二次項係數為 1 的十字交乘法 二次項係數不為 1 的十字交乘法 綜合運用 自我評量

抄在筆記本上 3-3 利用十字交乘因式分解 1. 十字交乘 多項式乘法 （x＋2）（x＋3） x2＋5x＋6 因式分解

抄在筆記本上 ✵多項式乘法： （x＋2）（x＋3）＝x2＋5x＋6 ＝ x2＋（2＋3） x＋ 2 × 3 x ＋ 2 ×） x ＋ 3 2×3 （2＋3）x

抄在筆記本上 ✵因式分解： x2＋5x＋6＝（x＋p）（x＋q） ＝ x2＋（p＋q） x＋pq ＝（x＋2）（x＋3） p＋q＝5 常數項 同號相加 p×q p q p＋q 6 1 6 7 6 2 3 5 6 －1 －6 －7 6 －2 －3 －5

抄在筆記本上 上述過程也可以記錄成： x2＋5x＋6＝（x＋2）（x＋3） x ＋2 x2 6 x ＋3 3x＋2x＝5x 這種因式分解的方法，稱為十字交乘法。

抄在筆記本上 Ex. (1) x2＋4x＋3 (2) x2－7x＋6 (sol) (1)常數項 3 為正 ，同號數相加 ＝＋4 因式分解下列各式： (1) x2＋4x＋3 (2) x2－7x＋6 (sol) (1)常數項 3 為正 ，同號數相加 ＝＋4 3＝1 × 3 ＝（－1）×（－3） x ＋1 x ＋3 3x＋x＝4x x －1 x －3 －3x－x＝－4x （不合） ∴ x2＋4x＋3 ＝（x＋1）（x＋3）

抄在筆記本上 Ex. (2) x2－7x＋6 (sol) (2) 常數項 6 為正 ，同號數相加 ＝－7 因式分解下列各式： (2) x2－7x＋6 (sol) (2) 常數項 6 為正 ，同號數相加 ＝－7 6＝（－1）×（－6） ＝（－2）×（－3） x －1 x －6 －6x－x＝－7x ∴ x2－7x＋6 ＝（x－1）（x－6）

抄在筆記本上 Ex. (1) x2－x－6 (2) x2＋x－12 (sol) (1) 常數項 －6為負 ，異號數相減 ＝－1 x ＋2 因式分解下列各式： (1) x2－x－6 (2) x2＋x－12 (sol) (1) 常數項 －6為負 ，異號數相減 ＝－1 常數項 －6 可分解為 －12＝1×（－6） ＝2×（－3） ＝3×（－2） ＝6×（－1） 其中 2＋（－3）＝－1 x ＋2 x －3 －3x＋2x＝－x ∴ x2－x－6 ＝（x＋2）（x－3）

抄在筆記本上 Ex. (2) x2＋x－12 (sol) (2)常數項 －12 為負 ，異號數相減 ＝＋1 x ＋4 x －3 因式分解下列各式： (2) x2＋x－12 (sol) (2)常數項 －12 為負 ，異號數相減 ＝＋1 常數項 －12 可分解為 －12＝1×（－12） ＝2×（－6） ＝3×（－4） ＝4×（－3） ＝6×（－2） ＝12×（－1） 其中 4＋（－3）＝1。 x ＋4 x －3 －3x＋2x＝＋x ∴ x2＋x－12 ＝（x＋4）（x－3）

抄在筆記本上 ✵ 十字交乘法的常數項分解原則： 常數項為正 同號相加＝ 一次項係數 常數項為負 異號相減＝ 一次項係數

抄在筆記本上 3-2利用乘法公式因式分解 回家作業: 1. 課本隨堂練習 P134 ~ P135 2.習作 第 頁 ~ 第 頁 3.總習題 第 頁 ~ 第 頁

利用十字交乘法，因式分解下列各式： (1) x2＋27x＋72 x ＋ 3 x ＋24 24x＋3x＝27x ∴ x2＋27x＋72 搭配頁數 134 利用十字交乘法，因式分解下列各式： (1) x2＋27x＋72 x ＋ 3 x ＋24 24x＋3x＝27x ∴ x2＋27x＋72 ＝（x＋3）（x＋24）。 (2) x2－11x＋18 x －2 x －9 －9x－2x＝－11x ∴ x2－11x＋18 ＝（x－2）（x－9）。

