第四节 第七章 一阶线性微分方程 一、一阶线性微分方程 *二、伯努利方程
一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ; 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为
2. 解非齐次方程 用常数变易法: 作变换 则 即 对应齐次方程通解 两端积分得 故原方程的通解 即 齐次方程通解 非齐次方程特解
例1. 解方程 解: 先解 即 积分得 即 则 用常数变易法求特解. 令 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
例2. 有一电路如图所示, 其中电源 ∼ 电阻 R 和电 感 L 都是常量, 求电流 解: 列方程 . 由回路电压定律: 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为 因此有 即 初始条件:
∼ 解方程: 利用一阶线性方程解的公式可得 由初始条件: 得
因此所求电流函数为 ∼ 解的意义: 暂态电流 稳态电流
例3. 求方程 的通解 . 解: 注意 x, y 同号, 故方程可变形为 由一阶线性方程通解公式 , 得 所求通解为 这是以 为因变量
*二、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式: 解法: 除方程两边 , 得 令 求出此方程通解后, 运行时, 点击相片, 或按钮“伯努利”, 可显示伯努利的简介,并自动返回 (线性方程) 求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解. 伯努利
例4. 求方程 的通解. 则方程变形为 解: 令 其通解为 将 代入, 得原方程通解:
内容小结 1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 2. 伯努利方程 化为线性方程求解.
3. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程 例如, 解方程 法1. 取 y 作自变量: 线性方程 法2. 作变换 则 代入原方程得 可分离变量方程
思考与练习 判别下列方程类型: 提示: 可分离 变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 伯努利方程
作业 P315 1 (3) , (6) , (9) ; 2 (5) ; 6 ; *8 (1) , (3) , (5) 习题课1 第五节
备用题 1. 求一连续可导函数 使其满足下列方程: 令 提示: 线性方程 则有 利用公式可求出
2. 设有微分方程 其中 试求此方程满足初始条件 的连续解. 解: 1) 先解定解问题 利用通解公式, 得 利用 得 故有
2) 再解定解问题 此齐次线性方程的通解为 利用衔接条件得 因此有 3) 原问题的解为