經濟性等值 Economic Equivalence

關鍵概念 定義經濟性等值與其性質 將時間、利率與現金流的大小視為變數來描述其運用 介紹貸款與債券的概念 描繪貸款、債券如何為資本投資提供資金

建立經濟性等值 現金流的大小與發生時間需已知 利率 共同的時間基準 共同的衡量單位 在研究期間N的一組利率已知時，便可建立等值關係。然而如果這些利率中有任一個改變，等值關係就必須重新建立 共同的時間基準 通常會由利率的複利期間所定義 共同的衡量單位 必須選擇單一的貨幣單位

經濟性等值的性質(原則) 在經濟上等值的現金流 會在某個共同時間點上具有相同的貨幣價值 可以建立在任何時間點上 要在哪一期建立經濟性等值並沒有任何限制 可以輕易地將其重新建立在任何期間上 可以建立在任何期數上 兩組在經濟上等值的現金流之間的差異為零 在研究期間內利率不需固定不變(略) 可以使用流通貨幣與市場利率來建立，或使用實質貨幣與無通膨利率來建立(略)

例題 4.1 ~4.3 經濟性等値關係 Heroux-Devtek是一家航太與工業產品的製造商及維修商。2003年該公司從General Electric Aircraft Engines公司取得一筆製造引擎零件的合約。 合約的應收帳款 (加幣)時程如下： 2004年$250萬元、2005年$730萬元 2006年$680萬元、2007年$500萬元 假設年利率為12% 例4.1：試證明此應收帳款時程在經濟上等値於 2006年底$2,258萬元的單筆現金流。 例4.2：試決定在時間零 (2003年)時的等値關係 例4.3：建立2004~2006年期間的等額多次付款等値關係

例題 4.1 (原則 1：會在某個共同時間點上具有相同的貨幣價值) 試證明左圖的應收帳款現金流在經濟上等値於2006年底$2,258萬元的單筆現金流 將2004年及2005年的現金流使用(F/P)利率因子，將2007年的現金流則使用(P/F)利率因子，分別轉換到2006年。 F2006 = $2.5M(F/P,12%,2) + $7.3M(F/P,12%,1) + $6.8M + $5.0M(P/F,12%,1) = $2.5M(1+12%)2 + $7.3M(1+12%) + $6.8M + $5.0M(1+12%)-1 = $2,258萬元 故左圖的現金流在經濟上等值於2006年的$2,258萬元

(原則 2：在經濟上等值的現金流可以建立在任何時間點上) 例題 4.2 試決定在時間零 (2003年)時的等値關係 方法一 方法二

例題 4.2解答 方法一：可使用(P/F)因子將每一單筆現金流轉換至2003年，可得2003 年的等值(現值): (原則 2：在經濟上等值的現金流可以建立在任何時間點上) 例題 4.2解答 方法一：可使用(P/F)因子將每一單筆現金流轉換至2003年，可得2003 年的等值(現值): 方法二：將例題4.1所得2006 年等值現金流($22.58M)應用(P/F)因子轉換至2003。

(原則3：在經濟上等值的現金流可以建立在任何期數上) 例題 4.3 建立2004~2006期間的等額多次付款等値關係 方法一 方法二

利率未知的經濟性等值 有些時候必須找出利率，以建立兩組現金流的等值性 若這兩組現金流為單一款項現金流，則在轉換為未來值或現值，可能是件簡單的工作 然而，從現值或未來值轉換為等額多次付款(年金)系列的等值時，可能會是件困難的工作 通常必須「搜尋」解答

例題 4.7 透過内插法求解 i 2003年秋季，法國米其林(Michelin SCA)輪胎製造商與IBM簽署一筆8年$12.2億歐元的合約，以維護管理其歐洲及北美的資訊科技基礎建設。 假設米其林每年要支付$1億5,250萬歐元給IBM 將2003年設為時間零。 請問年利率需為何，才能聲明此筆合約在時間零時的價値為$10億歐元？

例題 4.7解答 繪製現金流量圖： 由於P 跟A 為已知，而利率為未知，可將因子視為未知數以求解 檢視附錄中不同利率的表格 此利率介於4%與5%，因此採用內插法求解

例題 4.7解答 等額多次付款現值因子(P/A)在4%與5%之間的線性內插之圖形

補充例題(1) 冰島航空訂購10架波音737，定價$6.5億美元。假設所有的飛機都會於2008底交貨，而到時會依定價支付費用 請問在何種利率下，這筆款項會等值於時間零 (2005年初) 的$5.5億美元？