利用十字交乘法，因式分解下列各式： (1) x2＋x－30 x ＋6 x －5 －5x＋6x＝x ∴ x2＋x－30 搭配頁數 135 利用十字交乘法，因式分解下列各式： (1) x2＋x－30 x ＋6 x －5 －5x＋6x＝x ∴ x2＋x－30 ＝（x＋6）（x－5）。 (2) x2－x－2 x －2 x ＋1 x－2x＝－x ∴ x2－x－2 ＝（x－2）（x＋1）。

抄在筆記本上 Ex. 3x2＋16x＋5 (sol) 常數項 5 為正 ，同號數相加 ＝＋16 x ＋1 3x ＋5 5x＋3x＝8x 因式分解下列各式： 3x2＋16x＋5 (sol) 常數項 5 為正 ，同號數相加 ＝＋16 x ＋1 3x ＋5 5x＋3x＝8x （不合） x ＋5 3x ＋1 x＋15x＝16x ∴ 3x2＋16x＋5＝（x＋5）（3x＋1）

抄在筆記本上 Ex. 5x2－17x＋6 (sol) 常數項 6 為正 ，同號數相加 ＝－17 x －1 x －3 5x －6 5x －2 因式分解下列各式： 5x2－17x＋6 (sol) 常數項 6 為正 ，同號數相加 ＝－17 x －1 5x －6 －6x－5x＝－11x （不合） x －3 5x －2 －2x－15x＝－17x ∴ 5x2－17x＋6＝（x－3）（5x－2）

抄在筆記本上 Ex. 5x2＋3x－2 (sol) 常數項 －2為負 ，異號數相減 ＝＋3 x ＋1 5x －2 －2x＋5x＝3x 因式分解下列各式： 5x2＋3x－2 (sol) 常數項 －2為負 ，異號數相減 ＝＋3 x ＋1 5x －2 －2x＋5x＝3x ∴ 5x2＋3x－2＝（x＋1）（5x－2）

抄在筆記本上 Ex. 6x2＋13x＋6 (sol) 常數項 ＋6為正 ，同號數相加 ＝＋13 3x ＋2 2x ＋3 9x＋4x＝13x 因式分解下列各式： 6x2＋13x＋6 (sol) 常數項 ＋6為正 ，同號數相加 ＝＋13 3x ＋2 2x ＋3 9x＋4x＝13x 3 ＋2 2 ＋3 9＋4＝13 ∴ 6x2＋13x＋6＝（3x＋2）（2x＋3）

抄在筆記本上 Ex. －3x2＋4x－1 (sol) －3x2＋4x－1 ＝ －（3x2－4x＋1） 因式分解下列各式： －3x2＋4x－1 先提出負號再分解 (sol) －3x2＋4x－1 ＝ －（3x2－4x＋1） 常數項 ＋1為正 ，同號數相加 ＝－4 3x －1 x －1 －3x－x＝－4x ∴ －3x2＋4x－1＝－（3x2－4x＋1） ＝－（3x－1）（x－1）

抄在筆記本上 ∵ －3x2＋4x－1 ＝ －（3x－1）（x－1） ＝（－3x＋1）（x－1） ＝（3x－1）（－x＋1）

抄在筆記本上 3-3 十字交乘因式分解 回家作業: 1. 課本隨堂練習 P137 ~ P139 2.習作 第 頁 ~ 第 頁 3.總習題 第 頁 ~ 第 頁

利用十字交乘法，因式分解下列各式： (1) 2x2－11x＋12 x －4 2x －3 －3x－8x＝－11x ∴ 2x2－11x＋12 搭配頁數 137 利用十字交乘法，因式分解下列各式： (1) 2x2－11x＋12 x －4 2x －3 －3x－8x＝－11x ∴ 2x2－11x＋12 ＝（x－4）（2x－3）。 (2) 3x2＋14x＋8 x ＋4 3x ＋2 2x＋12x＝14x ∴ 3x2＋14x＋8 ＝（x＋4）（3x＋2）。

