14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法 人教新课标

a b c m 面积：m(a+b+c) 面积：ma+mb+mc m(a+b+c)=ma+mb+mc

整式乘法m(a+b+c)=ma+mb+mc

看谁算的快: 1、已知：a+b=5，a-b=3，求a2-b2的值。 2、已知：a+b=5，m-n=3， 求am-an+bm-bn的值

把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）. 观察、探究与归纳 请把下列多项式写成整式乘积的形式 (3)ma+mb+mc= m(a+b+c) 把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）.

x2-y2 x2-y2 x2-y2 (x+y)(x-y) (x+y)(x-y) (x+y)(x-y) 想一想:因式分解与整式乘法有何关系? 类比与比较 想一想:因式分解与整式乘法有何关系? 整式乘法 (x+y)(x-y) x2-y2 x2-y2 因式分解 (x+y)(x-y) 因式分解 (x+y)(x-y) x2-y2 整式乘法 因式分解与整式乘法是互逆过程

练习一 理解概念 判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y) 练习一 理解概念 判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y) (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 (4) x2+4x+4=(x+2)2 (5) (a－3)(a+3)=a2－9 (6) m2－4=(m+2)(m－2) (7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r). 因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 整式乘法 因式分解 因式分解

ma+mb+mc m(a+b+c) 因式分解与整式乘法是相反方向的变形 整式的乘法与因式分解有什么关系？ 类比与比较 因式分解 整式乘法 5/19/2019

A. 6x2y=3xy·2x B. a2－b2+1=(a+b)(a－b)+1 C. a2－ab=a(a－b) 选择题 下列从左到右的变形是分解因式的有( ) C A. 6x2y=3xy·2x B. a2－b2+1=(a+b)(a－b)+1 C. a2－ab=a(a－b) D. (x+3)(x－3)= x2－9

多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式 探索发现 因式分解： 解: 公因式 提公因式法 多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式 把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这种因式分解的方法，叫做提取公因式法。

议一议 8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？ a 公因式 4 b2 最大公约数 相同字母最低次幂 步骤 一看系数　二看字母　三看指数

练一练 8 2ab m2n2 ab 找出下列各多项式中的公因式： （1） 8x+64 （2） 2ab2+ 4abc 　（3） m2n3 -3n2m3 ( 4)、a2b-2ab2+ab 8 2ab m2n2 ab 提示：公因式的系数，字母，字母的指数

四、方法运用 例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式. 分析：找公因式 1、系数的最大公约数 4 2、找相同字母 aｂ 3、相同字母的最低指数 a1b2 公因式为：4ab2 解:8a3b2+12ab3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc)

注意：各项系数都是整数时，因式的系数应取各项系数的 ；字母取各项的 的字母，而且各字母的指数取 的. 说出下列多项式各项的公因式： (1)ma + mb ； (2)4kx－ 8ky ； (3)5y3+20y2 ； m 4k 5y2 注意：各项系数都是整数时，因式的系数应取各项系数的 ；字母取各项的 的字母，而且各字母的指数取 的. 最大公约数 相同 次数最低

练一练 8 2ab m2n2 ab 找出下列各多项式中的公因式： （1） 8x+64 （2） 2ab2+ 4abc 　（3） m2n3 -3n2m3 ( 4)、a2b-2ab2+ab 8 2ab m2n2 ab 提示：公因式的系数，字母，字母的指数

问:多项式中的公因式是如何确定的？ 定系数： 多项式各项系数的最大公约数。 （当系数是整数时） 定字母： 多项式各项中都含有的相同的字母。 定指数： 相同字母的指数取各项中字母的最低次幂。

例: 找 2x2+ 6x 的公因式。 3 2 2 定指数 x 定系数 定字母 所以，公因式是 2 x 2

例2 把 9x2–6xy+3xz 分解因式. 9x2 – 6 x y + 3x z 3x·3x - 3x·2y + 3x·z 解： 9x2 – 6 x y + 3x z = 3x·3x - 3x·2y + 3x·z = 3x (3x-2y+z) 用提公因式法分解因式的步骤： 第一步. 找出公因式； 第二步. 提取公因式 ； 第三步. 将多项式化成两个因式乘积的形式。

当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。 例3 小冬解的有误吗？ 把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式. 解： 8 a3b2 –12ab3c + ab = ab·8a2b - ab·12b2 c +ab·1 = ab(8a2b - 12b2c) 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。 错误

8 a3b2 –12ab3c + ab = ab(8a2b - 12b2c+1) 注意 ⑴提取公因式后，另一个因式不能再含有公因式； ⑵另一个因式的项数与原多项式的项数一致。

当多项式第一项系数是负数，通常先提出“ ”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。 例4： – 24x3 –12x2 +28x 解：原式= = 当多项式第一项系数是负数，通常先提出“ ”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。

找 错 误 乙同学： 解:-x2+xy-xz =-x(x+y-z) 甲同学： 丙同学： 解:12x2y+18xy2 解:2x3+6x2+2x 把下列多项式分解因式： （1）12x2y+18xy2； （2）-x2+xy-xz； （3）2x3+6x2+2x 现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下： 找 错 误 乙同学： 解:-x2+xy-xz =-x(x+y-z) 甲同学： 解:12x2y+18xy2 =3xy(4x+6y) 丙同学： 解:2x3+6x2+2x =2x(x2+3x) 你认为他们的解法正确吗？试说明理由。

把下列各式分解因式: 24x3y-18x2y 7ma+14ma2 (3) -16x4+32x3-56x2 随堂练习 把下列各式分解因式: 24x3y-18x2y 7ma+14ma2 (3) -16x4+32x3-56x2 (4) -7ab-14abx+49aby

小 结 1、什么叫因式分解？ 2、确定公因式的方法： 3、提公因式法分解因式步骤(分三步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式； 一看系数　二看字母　三看指数 3、提公因式法分解因式步骤(分三步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式； 第三步，将多项式化成两个因式乘积的形式。 4、用提公因式法分解因式应注意的问题： （1）公因式要提尽； （2）小心漏掉 （3）多项式的首项取正号

例5 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式. 解:2a(b+c) – 3(b+c) =(b+c)(2a-3).

例6 6（m－n）3－12（n－m）2 解：6（m－n）3－12（n－m）2 =6（m－n）3－12［－（m－n）］2

拓展与提高 试一试 能被2005整除吗 计算

课堂小结 把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解。 公因式就是系数取各项式的最大公因数，字母取共有的字母指数取最低次幂（三看） 因式分解的方法：提公因式法

.规律总结 分解因式与整式乘法是互逆过程. 分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分接的结果一定是几个整式的乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.

作业P：119 习 题14.3第1题和第4题（1）共5个小题 再见！

课后练习 1.选择 （1）多项式6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式（ ） （A）6ab2c （B）ab2 （C）6ab2 （D）6a3b2C C D （2）分解-4x3+8x2+16x的结果是（ ） （A）-x（4x2-8x+16） （B）x（-4x2+8x-16） （C）4（-x3+2x2-4x） （D）-4x（x2-2x-4）

试一试 拓展应用

(a+b)x 选择题 (4)若多项式(a+b)x2+(a+b)x要分解因式,则要提的公因式是 . (3)若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一 个因式是（ ） （A）-1-3x+4y （B）1+3x-4y （C）-1-3x-4y （D）1-3x-4y D (4)若多项式(a+b)x2+(a+b)x要分解因式,则要提的公因式是 . (a+b)x