随机变量函数的分布
一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣. 例如，已知圆轴截面直径 d 的分布， 求截面面积 A= 的分布.
一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣. 已知t=t0 时刻噪声电压 V的分布， 求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等.
设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) (设g是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？ 这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的. 下面进行讨论.
二、离散型随机变量函数的分布 例1 设X 求 Y= 2X + 3 的概率函数. ～ 解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13， 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生 的事件，两者具有相同的概率. 故
一般，若X是离散型 r.v ，X的概率函数为 X ～ 则 Y=g(X) ～ 如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.
如： X ～ 则 Y=X2 的概率函数为： Y ～
三、连续型随机变量函数的分布 例2 设 X ~ 求 Y=2X+8 的概率密度. 解：设Y的分布函数为 FY(y)， FY(y)=P{ Y y } = P (2X+8 y ) =P{ X } = FX( ) 于是Y 的密度函数
Y=2X+8 注意到 0 < x < 4 时， 即 8 < y < 16 时， 此时 故
例3 设 X 具有概率密度 ,求Y=X2的概率密度. 解： 设Y和X的分布函数分别为 和 ， 注意到 Y=X2 0，故当 y 0时， 当 y>0 时, 求导可得
若 则 Y=X2 的概率密度为：
从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过程中，关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X,从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的X的不等式 . 这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.
例4 设随机变量X的概率密度为 求Y=sinX的概率密度. 解：注意到, 当 时 x sinx π 1 故 当 y 0时, 当 y 1时,
=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ） 求Y=sinX的概率密度. x sinx π 1 y 解：当0<y<1时, =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）
解： 当0<y<1时, =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ） 而
求导得:
例5 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数, 证明Y=F(X)服从[0,1]上的均匀分布. 证明: 设Y的分布函数是G(y), 由于 于是 对y<0 , G(y)=0; 对y>1, G(y)=1; 又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数, 其反函数 F-1 存在且严格递增.
对0≤y≤1, G(y)=P(Y≤ y) =P(F(X)≤ y) =P(X ≤ (y)) =F( (y))= y 即Y的分布函数是
求导得Y的密度函数 可见, Y 服从[0，1]上的均匀分布. 本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.
根据前面的结论， Y=F(X)服从[0,1]上的均匀分布. 例如，想得到具有密度函数为 的随机数. 参数为 的 指数分布 应如何做呢？ 由于 当x≥0时， 是严格单调的连续函数 . 根据前面的结论， Y=F(X)服从[0,1]上的均匀分布.
由于 当x≥0时， 是严格单调的连续函数 . Y=F(X)服从[0,1]上的均匀分布. 记 u=F(x)为[0,1]上的随机数, u=1- 则由 得 由于1-u仍为[0,1]上的随机数,上式也可写为 r为[0,1]上的随机数 x即为指数分布的随机数.
于是得到产生指数分布的随机数的方法如下: 均匀随机数 r 给指数分布参数λ 令 x 指数随机数
定理 设 X是一个取值于区间[a,b]，具有概率 密度 f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且 对于任意x, 恒有 或恒有 ，则 Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为 x=h(y)是y=g(x)的反函数 其中， 此定理的证明与前面的解题思路类似.
例6 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度. 解： 在区间(0,1)上,函数lnx<0, 故 y=-2lnx>0, 于是 y在区间(0,1)上单调下降，有反函数 注意取 绝对值 由前述定理得
已知X在(0,1)上服从均匀分布， 代入 的表达式中 得 即Y服从参数为1/2的指数分布.
我们介绍了随机变量函数的分布. 对于连续型随机变量，在求Y=g(X) 的分布时，关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布来求 P { g(X)≤ y }.