利用十字交乘法，因式分解下列各式： (1) 2x2－17x－9 2x ＋1 x －9 －18x＋x＝－17x ∴ 2x2－17x－9 搭配頁數 138 利用十字交乘法，因式分解下列各式： (1) 2x2－17x－9 2x ＋1 x －9 －18x＋x＝－17x ∴ 2x2－17x－9 ＝（2x＋1）（x－9）。 (2) 2x2－9x－5 2x ＋1 x －5 －10x＋x＝－9x ∴ 2x2－9x－5 ＝（2x＋1）（x－5）。

利用十字交乘法，因式分解下列各式： (1) 14x2＋19x－3 2 ＋3 7 －1 －2＋21＝19 ∴ 14x2＋19x－3 搭配頁數 138 利用十字交乘法，因式分解下列各式： (1) 14x2＋19x－3 2 ＋3 7 －1 －2＋21＝19 ∴ 14x2＋19x－3 ＝（2x＋3）（7x－1）。 (2) 6x2－x－15 2 ＋3 3 －5 －10＋9＝－1 ∴ 6x2－x－15 ＝（2x＋3）（3x－5）。

利用十字交乘法，因式分解下列各式︰ (1) －2x2＋11x－5 －2x2＋11x－5＝－（2x2－11x＋5） x －5 2x －1 搭配頁數 139 利用十字交乘法，因式分解下列各式︰ (1) －2x2＋11x－5 －2x2＋11x－5＝－（2x2－11x＋5） x －5 2x －1 －x－10x＝－11x ∴ －2x2＋11x－5 ＝－（x－5）（2x－1）。 (2) －6x2－11x＋10 2x ＋5 －3x ＋2 4x－15x＝－11x ∴ －6x2－11x＋10 ＝（2x＋5）（－3x＋2）

抄在筆記本上 Ex. x2－25x＋144 (sol) 常數項 ＋144為正 ，同號數相加 ＝－25 x －9 1 －9 x －16 因式分解下列各式： x2－25x＋144 (sol) 常數項 ＋144為正 ，同號數相加 ＝－25 x －9 x －16 －16x－9x＝－25x 1 －9 1 －16 －16－9=－25 ∴ x2－25x＋144＝（x－9）（x－16）

抄在筆記本上 Ex. 9x2－24x＋16 此題也能利用乘法公式 (sol) 常數項 ＋16為正 ，同號數相加 ＝－24 3x －4 因式分解下列各式： 9x2－24x＋16 此題也能利用乘法公式 (sol) 常數項 ＋16為正 ，同號數相加 ＝－24 3x －4 －12x－12x＝－24x ∴ 9x2－24x＋16 ＝（3x－4）（3x－4） ＝（3x－4）2

抄在筆記本上 3-3 十字交乘因式分解 回家作業: 1. 課本隨堂練習 P140 ~ P141 2.習作 第 頁 ~ 第 頁 3.總習題 第 頁 ~ 第 頁

利用十字交乘法，因式分解下列各式︰ (1) x2＋23x＋120 x ＋8 x ＋15 ＋15x＋8x＝23x ∴ x2＋23x＋120 搭配頁數 140 利用十字交乘法，因式分解下列各式︰ (1) x2＋23x＋120 x ＋8 x ＋15 ＋15x＋8x＝23x ∴ x2＋23x＋120 ＝（x＋8）（x＋15） (2) 6x2＋17x＋12 3x ＋4 2x ＋3 ＋9x＋8x＝17x ∴ 6x2＋17x＋12 ＝（3x＋4）（2x＋3）