補充例題(1)解答 繪製現金流圖： 求解i： $550M 04 05 06 07 08 $650M

補充例題(2) (同上例) 假設從2005年底到 2009年底，每年交貨兩架飛機，且到時會依定價付款。 請問在何種利率下，這些款項會等值於時間零 (2005年初) 的$5.5億美元？

補充例題(2)解答 繪製現金流圖： 等值性的計算： $550M 04 05 06 ……….……..09 $130M

補充例題(2)解答 使用內插法求解i 從表格可知： 應用內差法(假設兩點間的函數為線性) 4.3295 4.2124 4.23077 5% 6% 4.3295 4.2124 4.23077

期數未知的等值性 就跟決定 i 一樣，也可能會需要決定N來讓兩組現金流等值

例題 4.9 尋求最小値 N 美國陸軍工程部隊將一筆$550萬美金的合約交給Conrad Industries, Inc.，以建造一座255呎的起重平底船。 假設陸軍於2003年第3季末，在某個的帳戶中存入$500萬美元，季利率為1.25%，在付款後交貨。 請問最早在哪一季，此平底船可以交貨？

例題 4.9解答 繪製現金流量圖： 使用單筆付款複利總額因子(F/P)或現值因子(P/F)來令P與F的值相等。利用複利總額因子可得 F = P(F/P, i , N) = 5M(1+i)N 5.5M = 5M(1+0.0125)N  (1+0.0125)N = 1.1 N =log(1.1)/log(1.0125) = 7.67 當N=8期(季)，使得帳戶中累積至： F = 5M(1+0.0125)8 = 5M(1.1045) = 552.2萬元 (註：當N=7期(季)，帳戶中僅累積$545.4萬元；因此交貨需在第8 季或之後進行，但無法更早。)

利息因子的特性 研究並瞭解利息因子在極限時的特性，將會有助於對利息因子建立直覺認知。 利率因子特性表：

例題 4.10 無限期的年費 企業家Asa Packer是Lehigh Valley鐵路的擁有者，也是東賓州許多煤礦的主控者，在1865年捐贈Lehigh大學50萬美元的基金。 如果這份捐贈基金被放入某個帳戶，每年會獲得7%利息。 為讓此筆捐贈基金能夠永久存續，請問每年最多可領出多少錢？

例題 4.10解答 繪製現金流圖 已知P = 50萬、利率i = 7%以及N → ∞， 試圖找出A值， 即A = P(A/P, i, N) = 500,000(A/P, 7%, ∞) 當N→ ∞時，(A/P, i, ∞)→ i 因此，A = Pi = 500,000(0.07) = 35,000美元

等值性案例：籌措資本 方式：貸款、債券、股票 貸款 企業的一種籌款方式，以取得資金作為專案計畫的投資 以協議方式的合約獲取資金 主要元素： 本金 利率 還款計畫

貸款 還款會依循任何協議好的模式進行，通常的模式： 貸款違約 – 放款機構有權取走某些抵押品(如部份財產)歸其所有 等額本息還款計畫 等額本金還款計畫 貸款違約 – 放款機構有權取走某些抵押品(如部份財產)歸其所有 貸款人在時間n償還給放款者的本息還款An，包含利息還款IPn與本金還款PPn

貸款重要公式 本息還款： An= IPn + PPn 貸款餘額 (Loan Balance) – 在某個時間點上需償付的本金金額，亦稱為未償清餘額(Outstanding Balance)或未償清本金(Principal Outstanding) Bn：時間n的貸款餘額 B0= P Bn= Bn-1 – PPn 任一期的利息付款金額：IPn=iBn-1

貸款的真實成本 所質借的金額與還款金額的比值，便是貸款的真實成本 通常等於貸款的利率 如果所設定的是還款金額 (而非利率)，就必須計算利率

例題4.11 等額本金還款 2002夏季，美國聯邦政府借給Amtrak國營鐵路公司1億美元，用以升級設施與補貼營運成本。 例題4.11 等額本金還款 2002夏季，美國聯邦政府借給Amtrak國營鐵路公司1億美元，用以升級設施與補貼營運成本。 假設此筆貸款為期5年，年利率6.5%，以等額本金還款償付。 假設此筆貸款在2001年初借出，第一次還款預訂在2001年底。 請列出還款計畫

例題4.11 解答 等額本金還款是每次還款所需償付的本金金額是固定的 每年要償付本金PPn = $100M/5=20M美元 例題4.11 解答 等額本金還款是每次還款所需償付的本金金額是固定的 每年要償付本金PPn = $100M/5=20M美元 第n年所需支付的利息為 IPn =iBn-1 = (6.5%)Bn $100M/5 $6.5M+$20M $100M-$20M (6.5%)($100M)

