第二节 普通年金终值、现值及年金的计算 钭志斌 丽水职业技术学院

在实务中 这时，你需要掌握年金的计算与分析。 几乎所有的消费贷款和房屋按揭贷款都要求等额偿还，并且通常是按月进行的。 你是选择一次性付款，还是分期等额付款呢？ 这时，你需要掌握年金的计算与分析。

年金 年金是（Annuity）指等额、定期的系列收支。 按年金的收付时点，可以将年金划分为 等期等额付款赊购 等期等额偿还贷款 等期等额发放养老金 等期等额支付工程款 每年相同的销售收入等，都属于年金收付形式。 按年金的收付时点，可以将年金划分为 普通年金、预付年金、递延年金、永续年金

普通年金 普通年金（Ordinary Annuity）又称后付年金 是指各期期末收付的年金。 普通年金的收付形式见图2-1。 1 2 3 4 1 2 3 4 5 A

一、普通年金终值的计算 普通年金终值是一定时期内每期期末等额收付款项的复利终值之和。 每期期末等额收付款项的复利终值之和

【例2-5】 普通年金的终值等于各期年金复利终值之和 假设你每年年末存入银行100元，连续存3年，在银行存款利率为10%的情况下，则在第3年末你将积累多少钱？ 1 2 3 100 110 121 331 ×（1+10%） ×（1+10%）2 在第1期末的100元，将取得二期的利息，其到期的本利和为： =100×（1+10%）2=121元 在第2期末的100元，将取得一期的利息，其到期的本利和为： =100×（1+10%）1=110元 第三期末的100元，没有利息，其本利和为100元。 =100×（1+10%）0=100元 所以，三年后你将获得121+110+100=331元 年金的终值等于各年金的复利终值之和。

【同步训练2-2】 年金终值系数与复利终值系数关系 如果已知 （F/P，10%，1）＝1.10 （F/P，10%，2）＝1.21 你能求出（F/A，10%，3）的值吗？ 你可以查表验证一下，（F/A，10%，3）即为：1.10+1.21+1＝3.31。

普通年金终值计算公式的推导 每年的支付金额为A;利率为I;期数为n; 则按复利计算的普通年金终值F为： 每年的等式两边同乘（1+i）： 上述两式相减,整理后，得到：

其中： 是普通年金为1元、利率为i、经过n期的年金终值 记作（F/A，i，n） 可以通过查阅“年金终值系数表”取得相关系数。

【同步训练2-3】收益再投资 江南公司连续3年每年年末获得分红100万元，用于再投资，在投资报酬率为10%的情况下，则该项分红在第3年末累计为多少？ 见备注 F＝100×（F/A，10%，3）＝100×3.3100＝331万元

二、普通年金现值的计算 普通年金现值，是指一定期间内每期期末等额的系列收付款项的现值之和。 每期期末等额的系列收付款项的现值之和

【例2-6】 普通年金的现值等于各期年金复利现值之和 假设你需要在每年年末取出100元，连续取3年，在银行存款利率为10%的情况下，你现在要向银行存入多少钱？ P=100×（1+10%）-1+100×（1+10%）-2+100×（1+10%）-3 =248.68元 由于资金具有时间价值，现在只需存入248.68元即可满足要求。

换而言之 年金的现值是等于一系列年金的复利现值之和 n期的年金现值系数等于n期的复利现值系数之和。

【同步训练2-4】 年金现值系数与复利现值系数关系 已知 （P/F，10%，1）＝0.909 （P/F，10%，2）＝0.826 （P/F，10%，3）＝0.751 你能求出（P/A，10%，3）的值吗？ 显然，（P/A，10%，3）=0.909+0.826+0.751=2.486。

普通年金现值公式的推导： 由于： 等式两边同乘（1+i）： 上述两式相减（2）－（1）：

其中： 是普通年金为1元、利率为i、经过n期的年金现值 记作（P/A，i，n） 它可以通过查阅“年金现值系数表”取得相关系数。

【同步训练2-5】竞拍的最高限价 江南公司拟承租某商铺，公司估计，该商铺将每年给公司带来100万元净收益，租期为3年。 在公司资产报酬率为10%的情况下，你认为三年租金最高竞价为多少？ 248.69万元

三、年偿债基金的计算 偿债基金（Sinking Fund）是指为了在约定的未来一定时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额存入的准备金，也就是为使年金终值达到既定金额的年金数额。 偿债基金的计算是根据年金的终值计算年金的 即已知终值求年金。

年偿债基金公式的推导 根据普通年金终值计算公式： 可知： 式中的普通年金终值系数的倒数，称偿债基金系数 记作（A/F，i，n） 偿债基金系数和普通年金终值系数互为倒数。

【例2-7】制订还款计划 假设江南公司拟在3年后还清100万元的债务，从现在起每年末等额存入银行一笔款项。假设银行存款利率为10％，每年需要存入多少元? 在银行利率为10％时，每年存入30.21万元，3年后可得100万元，用来还清债务。 由于有利息因素，不必每年存入33.33万元，只要存入较少的金额，3年后本利和即可达到100万元用以清偿债务。

四、年资本回收额的计算 年资本回收额（Capital Recovery），是指在约定年限内等额收回初始投入资本或清偿所欠的债务。 即根据年金现值计算的年金，即已知现值求年金。

年资本回收额公式的推导 根据普通年金现值计算公式： 可知： 普通年金现值系数的倒数，称资本回收系数 记作（A/P，i，n） 资本回收系数与年金现值系数互为倒数

【例2-8】制订年资本回收计划 假设江南公司现在拟出资100万元投资某项目，项目投资回报率预计为10％，公司拟在3年内收回投资，请问每年至少要收回多少元? 投资回报率为10％时，每年至少要收回40.21万元，才能确保3年后收回初始投资额100万元。