利用十字交乘法，因式分解 9x2－16。 3x ＋4 3x －4 －12x＋12x＝0 所以 9x2－16＝（3x＋4）（3x－4）。 搭配頁數 141 利用十字交乘法，因式分解 9x2－16。 3x ＋4 3x －4 －12x＋12x＝0 所以 9x2－16＝（3x＋4）（3x－4）。

抄在筆記本上 Ex. （x＋1）2＋9（x＋1）＋8 (sol) 設 A ＝x＋1，則︰ 原式 ＝A2＋9A＋8 ＝（A＋1）（A＋8） 因式分解下列各式： （x＋1）2＋9（x＋1）＋8 (sol) 設 A ＝x＋1，則︰ 原式 ＝A2＋9A＋8 ＝（A＋1）（A＋8） ＝〔（x＋1）＋1〕〔（x＋1）＋8〕 ＝（x＋2）（x＋9） A ＋1 A ＋8 8A＋A＝9A

抄在筆記本上 Ex. x2－7xy＋12y2 (sol) x －3y x －4y －4xy－3xy＝－7xy 因式分解下列各式： x2－7xy＋12y2 (sol) x －3y x －4y －4xy－3xy＝－7xy ∴ x2－7xy＋12y2＝（x－3y）（x－4y）

抄在筆記本上 Ex. x3＋2x2－8x (sol) x3＋2x2－8x ＝x（x2＋2x－8） ＝x（x＋4）（x－2） x ＋4 因式分解下列各式： x3＋2x2－8x (sol) x3＋2x2－8x ＝x（x2＋2x－8） ＝x（x＋4）（x－2） 先提出公因式 x x ＋4 x －2 －2x＋4x＝2x

抄在筆記本上 3-3 十字交乘因式分解 回家作業: 1. 課本隨堂練習 P140 ~ P141 2.習作 第 頁 ~ 第 頁 3.總習題 第 頁 ~ 第 頁

因式分解（x－3）2－5（x－3）－24。 設 A ＝ x－3，則 原式＝A2－5A－24＝（A＋3）（A－8） 搭配頁數 141 因式分解（x－3）2－5（x－3）－24。 設 A ＝ x－3，則 原式＝A2－5A－24＝（A＋3）（A－8） ＝〔（x－3）＋3〕〔（x－3）－8〕 ＝x（x－11） A ＋3 A －8 －8A＋3A＝－5A

利用十字交乘法，因式分解下列各式︰ (1) x2－9xy＋18y2 x －3y x －6y －6xy－3xy＝－9xy 搭配頁數 142 利用十字交乘法，因式分解下列各式︰ (1) x2－9xy＋18y2 x －3y x －6y －6xy－3xy＝－9xy ∴ x2－9xy＋18y2 ＝（x－3y）（x－6y）。 (2) x2y2＋11xy＋24 xy ＋3 xy ＋8 8xy＋3xy＝11xy ∴ x2y2＋11xy＋24 ＝（xy＋3）（xy＋8）。

因式分解下列各式： 2x3－x2－6x ＝x（2x2－x－6） x －2 ＝x（x－2）（2x＋3） 2x ＋3 3x－4x＝－x 搭配頁數 142 因式分解下列各式： 2x3－x2－6x ＝x（2x2－x－6） ＝x（x－2）（2x＋3） x －2 2x ＋3 3x－4x＝－x (2) x 2y＋4xy＋4y x ＋2 2x＋2x＝4x ＝y（x2＋4x＋4） ＝y（x＋2）（x＋2） ＝y（x＋2）2

因式分解下列各式： (1) x2＋7x＋12 x ＋3 ∴ x2＋7x＋12 x ＋4 ＝（x＋3）（x＋4） 4x＋3x＝7x 搭配頁數 144 因式分解下列各式： (1) x2＋7x＋12 x ＋3 x ＋4 4x＋3x＝7x ∴ x2＋7x＋12 ＝（x＋3）（x＋4） (2) x2－6x＋9 x －3 －3x－3x＝－6x ∴ x2－6x＋9 ＝（x－3）2