例題4.12 遞增本金還款 假設美國聯邦政府欲給Amtrak公司更多時間籌措資金來償還1億美元的貸款。 例題4.12 遞增本金還款 假設美國聯邦政府欲給Amtrak公司更多時間籌措資金來償還1億美元的貸款。 假設此筆5年貸款的本金還款分別為：$0、$1,000萬、$2,000萬、$3,000萬以及$4,000萬元。 請分析此筆貸款(年利率6.5%)

例題4.12 解答 因本金還款向後延，總共支付的利息將增加

例題4.13 遞減本金還款 假設Amtrak公司欲較快還清貸款，4年還清貸款，每年的本金還款分別為： 4,000萬、 $3,000萬、$2,000萬以及$ $1,000萬元。 請分析此筆貸款

例題4.13 解答 此還款計畫總共支付的利息僅例題4.12的一半 這是意料中的事，因為本例是以較快速度償還本金。 注意：例題4.11~13的各種還款計畫雖然總共支付利息不同，但三種還款計畫的現金流均為等值

等額本息還款 比較常見的還款計畫是貸款者每期都會償還相等的本息合計金額給放款者。 可以使用第3章所定義之公式(3.10)，即等額付款資本回收因子(A/P)，來計算每期的本息付款(本金與利息)

例題4.14 等額本息還款 巴西最大鐵礦出口商從一群包含9家國際銀行取得一筆保證7年共3億美元的貸款。 例題4.14 等額本息還款 巴西最大鐵礦出口商從一群包含9家國際銀行取得一筆保證7年共3億美元的貸款。 假設此筆貸款從2004年夏季開始，以每半年等額本息付款方式，在3年內償清。 假設年利率為2.3%，每半年複利一次。 請分析此筆貸款

例題4.14 解答 使用2.3 %的年利率， 每半年複利計算， 則每6 個月的利率為2.3 %/2 =1.15% 例題4.14 解答 使用2.3 %的年利率， 每半年複利計算， 則每6 個月的利率為2.3 %/2 =1.15% 在3 年中每6個月的本息付款為 $300M-$48.58M (1.15%)($300M) $52.03-$3.45

補充：例4-11的等額本息還款計畫

例題4.16 貸款的真實成本 針對例題4.11的Amtrak一億美元貸款，請計算4種還款計畫的真實貸款成本。 解答： 例題4.16 貸款的真實成本 針對例題4.11的Amtrak一億美元貸款，請計算4種還款計畫的真實貸款成本。 解答： 有3種還款方式是以確定的本金還款，第4種則是以等額本息還款來定義 貸款人所支付的本息總金額各不相同。但這些還款方式的貸款真實成本其實都是相同的(也都是等值關係)。 可透過計算4種還款方式在時間零的等值來說明此項概念。

例題4.16 解答 針對等額本金還款計畫， 針對遞增還本還款計畫， 針對遞減還本還款計畫，

關於例題4.16 上述例題點出了一個有趣的問題： 很顯然，在建立還款計畫時，還有其他因素必須納入考量。 這幾種貸款方式是相同的嗎? 答案是「當然不同」 因為它們由不同的還款計畫所定義。 很顯然，在建立還款計畫時，還有其他因素必須納入考量。 其中一項主要的考量是現金流。 公司(或個人)手邊可能沒有足夠的現金可還款； 因此便需要其他替代(能夠延遲還款)的還款方式。

債券 (Bond) 企業或政府單位針對資本型計畫籌措所需資金的另一種方式 類似貸款，也是一份定義雙方間金錢交換的合約 本質上，投資者透過債券形式貸款給債券發行者 債券發行者可運用這筆錢(例如購買設備或擴充生產) 投資者會根據債券定義的合約，透過利息的形式獲得報償 若從企業或政府購買債券後，可將之在市場上出售給其他投資者，此種債券稱為”有價債券”

債券的實用詞彙 到期期限：債券所定義之合約的有效時間長度 配息：投資者獲得的利息款項，以作為放款(購買債券)的報償 短期債券：短期合約 (< 1年) (通常不配息) 中期債券：長於1年但短於10年的合約 長期債券：長於10年的合約 – 通常bond這個詞會較廣義的來指稱任何種類的債券。 面值：債券的票面價值 票面利率：定義中、長期債券的利息款項(配息)

