统的z域分析 2. LTI离散系统的系统函数 例 求二阶系统的差分方程 的系统函数、单位采样响应和在输入 时的零状态响应。 的系统函数、单位采样响应和在输入 时的零状态响应。 例题5-18 信号与系统

离散系统的z域分析 2. LTI离散系统的系统函数 例 求二阶系统的差分方程 的系统函数、单位采样响应和在输入 时的零状态响应。 的系统函数、单位采样响应和在输入 时的零状态响应。 例题5-18 信号与系统

例： 解： 2019/5/14

2019/5/14

例： 解： 2019/5/14

2019/5/14

2019/5/14

Fibonacci序列

Fibonacci序列

Fibonacci序列

Fibonacci序列

Fibonacci序列

10.10 小结：Summary 1. 讨论了对离散时间信号和LTI系统进行Z变换分析的方法，整个讨论方法及大部分结论与第九章相对应。 2. 与拉氏变换的情况对照，可以发现S平面与Z平面之间存在着一种影射关系， 就是这种联系。 将连续时间信号 采样，可以得到：

对其做拉氏变换有： 对采样所得到的样本序列 做Z变换有： 比较两式，可以得出S平面与Z平面之间有：

映射过程： 1

这种映射关系在数字信号处理，特别是数字系统设计中是非常重要的。明确了这种关系就很容易对Z 变换与拉氏变换的关系及差异之处有更清楚的认识。 3. 利用Z变换分析LTI系统，较之DTFT具有更方便、更广泛适用的优点。 4. 单边Z变换是分析增量线性系统的有力工具。