(3) x2－5x－36 x ＋4 x －9 －9x＋4x＝－5x ∴ x2－5x－36 ＝（x＋4）（x－9） 搭配頁數 144 (3) x2－5x－36 x ＋4 x －9 －9x＋4x＝－5x ∴ x2－5x－36 ＝（x＋4）（x－9） (4) 3x2－19x＋28 x －4 3x －7 －7x－12x＝－19x ∴ 3x2－19x＋28 ＝（x－4）（3x－7）

(5) 5x2＋17x－12 x ＋4 5x －3 ∴ 5x2＋17x－12 －3x＋20x＝17x ＝（x＋4）（5x－3） 搭配頁數 144 (5) 5x2＋17x－12 x ＋4 5x －3 －3x＋20x＝17x ∴ 5x2＋17x－12 ＝（x＋4）（5x－3） (6) 4x2－3x－10 x －2 4x ＋5 5x－8x＝－3x ∴ 4x2－3x－10 ＝（x－2）（4x＋5）

(7)－2x2－13x＋24 －2x2－13x＋24＝－（2x2＋13x－24） x ＋8 2x －3 －3x＋16x＝13x 搭配頁數 144 (7)－2x2－13x＋24 －2x2－13x＋24＝－（2x2＋13x－24） x ＋8 2x －3 －3x＋16x＝13x ∴ －2x2－13x＋24 ＝－（x＋8）（2x－3） (8) 5x2－6xy－8y2 x －2y 5x ＋4y 4xy－10xy＝－6xy ∴ 5x2－6xy－8y2 ＝（x－2y）（5x＋4y）

(9) 3（x－1）＋7（x－1）＋4 設 A ＝ x－1，則 原式＝3A2＋7A＋4 A ＋1 3A ＋4 4A＋3A＝7A 搭配頁數 144 (9) 3（x－1）＋7（x－1）＋4 設 A ＝ x－1，則 原式＝3A2＋7A＋4 A ＋1 3A ＋4 4A＋3A＝7A 3（x－1）2＋7（x－1）＋4 ＝〔（x－1）＋1〕〔3（x－1）＋4〕 ＝x（3x＋1）

(10) x3－15x2＋36x x3－15x2＋36x＝x（x －15x＋36） x － 3 x －12 －12x－3x＝－15x 搭配頁數 144 (10) x3－15x2＋36x x3－15x2＋36x＝x（x －15x＋36） x － 3 x －12 －12x－3x＝－15x x2－15x＋36＝（x－3）（x－12） ∴ x3－15x2＋36x ＝x（x－3）（x－12）

密碼（Password）常用來保護個人或社團的隱私及防止未經授權的操作。 搭配頁數 145 因式分解與密碼 密碼（Password）常用來保護個人或社團的隱私及防止未經授權的操作。 在日常生活中如提款、上網或電腦登錄都需要密碼。密碼的字元愈多，強度就愈高，也就不易被別人猜出。但字元過多或有太多組密碼時，就容易忘記密碼。

我們可以利用「因式分解」來產生強度高且方便記憶的密碼，方法是： 搭配頁數 145 我們可以利用「因式分解」來產生強度高且方便記憶的密碼，方法是： 找一個型態簡單、方便記憶的多項式。例如：x4－y4，因式分解的結果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），若取 x＝8、y＝8，各因式的值分別是 x－y＝0、x＋y＝16、x2＋y2＝128，於是就可以把「016128」當作一組密碼，而（x＝8、y＝8）可以作為密碼的提示，即使別人看到密碼提示，也不容易猜出這個密碼，只有知道 x4－y4 這個「關鍵多項式」的相關使用者，才能得到真正的密碼。

試試看，你也可以利用因式分解作為密碼產生器，設定一個型態簡單的「關鍵多項式」，產生屬於你自己或好友之間的密碼哦！ 搭配頁數 145 試試看，你也可以利用因式分解作為密碼產生器，設定一個型態簡單的「關鍵多項式」，產生屬於你自己或好友之間的密碼哦！

搭配頁數 145

抄在筆記本上 Ex. 因式分解下列各式： (sol)