債券的實用詞彙 債券屬於合約性質 – 購買價格、票面利率、配息時程、到期期限等資訊在發行時(時間為零時)均已定義清楚 市場上有各種複雜的債券

零息債券-短期債券 通常會在短時間內到期 交易中只有兩筆現金流 投資者於時間零支付價格P購買債券 投資者在到期時得到面值 (沒有配息) 到期殖利率 (Yield to Maturity)：在同個時間點上，令購買價格等值於面值的利率

零息債券-短期債券 P = 時間零的購買價格 B0 = 在到期時(N)歸還給投資者的面值 i = 到期殖利率 此利率會令購買價格與面值在經濟上等值 投資者的觀點 B0 N P

例題4.17：零息債券(短期債券) 國庫短期債券（或T-bills）為美國財政部所發售，以提供運作資金的短期債券。 這筆債券的到期日為2006年6月22日。 如果投資者持有這筆債券至到期日，請問其殖利率為何？

例題4.17 解答 $97.866556 182 $100 繪製現金流圖： 殖利率： 每6個月的殖利率 每日的殖利率 每年的殖利率

配息債券 透過配息或利息款項補償投資者的較長期債券 每年支付的利息總額 = rB0， 其中r = 票面利率而B0 = 債券的面值 (課本用i易混淆) 利息總額會被均分到每年的付款次數 例如，若為每半年配息，則每半年所支付款項為(r/2)B0. 到期殖利率：在某個共同時間點上，令購入價格與到期贖回之面值加上配息在經濟上等值的情況下之利率

例題4.18：配息債券 2003年9月，Rayovac公司發行價值$3.5億美元的10年債券，到期日為2013年10月1日。 此債券以面值出售，票面利率為8.5%，每半年配息。 假設在2003年10月1日以面值買入$10,000美元的債券，並持有至到期日。 請問其到期殖利率為何？

例題4.18 解答 配息 = (0.085/2)($10,000)=$425 現金流圖： 到期殖利率： 以試誤法與內插法求得每半年殖利率i = 4.25 % 或每年殖利率為(1.4.25%)2-1 = 8.68% $10,000 13 Oct 03 Oct $10,000+$425 04 Oct 04 Mar $425 ..................................... .......................................

到期殖利率 如果債券是以面值購買，持有至到期，並且每年支付1次票面利率，則到期殖利率便等同於票面利率。 如果債券每年支付配息超過1次，則到期殖利率就名目利率而言等同於票面利率，但實際的到期殖利率 (實際利率) 則會比較高。 然而，債券的會以不同於面值的價格購買及出售！

例題 4.19 中期債券 Cabot 是一家特殊金屬與化學品領先製造商 其財務部門透過銷售為期10年的中期債券(2013年9月1日到期)，籌措$1.75億美元。該債券每100美元的價格為99.423美元，票面利率為5.25%，每半年配息。 請問投資$10,000美元的到期殖利率為何？

例題 4.19解答 每半年配息： IPn=(0.0525)($10,000)/2=$262.50 現金流圖： 殖利率i ： $9942.30 $262.50 $10,000

折價/溢價 投資者並沒有義務要持有債券至到期日 有三件事情可能會發生： 可以將之出售給其他投資者，如此債券的權益便會轉移給新的擁有者 從公司的角度而言並沒有任何事情發生改變，但投資者的現金流便會不同於與持有至到期 有三件事情可能會發生： 債券以面值出售 債券以折價出售，使投資者得到少於面值的錢 債券以溢價出售，使投資者得到多於面值的錢

例題4.20：溢價購買 德州儀器的債券到期日為2007年4月1日，票面利率為8.75%，每半年付息。 該債券在2003年9月19日每100美元的售價為$114.50美元。 假設於2003年10月1日以$11,450美元購買該債券，第1筆配息在2004年4月1日發放。請問此投資的到期殖利率為何？

例題4.20 解答 配息 = (0.0875)($10,000)/2=$437.5 現金流圖： 殖利率： 配息 = (0.0875)($10,000)/2=$437.5 現金流圖： 殖利率： 求得每6個月的殖利率為i = 2.12% ，或每年4.29% $11,450 07 Apr 03 Oct $10,000+$437.5 04 Oct 04 Apr $437.5 ..................................... .......................................

債券價格與利率 為什麼債券價格會改變？ 因為利率會改變 其他考量： 如果利率提高，則擁有較低票面利率的「舊」債券價格便會下跌 如果利率下跌，則擁有較高票面利率的「舊」債券價格便會提高 其他考量： 風險層級：債券會根據公司的健全程度進行評比 (AAA 良好，BBB- 沒那麼好，「junk」認定風險非常高) 為了讓人們甘冒風險，價格便會下跌，或票面利率必須較高 供需關係也是一項因素